两个互成角度的平面镜成像规律的研究

两个互成角度的平面镜成像规律的研究广东省珠海市第五中学林遂弟

内容提要：本文运用中学数学的极坐标知识及中学物理光的反射定律，研究得出任意位置的物体通过互成任意角度的两个平面镜所成的像的位置及个数的规律，并介绍此规律在教学中的应用。

关键词：两个平面镜成像规律

一、从教学中引出的问题及思考

高二课外培优小组的学生在学习了第七章《光的反射和折射》后，就两道两平面镜组合成像的问题请教老师。

题1：如图1，两平面镜M１、M２平行且两镜Ｍ１Ｍ２

面相对，两镜间一物点S到M

距离3cm，到

１

M２距离7cm，求离S点最近的5个像的位置。

题2：如图2，两平面镜镜面的夹角为此60°，

两镜面间有一物点S，S一共可成几个像？

上述两题，均可以通过作图法分析得出答案。图1

但是，作图难免有误差，因此，作出像点的位置

就不很准确，甚至会使作图得到的成像个数与实

际不符，其次，两镜面所成夹角的大小有无数种图２

情况，不可能对每一角度都作图分析，特别是当

两镜面夹角很小时，所成像的个数很多，若采用

作图法更加困难，且不准确。图2 如何通过计算式确定每一像点的位置，每一像点的位置及成像的个数与镜面夹角有何关系呢？对此问题，我查阅课本、教参书及其他有关资料，都找不到有关这一问题的论述。因此，我反复对这一问题进行实验和研究。

二、对两平面镜组合成像规律的研究

通过实验发现，当两镜面夹角θ在0°到180°间变化时，θ越大，像的个数越少。对此，我曾试图应用《平面几何》有关边角关系、利用《平面解析几何》知识，建立平面直角坐标系及两点间的距离公式、点到直线距离公式、两直线垂直关系求垂足坐标等方法来研究本问题，结

果都因为计算太繁杂，无法找出其规律，于是我改用《平面解析几何》中的极坐标知识来讨论，比较简便地得出其规律，下面介绍其推导过程。

设两平面镜M１、M２镜面夹角为θ（单位为度，本文所述角度均以度为单位，0°≤θ≤180°），两镜面间有一物点S，分别通过两镜面的直线相交于0点，且使这两直线及物点S也处于同一平面上，令OS

＝R，OS与M

１

的镜面夹角为α，建立如下极坐标系：以O点为极点，

以通过M

１的射线OM

１

为极轴（如图3），根据平面镜成像的特点，则物

点S及各像点S1、S2、S3、S4、…….的极坐标标示如图（图中用奇数下

标表示的像点S1、S3、S5、S7、……为通过平面镜M

１

所成的像点，用偶

数下标表示的像点Ｓ2、Ｓ4、Ｓ6、Ｓ8、……为通过平面镜Ｍ

２

所成的像点）。

１、各像点的位置

由图可以看到，物点Ｓ和各像点Ｓ1、Ｓ2、Ｓ3、Ｓ4、……都在以Ｏ为圆心，半径为Ｒ的圆周上，各像点的位置可以用极坐标的极径和极角确定，各像点的极角如下表（表中ｎ＝3，7，11，15，……等奇数）。且像点Ｓ与Ｓ的极角互为相反数。

２、成像的个数

由图３可以看到，∠Ｓ1ＯＳ2＝２θ，∠Ｓ3OS4＝４θ，∠Ｓ5ＯＳ6＝６θ，∠Ｓ7ＯＳ8＝８θ，∠Ｓ9ＯＳ10＝10θ，……，其余类推。因此可以得出：当两平面镜镜面夹角为θ°（0°≤θ≤180°）时，物点Ｓ经两平面镜所成的像的个数为

ｍ＝2×360°÷2θ即ｍ＝360÷θ

对上式，有几点必须说明：

（1）.当m为偶数时，成像个数为m，但最后两个像重合于同一点，且在SO直线上，该点与O点距离等于OS，所以实际看到的像是（m－１）

个。例如，当θ＝60°时，成６个像，而实际看到的像是５个（如图４）。

图4 图5

（２）．当ｍ为奇数时，成像个数与实际看到的像的个数都为ｍ。例如当θ＝７２°时，ｍ＝５，所成的像和实际看到的像都是５个（如图５）。 （３）．当ｍ为非整数时，成像个数与看到的像的个数一致，但可能是小于ｍ的最大整数，也可能是大于ｍ的最小整数（不能采用四舍五入的规则），这要根据物点的位置而定。例如，当θ＝50°时，ｍ＝7.2，即成像可能是７个也可能是８个，当α＝25°时，成８个像（如图６），当α＝10°时，成７个像（如图７）。

（４）．当θ＝０°时，Ｒ→∞，成像为无限多个。

（５）．当θ＝180°时，ｍ＝２，即成像为２个，实际看到的像是１个，相当于单块平面镜成像的情况。

（６）当两镜面的夹角大于180°时，

当物点在两镜背面的夹角的对角范围

内时则成两个像（否则只是单个平面

镜成像），因为此时从物点发出的光

线经其中一平面镜反射后不能再射到

另一平面镜上(如图8)。

图８

得出上述规律之后，我为培优小组的学生讲解这个规律及推导过程，他们对这个规律表现出浓厚的兴趣，并应用这个规律来解决课外练习上的同类问题。例如，学生在末掌握两平面镜组合成像的规律之前采用作图法讨论两镜面成30°角时的成像个数，有的成10个像，有的成11个像，有的成12个像（最后两个像不重合），到底应成多少个像呢？学生觉得不可思议，当学生掌握这一成像规律后，就轻易地解决了这一问题。对此，学生的体会是：把作图法和计算法结合起来，解答这类问题便更加简单、准确。

由此，我深深体会到，教师在教学中不但要帮助学生理解和掌握教材中已经得出的规律，而且要善于归纳和推导教材中没有给出的规律，以指导和帮助学生解决有关的问题，这对培养学生的研究能力和创新精神是有巨大的促进作用的。

参考资料：高级中学教材《平面解析几何》。

（备注：本文发表于2001年《物理教师》第10期，并在2001年参加由《中学物理教学参考》杂志社主办的“第四届全国中学物理教研论文选评”中获二等奖。）