江苏省苏州市高三(3.30)数学二轮研讨会教案-恒过定点问题的解题策略(吴县中学)

恒过定点问题的解题策略

吴县中学 郭建峰

【复习要点】

1. 恒过定点问题的解题策略和方法；

2. 体验以动态的观点研究解析几何问题的思维方式，掌握类比探究、转化与化归等思想方法. 【课前热身】

1. 动直线(2)(34)210()a x a y a a ++-+-=∈R 过定点__________．

2. 动圆22(2)(4)440()x y a x a y a a ++++---=∈R 过定点__________．

3. 如图，已知圆224x y +=，直线:4l x =，圆O 与x 轴交A ，B 两点， M 是圆O 上异于A ，B 的任意一点，直线AM 交直线l 于点P ，直线BM 交直线l 于点Q . 求证：以PQ 为直径的圆C 过定点，并求出定点坐标.

【例题精讲】

例1．如图，已知椭圆2

214

x y +=，直线l ：

4x =，A ，B 是长轴的两端点，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，设直线AM 交直线l 于点P ，直线BM 交直线l 于点Q ． 求证：以PQ 为直径的圆C 经过定点，并求出该定点坐标．

例2．过椭圆2

214

x y +=的左顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点.

求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．

【课堂小结】

【课后巩固】

1. 已知椭圆22

:142

x y C +=的上顶点为A ，直线

:l y kx m =+交椭圆于,P Q 两点，

设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k .

（1）若0m =时，求12k k 的值；

（2）若121k k =-时，证明：直线:l y kx m =+过定点.

2. 如图，椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为(,0)F c ，c 为正数，过F 作两条互相垂直的弦

AB ，CD ，设AB ，CD 中点分别为M ，N ． （1）若C 为椭圆的上顶点，B 为椭圆的下顶点，且

此时FBC ∆的面积为2，求椭圆的方程；

（2）证明线段MN 必过一定点，并求出定点坐标．

3. 已知圆M 的方程为4)4(2

2

=+-y x ，点C (1,0)，设P 是圆M 上一动点，在x 轴上是否存在异于C 的定点B ，使得PC

PB

恒为定值λ？若存在，求出定点B 的坐标，并求λ的值；若不存在，说明理由.

4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

195

x y +=的左右顶点为A ，B ，右焦点为F .设过点

(,)T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M （x 1，y 1）

，N （x 2，y 2），其中m >0，y 1>0，y 2<0. 设t =9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）

.