种群相互竞争的Matlab程序

两种群相互竞争模型如下：

其中x(t),y(t)分别为甲乙两种群的数量，1r ，2r 为它们的固有增长率，1n ，2n 为它们的最大容量。1s 的含义是，对于供养甲的资源来说，单位数量的乙（相对2n ）的消耗为单位数量甲（相对1n ）消耗的1s 倍，对2s 可以作相应解释。

经过计算，该模型无解析解，故用数值方法研究，为此提出以下问题：

（1） 设r1=r2=1,n1=n2=100,s1=,s2=2,初值x0=y0=10,计算x(t),y(t),画出它

们的图形及图（x,y ），说明时间t 充分大了以后x(t),y(t)的变化趋势。

（2） 改变r1,r2,n1,n2,x0,y0,但s1,s2不变（或保持s1<1,s2>1），计算并分

析所得结果，若s1=(>1),s2=(<1),再分析结果。由此可以得到什么结

论，请作出解释。

（3） 试验当s1=,s2=时会有什么结果，当s1=,s2=时，又会有什么结果。 模型求解：

程序如下：

:

function dx=fun(t,x,r1,r2,n1,n2,s1,s2)

dx=[r1*x(1)*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2);r2*x(2)*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)]; :

h=;%所取时间点间隔

ts=[0:h:30];%时间区间

x0=[10,10];%初始条件

opt=odeset('reltol',1e-6,'abstol',1e-9);%相对误差1e-6，绝对误差1e-9

[t,x]=ode45(@fun,ts,x0,opt,1,1,100,100,,2);%使用5级4阶龙格—库塔公式计算%后面的参数传给fun,分别是r1,r2,n1,n2,s1,s2

[t,x]%输出t,x(t),y(t)

plot(t,x,'.-'),grid%输出x1(t), x2(t)的图形

gtext('x1(t)'),gtext(' x2(t)'),pause

plot(x(:,1),x(:,2),'.-'),grid,%作相轨线

gtext('x1'),gtext('x2');

运行结果[t,x]为：

ans =

……

最后数值稳定在x=100,y=0上，即物种甲达到最大值，物种乙灭绝。

x(t),y(t)图形

x(y)的图形：

从第一张图可以看到，物种乙开始一段时间数量稍稍有所增长，10年后就渐渐灭绝了，最后稳定状态就只剩下甲物种。

改变参数进一步讨论：

下面在保持s1,s2不变的基础上，分别改变r1,r2；n1,n2；x0,y0观察变化趋势：(1)改变r1,r2:

r1=r2=

我们可以看到甲乙两物种最终结果仍然是甲达到数量极限而乙灭绝，但与原先不同的是变化速度减缓了，这是由于自然增长率r1,r2变小的缘故（相当于变化率减小）。

(2)改变n1,n2:

n1=10000,n2=100:

由于一开始甲物种的数量相对较少（x/n1），所以乙物种得以快速增长，数量一度达到90以上，但最终仍然灭绝。物种容量的改变并不能影响最终谁会灭绝。下面的情况证明了这一点：

(3)改变x0,y0:

x0=10,y0=100:

乙物种的初始数量大使其灭绝时间稍稍延后，但它灭绝的趋势不变。

综上，无论怎样改变r1,r2,n1,n2,x0,y0，都改变不了最后甲物种存活并达到数量最大且乙物种灭绝的结果。

下面再改变s1,s2观察变化趋势：

(1)s1>1,s2<1

s1=,s2=

结果正和s1=,s2=2时相反，最后甲物种灭绝，乙物种存活并达到数量极限。如果这时改变r1,r2,n1,n2,x0,y0这些参数，变化趋势和上面列举的相同（甲乙相反），这从方程的对称性上可以求证。现在得出结论，由s1,s2的物理意义，当某个s1或者s2大于1时（另一个小于1），它将严重消耗其作用的物种的生存资源，最终的结果是致使此物种灭绝。

(2)s1<1,s2<1

s1=,s2=

最后稳定在x= y=上。两物种共存。

(3)s1>1,s2>1

s1=,s2=

可见虽然s1,s2都大于1，但由于s2更大，更严重消耗了乙物种的生存资源，使乙物种在竞争中灭绝。

综上所述，s1,s2小于1时消耗生存资源的严重程度较轻，所以甲乙物种可以共存，但两者都达不到最大值；当其中之一大于1时，对应作用的物种就会由于生存资源的过度消耗而灭绝；当s1,s2都大于1时，两物种竞争激烈，最后s1,s2中更大者对应作用的物种灭绝。所谓物尽天择，自然资源是有限的，需要更少资源就能生存的物种在竞争中将占有优势。

还有一种情况，当s1,s2都大于1但相等时，由于方程的对称性，甲乙两物种都能生存下来，但都不能达到最大值。