数值计算方法第一章 误差

但可以根据测量 能算出绝对误差 e( x*) 的准确值， 工具或计算的情况估计出它的取值范围，
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绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e( x ) x x
* *
*
(1-2)
通常称 为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。 显然误差限不是唯一的。 有了误差限及近似值，就可以得到准确值 的范围 * * 即准确值 x
x x x 必定在区间 x , x
*
*
内，
也常记作:
x x
*
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绝对误差、相对误差和有效数字
容易看出， 经过四舍五入得到的数，其误差必定 不超过被保留的最后数位上的半个单位， 即 最后数位上的半个单位为其误差限。 例如若取 的近似值为3.14，则
* 显然，误差限与近似值绝对值之比 * 为 x 的 一 x
个相对误差限。
例 取3.14作为 相对误差限.

的四舍五入的近似值,试求其
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绝对误差、相对误差和有效数字
1 2 3 . 14 0 . 0016 10 解: 2 相对误差限 1 2 10 2 0.159 % * x 3.14 又如 由实验测得光速近似值为 c * 2.997925 105 km/s， 其误差限为 0.1 km/s， 于是
10 n lg 2.097 8%
取n=3,
即取3位有效数字, 近似值的相对误差 小于1%. 即 20 4.47
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数值计算中误差的传播
§1.3 数值计算中误差的传播
1.3.1 基本运算中的误差估计
本节中所讨论的基本运算是指四则运算与 一些常用函数的计算。 由微分学，当自变量改变量（误差）很小时， 函数的微分作为函数改变量的主要线性部分可以 近似函数的改变量， 故利用微分运算公式可导出 误差运算公式。
4
误差的来源
3.截断误差 由于实际问题建立起来的数学模型,在很多情况 下得到准确解是困难的,通常要用数值方法求它的 近似解. 例如,常用有限过程逼近无限过程, 用能计算的问题代替不能计算的问题. 这种数学模型的精确解与由数值方法求出的 近似解之间的误差称为截断误差。 由于截断误差是数值方法固有的, 故又称方法误差. 如求一个收敛的无穷级数之和， 总是用它 的部分和作为近似值， 也就是截去该级数后面 的无穷多项。
m 1
1 1 n 1 10 10mn 2 a1 1 2
* x 由式(1-6)， 至少有n位有效数字。
定理1.1表明，由有效数字位数可以求出相对误
* x 差限。 如 2.72 是 x e 的具有3位有效数字的
近似值, 故其相对误差限为
1 r 10 31 0.25 10 2 2 2
0.1 7 4 10 5 * 2 . 997925 10 c
4 107 是 c 所以，
*

的一个相对误差限。
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绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.2
有效数字
有效数字是近似值的一种表示法。它既能表 示近似值的大小，又能表示其精度程度。 在计算过程中，常常按四舍五入的原则取数
e x*


的高阶无穷小，可以忽略不计。 所以，取绝对误差与近似值之比为相对误 差是合理的。
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绝对误差、相对误差和有效数字
同样，相对误差也只能估计其上限。 如果存在正 数 r ， 使得 * e x * er x r (1-4) * x


* 则称 r为 x 的相对误差限。
数值计算方法是应用数学研究的一个重要分 支(又称数值分析或计算方法)， 是研究科学与
工程技术中数学问题的数值解及其理论的, 或者说是“研究用于求得数学问题近似解的 方法和过程”。 用数学方法解决实际问题，常按以下过程 进行：
实际问题
抽象、简化 数学模型 数值计算
问题近似解
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误差的来源
因此，在计算过程中，误差是不可避免的。 在此过程中，引起误差的因素很多，主要有以 下几种： 1.模型误差 实际问题的解与数学模型的解之差称为 “模型误差”。 2.观测误差 数学问题中总包含一些参量，它们的值往 往是由观测得到的, 而观测不可能绝对准确， 由此产生的误差称为“观测误差”。
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数值计算中误差的传播
设数值计算中求得的解与参量（原始数据）
x1 , x2 ,xn 有关， 记为
y f x1 , x2 ,, xn
参量的误差必定引起解的误差。设 的近似值分别为 x1* , x2* ,, xn* 相应的解为
y* f ( x1* , x2* ,, xn* )
(1-7)
即
* * e x x x er x* x x
(1-3)
relative error
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绝对误差、相对误差和有效数字
由于在计算过程中准确值 x总是未知的， 故一般取相对误差为
* x x er x* * * x x * * e x e x * * e x e x 可以证明当 r 很小时， x x* 是 r
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误差的来源
例如
1 x 2 n x x x cos x 1 2 4! 6! 2 n !
2 4 6 n
当 x
x2 很小时， 可以用 1 2
作为 cos x 近似值。
由交错级数判断的莱布尼兹（Leibniz）准则， 它的截断误差的绝对值不超过
x4 24
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数值计算中误差的传播
例:
Leabharlann Baidu
要使
20 的近似值的相对误差小于1%,应取
几位有效数字？
解: 4 20 5, 设近似数
20 的首位非零数是4,
a1 4
x
*
有n位有效数字,只须取n使
1 n 1 10 1% 即 2a1
10
n1
8%,
10 10 , 8%
n
1 10 n 1 1% 2 4
则 x* 至少具有n位有效数字。
r 满足
20
绝对误差、相对误差和有效数字
证明: 若 x* 具有 n 位有效数字, 则 由式（1-6）
ex

*
1 x x 10 m n 2
*
从而有
er x
*

e x
*

x*
1 10m n 1 n 1 2 10 0.a1a2 an 10m 2a1
下面的定理给出了相对误差限与有效数 字的关系。
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绝对误差、相对误差和有效数字
定理1.1
若x的近似值
x* 0.a1a2 an 10m ,
2a1
(a1 0) 有n位有效数字， 则 1 10n1 为其相对
误差限。反之， 若 x * 的相对误差
1 n 1 r 10 2a1 1
1 n 1 * 10 x 所以 2a 是 的相对误差限。 1
1 n 1 10 , 若 r 2a 1 1
由式（1-4）
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绝对误差、相对误差和有效数字
e x* x*er x* 0.a1a2 an 10m r
a1 1 10
e y* y y*

* e y er y* * d ln f y * * n f x1 ,, xn exi* (1-10) * * xi f x1 ,, xn i 1 * * n f x1 ,, xn xi* * e x r i * * xi f x1 ,, xn i 1
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绝对误差、相对误差和有效数字
* x 例如若 1452.046 是具有7位有效数字的
近似值，则它的误差限为
1 1 3 1047 , x x 10 2 2
*
m 4, n 7
* x .0 是具有5位有效数字的近似值， 又若 1452 1 则其误差限为 10 1 。 2
* * * f x1 , x2 ,, xn e xi* xi i 1 n
* 1
* 2
*
n
* f x1* , x2* ,, xn


i 1
xi
x x
i * i
(1-9)
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数值计算中误差的传播
其相对误差为
* * * f x1 , x2 ,, xn e xi* xi i 1 n
数值分析 (54学时)
主 讲： 董 亚 丽
理学院 数学系
教材：《数值计算方法》， 第2版， 丁丽娟
参考书目： 1、《数值分析原理》，封建湖等 科学出版社
2、《数值计算方法》，吕同富等，清华大学出版社
程杞元
编著 出版社
北京理工大学
3、《数值计算方法》，合肥工业大学出版社
误差的来源
第一章 误差
§1.1 误差的来源
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误差的来源
4.舍入误差 在计算过程中往往要对数字进行舍入。 如受机器 字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成 一定的位数。 这样产生的误差称为“舍入误差”。 本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结 果的影响。
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
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绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1
绝对误差与相对误差
x 的前几位数 x * 为其近似值。
例如， x 2 1.414213562 ,取前四位数得 * * x x 1.414. 取前八位数得近似值 1.4142136
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绝对误差、相对误差和有效数字
前面已经提到,通过四舍五入得到的数,其绝对 误差均不超过末位数字的半个单位，
2 1.414 1 103
的一个近似值，称
*
定义1 设 x * 为准确值 x
*
e( x ) x x
为近似值
*
(1-1)
x 的绝对误差，简称误差。
*
*
当 e( x ) 0 时 ,称 x 为弱近似值或亏近似值.
* * e ( x ) 0 当 时 ,称 x 为强近似值或盈近似值. 一般情况下 准确值 x 难以求出，从而也不
绝对误差、相对误差和有效数字
例如， 2 的近似值1.414准确到小数点后第3位， 它具有4位有效数字。 1.4142136作为 2 的近似值精确到小 数点后第7位，有8位有效数字。
一般地，如果近似值 x * 的规格化形式为 * m (1-5) x 0.a a a 10
1 2 n
a1 0, ai i 1,2,为0到9之间 其中m为整数， 的整数。
x1 , x2 ,, xn
(1-8)
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数值计算中误差的传播
假定 f 在点 ( x1* , x2* ,, xn* ) 可微， 则当数据误差 较小时，解的绝对误差为
e y* y y* f x1 , x2 ,, xn f ( x1* , x2* ,, xn* )

df ( x , x ,xn )
1 3.14 0.0016 102 2
若取 3.142 , 则
1 3.142 0.00041 103 2
10
绝对误差、相对误差和有效数字
误差限的大小不能完全反映近似值的精确程度。
要刻画近似值的精确程度，不仅要看绝对误差的
大小，还必须考虑所测量本身的大小， 由此引出 了相对误差的概念。 定义2 设 x *为准确值 x 的近似值，称绝对误差与 * * e ( x 准确值之比为近似值 x 的相对误差， 记为 r )
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x* 0.a1a2 an 10m
如果
1 x x 10 m n 2
*
(1-5)
(1-6)
* x 则称近似值 有n位有效数字。
1 5 x 0 . 003400 10 例如 表示近似值0.003400准确 2
到小数点后第5位,有3位有效数字。
上面的讨论表明，可以用有效数字位数来刻划 误差限。 形如式(1-5)的数，当m一定时，其有效数字 数位n越大，则误差限越小。
2
3.1416 1 104 2
*
* x x 则称 准 如果近似值 的误差限是 确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到这 一位的所有数字均称为有效数字。 * x 定义： 若x的某一近似值 的绝对误差限是某一位
1 10 n , 2
的半个单位， 则称其“准确”到这一位，且从该位直到 x * 的第一位非零数字共有q位，则称近似值 x * 有q 位有效数字。 16