2010年江苏省高考数学试题预测最后一讲

2010年江苏省高考数学试题预测最后一讲
D
2
3
4
数的有界性及其辅助角公式（注意定义域，结合图像解决）；
不等式
一、恒成立问题――分离参数转化为最值问题。

要能识别并处理两
次恒成立问题。

处理方法：（1）分离变量，然后一边构造函数求函数的值域或最值；（2）作差构造函数利用实根分布（作差后构造一个函数若是二次函数可利用实根分布，若不是可以利用求函数的最值或极值与单调性解决。

（3）变更主元（给出谁的范围就以谁作为主元）。

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上
()min f x A >
若不等式
()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上
()max f x B <
二．能成立问题即不等式有解问题，可以利用其命题的否定将其划
归为恒成立问题即将存在性问题转化为全称性问题。

若在区间D 上存在实数x 使不等式()
A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；
若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.
如：若存在[1,3]a ∈，使得不等式
2
(2)20ax a x +-->成立，则实数x 的取值范围是 ；
四、均值不等式：对于函数 ()k x
f x x =+，当0k >符合对勾函
数形式，但要注意“一正、二定、三相等”，特别是定义域，有时在定义域内只能是单调的；当0k <时，函数是单调的，注意
常见的形式2
()(,,,,)ax bx c
mx n f x a b c m n +++=为常数，注意换元法的使用。

五、线性规划：注意等号（边界线的虚实），注意目标函数的最优解与x 轴或y 轴上的截距的关系，注意整数解与无穷解的问题。

第一部分 填空题
5
思想方法
填空题解题的基本原则是“小题不能大做”。

解题的基本策略是：巧做。

解题的基本方法一般有：直接求解法，图像法和特殊化法（特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法）等。

1－8题，容易题；9－12题，中等题，13－14难题，估计难度介于08与09之间． 一、填空题：
1、将圆()312
2
=++y x 绕直线01=--y kx 旋转一周，所得几
何体的体积为 ．
2、抛掷一颗骰子的点数为a ，得到函数π
()sin(
)3
a f x x =，则“)(x f y =在[0，4]上至少有5个零点”的概率是 ．
3、在平面直角坐标系中，不等式组0,
0,
,x y x y x a +⎧⎪
-⎨
⎪⎩
≥≥≤（a 为常数）表示的平面区域的面积是4，则y x +2的最小值为 ． 例题解析
一、直接求解法——直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、
公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法。

它是解填空题的常用的基本方法。

使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。

【例1】已知数列{a n }、{b n }都是等差数列，a 1=0、b 1= -4，用S k 、k S '
分别表示数列{a n }、{b n }的前k 项和（k 是正整数），若S k +k S '=0，则a k +b k 的值为 ；4
【例2】 若
θcos 1－θsin 1
=1，则sin2θ的值等于 。

【解】由θcos 1-θ
sin 1
=1得sinθ-cosθ=sinθcosθ ①
令sin2θ=t ，则①式两边平方整理得t 2+4t-4=0，解之得t=22-2。

三角函数的有界性
二、图像法——借助图形的直观形，通过数形结合的方法，迅速作
出判断的方法称为图像法。

文氏图、三角函数线、函数的图像
6
及方程的曲线等，都是常用的图形。

【例3】 若关于x 的方程2
1x -=k(x-2)有两个不等实根，则实数k 的取值范围是
【解】令y 1=21x -,y 2=k(x-2),由图可知 k AB <k≤0，其中AB 为半圆的切线，计算 k AB = -33,∴-3
3
<k≤0。

1．函数f （x ）＝|x 2－a | 在区间［－1，1］上的最大值M （a ）的最小值是
【解析】f （x ）是偶函数，所以M （a ）是在［0，1］内的最大值，当a ≤0时，f （x ）＝x 2－a ，则M （a ）＝1－a ；当a >0时，由图像可知，若
12≥a ，则M （a ）＝a ，若12<a ，则M （a ）＝f
（1）＝1－a ，从而M （a ）＝ 112
1
2
a a a a ⎧
-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，≤，，M （a ）min ＝
12．
3．已知函数4
()12
f x x =
-+的定义域是[],(,)a b a b Z ∈，值域是[]0,1，则满足条件的整数对(,)a b 共有_________________个
【解析】()f x 在R 上是偶函数，故()f x 的图象关于y 轴对称，作出
()f x 的图象，截取值域是[]0,1
的一段，发现a ，b 的取值只可能在－
2，－1，0，1，2中取得，但必须取0，－2﹑2必须至少取一个，故有5个．
10．若关于x 的方程x ax x =-23有不同的四解，则a 的取值范围
为 ．
7
【解析】x ＝0是方程的一个根，其余根即方程12=-ax x （x ＞0）的根．由f （x ）＝ax x -2（x ＞0）与y ＝1的交点个数，可知a ＞0．且f （2
a ）＞1，得a ＞2． 1．若1
||x a x
-+≥
12
对一切x ＞0恒成立，则a 的取值范围
是 ．
三、特殊化法——当结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论。

1.特殊值法
【例4】设a >b >1，则log a b ,log b a ,log ab b 的大小关系是 。

【解】考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令a=4,b=2，则log a b=21,log b a=2,log ab b=3
1,∴log ab b<log a b<log b a
2．特殊函数法
【例5】如果函数f (x )=x 2+bx +c 对任意实数t 都有f (2+t )=f (2-t )，那
么f (1)，f (2)，f (4)的大小关系是 。

【解】由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是x=2。

可取特殊函数f(x)=(x-2)2,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。

∴f(2)<f(1)<f(4)。

3．特殊角法
【例6】 cos 2α+cos 2(α+120°)+cos 2(α+240°)的值为 。

【解】隐含条件是式子的值为定值，即与α无关，故可令α=0°，计
算得上式值为2
3。

4．特殊数列法
【例7】已知等差数列{a n }的公差d≠0，且a 1,a 3,a 9成等比数列，则
10
429
31a a a a a a ++++的值是
【解】考虑到a 1,a 3,a 9的下标成等比数列，故可令a n =n 满足题设条
件，于是1042931a a a a a a ++++=16
13。

5．特殊点法
8
y A
O
x
B C 【例8】椭圆92x +4
2
y =1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当
∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 。

【解】设P(x,y)，则当∠F 1PF 2=90°时，点P 的轨迹方程为x 2+y 2=5，由此可得点P 的横坐标x=±
5
3，又当点P 在x 轴上时，
∠F 1PF 2=0；点P 在y 轴上时，∠F 1PF 2为钝角，由此可得点P 横坐标的取值范围是-5
3<x<
5
3。

7．特殊模型法
【例9】 已知m,n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列是命题： ①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β； ③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β； ④若n α，m α且n ∥β,m ∥β，则α∥β；
⑤若m,n 为异面直线，n ∈α，n ∥β，m ∈β,m ∥α, 则α∥β；则其中正确的命题是 。

（把你认为正确的命题序号都填上）。

【解】依题意可构造正方体AC 1，在正方体中逐
一判断各命题易得正确命题的是②⑤。

8、特殊位置或坐标法
2．如图，非零向量,OA OB 与x 轴正半轴的夹角分别为
6π和23
π
，且0OA OB OC ++=，则OC 与x 轴正半轴 的夹角的取值范围是
【解析】OC 与x 轴正半轴的夹角的取值范围应在向量,OA OB --与x 轴正半轴的夹角之间，故OC 与x 轴正半轴的夹角的取值范围
是5(,
)36
ππ
．
9．△ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3450OA OB OC +-=．则
C ∠ ＝ ．
9
P
C A
B Q
P M
N
C
A
B
Q
【解析】通过画图，可求AOB ∠，即OA 与OB 的夹角，再通过圆心角与圆周角的关系，求得135C ∠=．
4．三角形ABC 中AP 为BC 边上的中线，3=AB ，2-=⋅，
AC
＝
【解析】2
2
=，即22
)()
(AC =+，
522
2
=⋅+=BC AP BA AC ，=
AC 5．
12．如图，在ΔABC 中，|AB|=3，|AC|=1，l 为BC 的垂直平分线，E 为l 上异于D 的一点，则⋅AE (AB-AC )等于____． 【解析】
⊥∴⋅DE BC BC DE =0，又AE =AD+DE ，
∴⋅⋅⋅AE(AB-AC )=(AD+DE )CB =AD CB
⋅22111=(AB+AC )(AB-AC )=(AB -AC )=(9-1)=4222
． 5．如图1，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2
155
AP AB AC =+，AQ ＝
23AB ＋1
4
AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为
【解析】如图2，设25AM AB =，15
AN AC =，则AP AM AN =+．由平行四边形法则，知NP ∥AB ，所以
ABP AN ABC AC ∆=∆＝1
5
，同理可得D
A
B
C
E
10
1
4
ABQ ABC ∆=∆．故
45ABP ABQ ∆=∆， 四、构造法——在解题时有时需要根据题目的具体情况，通过对对
与结论的分析，构造适当的辅助量来转换命题，设计新的模式解题，或直接构造结论所述的数学对象，从而使问题得到解决。

这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。

【例10】已知函数)(x f y =在(-3,0)上是减函数，又)3(-=x f y 是
偶函数，若 a=)23
(-f ,b=)2
7(-f ,c=)5(-f 则a,b,c 从小到大的顺序是 c<a<b
【例11】在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，若PA 、PB 、PC 两两
垂直且PA=PB=PC=a ，那么这个球的表面积为
（补图）2
3a π
7．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90︒，
AC ＝6，BC ＝CC 12，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________．
【解析】答案：5 2 ．连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，连A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值．通过计算可得∠A 1C 1C ＝90︒．又∠BC 1C ＝45︒，∴∠A 1C 1C ＝135︒ 由余弦定理，可求得A 1C ＝52．
13．O 为坐标原点，正△OAB 中A 、B 在抛物线x y 22=上，正△OCD
中C 、D 在抛物线2
2x y =上，则△ OAB 与△OCD 的面积之
比为 ．
【解析】设△OAB 的边长为a ，则不妨设3131,,,22A a B a ⎫⎫
-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，代
入x y 22=，得43a =；同理，设△OCD 的边长为b ，可得3b =:4:1a b ∴=，:16:1OAB OCD S S ∴=．
第一题：立几，容易题，预期得分率0.75．
立体几何考什么？怎样出题？
1、平行（线线，线面，面面），重点仍是线面平面——两种方法（线
线法，面面法）
2、垂直：条件与结论中都有垂直。

重点是线线垂直与线面垂直（或
面面垂直）的转化。

3、求面积与体积。

求体积可结合变换法更易。

4、题目的形成：长（正）方体一角，三棱柱一角。

中点问题常与中
位线、中线相关。

5、注意探索性问题、折叠与展开图问题；
6．如图，在三棱锥D －ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平
面BCD ，AB ＝BC ＝a ，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且
AF ＝3FC ．
（1）求三棱锥D －ABC 的表面积；（2）求证AC ⊥平面DEF ；
（3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．
7．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都是2，D 、E 分
别为CC 1、A 1B 1的中点．
（1）求证C 1E ∥平面A 1BD ；
（2）求证AB 1⊥平面A 1BD ；
（3）求三棱锥A 1－C 1DE 的体积．
A A
B E D
C B 1 C 11 C
D
E B A
F N M
第二题：三角与向量，容易题，预期得分率0.70左右．
三角考什么？怎样出题？
1、解三角形问题：正弦定理，余弦定理。

2、两角和与差的三角函数。

求三角函数的值域，步骤要详细。

三角函数求最值的常用方法：（1）注意利用降幂公式以及辅
助角公式sin cos y a x b x =+22)a b x φ=++，tan b a φ=将函数式
化成单一名称三角函数sin()y A x B ωφ=+＋形式，再利用三角函数
的单调性、有界性以及数形结合求；（2）利用二倍角公式，将函数式化成单一名称三角函数的一元二次函数形式，（3）换元法，注意新元的范围，如遇到
x x x x cos sin cos sin 与±相关的问题；
3、题目的形成：以平面向量为载体（向量平行，垂直，数量积）
4、注意三角函数的图像与性质。

x y sin =的对称轴为2π
π+=k x ，对
称中心为Z k k ∈ )0,(π；x y cos =的对称轴为πk x =，对称中心为)0,(2ππ+k ，)0,(tan 2πk x y 的对称中心为=对于)sin(φω+=x A y 和)cos(φω+=x A y 来说，对称中心对应于零点，对称轴与最值点对应。

5、求三角函数sin()y A x B ωφ=+＋的单调区间时，要注意A 、ω的正负以
及定义域。

6、解三角形时，一般化角为边为好，注意锐角、钝角等条件，注意
利用正余弦定理解三角形；
7、注意向量夹角要共起点、向量的模与夹角与数量积的关系，以及
与解三角形的关系；
16．已知()()4cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 5cos OM ON x x PQ x x ααα⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭
（1）当4cos 5sin x
α=时，求函数y ON PQ =⋅的最小正周期； （2）当12,13OM ON OM ⋅=∥,,PQ x x αα-+都是锐角
时，求cos2α的值.
第三题：解析几何，中等题，预期得分率0.48左右．
解析几何考什么？怎样出题？注意点与方法？
1、以椭圆为入口，求标准方程。

2、几何性质
3、与圆有关问题
一、注意直线倾斜角范围[0,)π、设直线方程时注意斜率是否存在，
可以设成x my n =+，包含斜率不存在情况，但不包含斜率为0情况。

注意截距为0的情况；注意点关于直线对称问题（光线的反射问题）；注意证明曲线过定点方法（两种方法：特殊化、分离变量）
二、注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、
相交弦定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离的最值转化为圆心到它们的距离；注意圆的内接四边形的一些性质以及正弦定理、余弦定理。

以过某点的线段为弦的面积最小的圆是以线段为直径，而面积最大时，是以该点为线段中点。

三、注意圆与椭圆、三角、向量（注意利用加减法转化、利用模与
夹角转化、然后考虑坐标化）结合；
四、注意构建平面上的三点模型求最值，一般涉及“和”的问题有最
小值，“差”的问题有最大值，只有当三点共线时才取得最值；
五、熟练掌握求椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的方法：待定
系数法或定义法，注意焦点位置的讨论，注意双曲线的渐近线方程：焦点在x 轴上时为x y a b ±=，焦点在y 轴上时为x y b
a ±=；注意化抛物线方程为标准形式（即2p 、p 、2p 的关系）；注意利
用比例思想，减少变量，不知道焦点位置时，可设椭圆方程为221(0Ax By A +=>≠、B>0,A B)。

六、熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题； 熟练掌握求离心率
的题型与方法，特别提醒在求圆锥曲线方程或离心率的问题时注意利用比例思想方法，减少变量。

七、注意圆锥曲线中的最值等范围问题：产生不等式的条件一般有：
①“∆法”；②离心率e 的范围；③自变量y x 、的范围；④曲线上的点到顶点、焦点、准线的范围；注意寻找两个变量的关系
式，用一个变量表示另一个变量，化为单个变量，建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法，注意点是要考虑曲线上点坐标(x ，y )的取值范围、离心率范围以及根的判别式范围。

八、求轨迹方程的常见方法：①直接法；★②几何法；★③定义法；
★④相关点法；
九、注意利用向量方法， 注意垂直、平行、中点等条件以向量形式
给出；注意将有关向量的表达式合理变形；特别注意遇到角的问题，可以考虑利用向量数量积解决；
十、注意存在性、探索性问题的研究，注意从特殊到一般的方法。

1．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>左右两焦点为12,F F ，P 是右支上一点，2121,PF F F OH PF ⊥⊥于H ， 111,,92OH OF λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
. (1)当13λ=时，求双曲线的渐近线方程；
（2）求双曲线的离心率e 的取值范围；
（3）当e 取最大值时，过12,,F F P 的圆的截y 轴的线段长
为8，求该圆的方程.
2．如图，已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的长轴AB 长为4，离心率32e =，O 为坐标原点，过B 的直线l 与x 轴垂直．P 椭圆上异于
A 、
B 一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 得HP=PQ ，
连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．
（1）求椭圆C 的方程；（2）证明Q 点在以AB 为直径的圆O 上；
线QN 与圆（3）试判断直
O 的位置关系．
y M N Q P
第四题：应用题，中等题，预期得分率0.58左右．
1、估计以函数为背景，特别注意分段函数（分式函数、三次函数、
二次函数）求最值问题，可能要分类讨论，注意利用导数求最值以及均值不等式、对勾函数（注意单调性要证明）（三角函数与数列出现可能性较小）
2、也要注意与统计、概率问题结合以及线性规划问题；
一、注意直方图（注意与组中值以及几何概型联系）、平均数、标准差（方差）（一组数据i
x （1,2,i =）的平均数与方差分别为2,x S ，则i ax b +的平均数与方差分别为22,ax b a S +）、茎叶图。

二、注意随机事件（利用频率估计概率）、古典概型（利用列举法、
树形图）、几何概型的概率
三、注意将复杂事件分拆为若干个互斥
事件，注意利用正难则反（利用对
立事件）
1、某校从参加高二年级学业水平测试
的学生中抽出80名学生，其数学
成绩（均为整数）的频率分布直方
图如图所示．
（1）估计这次测试数学成绩的平均分；
（2）假设在［90，100］段的学生的数学成绩都不相同，且
都在94分以上，现用简单随机抽样的方法，从95，96，
97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这两个数
恰好是在［90，100］段的两个学生的数学成绩的概率．
第五题：数列，难题，预期得分率0.35左右．
1、数列产生的几种方式：通项公式型，递推关系型，（含n 的）
方程根型（即隐含型）．
2、解决数列问题的常用方法：关注递推关系问题，善于利用换元法
构造新数列，化归成等差或等比数列，求通项公式、求和等，结合代数推理证有关等式（或简单的数论结论）与不等式．关注不
动点问题，注意对式的各种变形，产生各种形态的新式子，利用不等关系进行适当放缩证明有关不等式．
3、注意数列的单调性以及数列的最大值与最小值的研究（一般利用
作差、作商进行比较或者构造函数求导数）。

4、注意研究数列插入与抽取问题的研究。

1、知正项数列{a n }的首项为1，且对任意n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3
＋…＋1a n a n +1＝n a 1a n +1
．数列{a n }的前10项和为55 ． （1）求数列{a n }的通项公式，并加以证明；
（2）设数列{a n }满足x n ＝(1＋1a 2n )(1＋1a 2n +2)…(1＋1a 4n －2
)(1＋1a 4n )， 证明： 14n
＜x n －2＜2n ．
2．已知数列{a n }满足a 1＝1， a n ＋1－a n ＝2(a n +1＋a n )－1 ．
(1)试证明数列{a n ＋1－a n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；
(2)试证明k ＝1∑n 1a k ＜74； (3)试证明k ＝1∑n (1a k
)32＜54 ．
3. 设n S 是数列{}n a （n ∈N*）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，
0n a ≠，234n =，，，．（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N*）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项．
第六题：函数，较难题，预期得分率0.25左右．
1．已知函数||2
()x x f x a a
=+，(a >0，a ≠1) （1）a ＞1，解关于x 的方程f (x )=m （其中22m >）；
（2）记函数g (x )=f (－x )，x ∈[2,)-+∞，若g (x )的最值与a 无关，
求a 的范围.
2．设.2)(ln )()(2)(--==--=e
p qe e g x x f x f x q px x g ，且，其中（e 为自然对数的
底数） （Ⅰ）求p 与q 的关系； Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（Ⅲ）证明：①)1(,1)(->-≤x x x f ； ②).2,()
1(412ln 33ln 22ln
2222≥∈+--<+++n N n n n n n n。