高考数学排列组合与概率统计讲义

高考数学知识归纳分析

第一讲 排列组合与概率分析 [排列组合] 一、基本知识点

1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+．．．．．．．．…．+mn ．．．种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。

3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的

所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…

(n-m+1)=)!(!

m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,

注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。

4．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n

个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不

同元素中取出m 个元素的组合数，用m

n C 表示：

.

)!(!!

!)1()1(m n m n m m n n n C m

n -=+--=

6．组合数的基本性质：（1）

m n n m

n

C

C -=；（2）

11

--+=n n m n

m n C

C C

；（3）

k

n k n C C k n =--11；（4）

n

n

k k

n n n

n

n

C C C C 20

10

==+++∑= ；（5）

1

11++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k

n m n m k k n C C C --=。

二、基本方法

1.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．

2.解排列组合问题的常用方法有：

（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。

（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉） （3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。 （4）不相邻问题插空法:即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。 （5）相同元素分组采用隔板法：在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少1的隔板插入元素中的一种解题策略。题目特点：“若干相同元素分组”，“每组至少一个元素”

三、例题讲解

1、有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数. (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置. (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边. (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起. (4)全体排成一行，男、女各不相邻. (5)全体排成一行，男生不能排在一起.

(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变. (7)排成前后二排，前排3人，后排4人.

(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.

解：(1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择.有A 1

3种，其余6人全排列，有A 66种.由乘法原理得A 13A 6

6=2160种.

(2)位置分析法.先排最右边，除去甲外，有A 16种，余下的6个位置全排有A 6

6种，但应剔除乙在最右边的排法数A 15A 55种.则符合条件的排法共有A 16A 66－A 15A 5

5=3720种.

(3)捆绑法.将男生看成一个整体，进行全排列.再与其他元素进行全排列.共有A 33A 5

5=720种. (4)插空法.先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有A 33A 4

4=144种. (5)插空法.先排女生，然后在空位中插入男生，共有A 4

4A 3

5=1440种.

(6)定序排列.第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N ，第二步，对甲、乙、丙进行

全排列，则为七个人的全排列，因此A 77=N ×A 3

3，∴N =

33

77A A = 840种.

(7)与无任何限制的排列相同，有A 7

7=5040种.

(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A 3

5种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、

乙相邻的排法有A 23A 33.最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可.共有A 35×A 22×A 3

3=720种.

2、有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

解：(间接法)：任取三张卡片可以组成不同三位数C 3

5·23

·A 33(个)，其中0在百位的有C 2

4·22

·A 2

2 (个)，这是不合题意的，故共有不同三位数：C 3

5·23

·A 33－C 2

4·22

·A 2

2=432(个）

3、20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数.

解：首先按每个盒子的编号放入1个、2个、3个小球，然后将剩余的14个小球排成一排，如图，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15个空档，其中“O ”表示小球，“|”表示空档.将求小球装入盒中的方案数，可转化为将三个小盒插入15个空档的排列数.对应关系是：以插入两个空档的小盒之间的“O ”个数，表示右侧空档上的小盒所装有小球数.最左侧的空档可以同时插入两个小盒.而其余空档只可插入一个小盒，最右侧空档必插入小盒，于是，若有两个小盒插入最左侧空档，有C 2

3种；若恰有一个小盒插入，左侧空档，有1

31

3C C 种；若没有小盒插入最左侧空档，有C 2

13种.由加法原理，有N =2

13113132

3C C C C ++=120

种排列方案，即有120种放法.

4、用五种不同的颜色，给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相邻部分涂

不同色，则涂色的方法共有几种？

解：按排列中相邻问题处理.(1)(4)或(2)(4).可以涂相同的颜色.分类：若(1)(4)同色，有A 3

5种，若(2)(4)同色，有A 3

5种，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有A 4

5种.由加法原理，共有N =2A 35+A 4

5=240种.

5、甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为多少？

解：每人随意值两天，共有C 2

6C 2

4C 2

2个；甲必值周一，有C 1

5C 2

4C 2

2个；乙必值周六，有C 1

5C 2

4C 2

2个；甲必值周一且乙必值周六，有C 1

4C 1

3C 22个.所以每人值两天，且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表数，有N =C 2

6C 2

4C 2

2－2C 1

5C 2

4C 2

2+ C 1

4C 1

3C 2

2=90－2×5×6+12=42个.

6、在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )