结构力学第6章静定桁架的内力计算

F NEG A
FP
B F Xa
H
F Ya
(d)
方法2：
取截面II—II下为隔离体，见图(e)
F NEC E
F NEG
A
F NHB F Xa
F NHK H
B
FP
F Ya
(e)
该隔离体上有5根被截断的杆件，但 有4根是交于一点A的，因此利用以铰 A为矩心的力矩方程，可直接求出杆a 的轴力。
将杆a轴力在B点分解，由 MA0
结构力学
结构力学教研室
青岛理工大学工程管理系
第六章 静定桁架的内力分析
§6.1 概述
1、桁架的各部分名称
上弦杆
斜腹杆
竖腹杆
下弦杆 节间长度
桁高
跨度
理想桁架的假定：
桁架中所有的结点均为理想铰，即 光滑无摩擦铰接；
桁架中所有杆的杆轴绝对平直，且 通过其两端铰的中心；
荷载和支座均在铰结点上，即桁架 上所有外力为结点力。
在桁架的内力计算中，利用单杆的概 念，先确定出单杆的内力，不仅简捷 计算过程，有时是解题的关键路径。
结点单杆的情况：
(a)
(b)
图6-2-1
当结点上无荷载作用时，结点上 单杆轴力等于零，称为零杆。
例6-2-2
先判断图(a)、(b)两图所示桁架中的 零杆，然后再说明用结点法计算余下 各杆轴力的次序。
KA
2FP 22

20 2
F FP NKA 2
依次取结点，计算指定杆轴力：
结点A： 图(d)
F NAD F NAJ
F A x= F P
F P/2
F Ay= F P/2
(d)
FY 0
FNAJ
2 FP 22
0
FNAJ
2 2
FP
结点J: 图(e)
2
2 F P (e)
F Na
截面法所截开的杆件中，轴力未知的 杆件一般不应超过三根，这样可不解 联立方程
仍以上一节例6-2-1为例，见图6-3-1。
I
FAx=0
FAy=2FP I
(a)
FBy=2FP
用截面I—I截开桁架第二节间的三根 杆，取左侧部分为隔离体。然后，分 别截断
F NGC
F Ax= 0
hb
F NGD F NED
D
F NDC
F NGE
G
A
K
F NKH
FP FP
(c)
由图(c)所示截面左侧隔离体求出截面
截断的三根杆的轴力后，即可依次按
结点法求出所有杆的轴力。
方法1：
见图(d) ，由结点H的结点单杆 EH上的轴力，再由结点E（当杆 EH轴力已知时，杆a既是结点E 上的结点单杆）可求出杆a的轴 力。
F NEC E
用图(j)表示桁架内力计算的最终结 果。
C
5FP
3 5 2
FP
0

5 2 FP
FP
K
A 3FP E 3FP D
(j)
2、结点法的特殊情况
单杆概念
在桁架计算所取的隔离体（结点法 中的结点，或截面法中的桁架的一 部分）所截断的杆件中，若有一根 杆件的位置或方向独立于其它杆件， 使该杆的轴力可由该隔离体独立确 定，则这个杆件就叫做该隔离体的 单杆。
利用该结点的对称性，且由水平方 向的投影方程得：
FNa
2 2 FP
(a)
§6.4 组合结构的内力分析
既有梁式杆又有桁架杆的结构称作 组合结构。见图6-4-1所示。
图6-4-1
组合结构内力计算的一般途径是： 先计算桁架杆，再计算梁式杆。
例6-4-1
计算图(a)所示组合结构，求出二力 杆中的轴力，并作梁式杆的弯矩图。
1
2
FYa3d(FP2d)3FP
FNa lL YaaFYa25(3 2FP)35FP
截面法的特殊情况
截面法单杆分两种情况，即在截面 上截断的全部杆件中，
1) 除了一根单杆外，其它杆全部交于 一点；
2) 除了一根单杆外，其它杆杆轴均 相互平行。见图6-3-2所示
(a)
(b)
图6-3-2
FBy=2FP
(b)
解：
对于简单桁架，可以用结点法求出全 部杆件的轴力。
要点
按拆二元体的顺序，依次取结点 （每次截断两根未计算的杆件）为 隔离体，可不解联立方程。
对本例，用结点法计算如下：
结点A： 见图(c)
FNAG
F Ax= 0
FNAE
F Ay= 2F P
(c)
sin 1
5
cos 2
2b
F Ay= 2 F P
(b)
参照图(b)计算如下：
见图(b),未知杆力在隔离体上的一 般表示。
MD 0
F NG 1 h C(F P bF 2 P2 b2 F P2 b )
由几何关系得：h 2 b 代入上式，
5
FNGC 5FP
MG 0
FNE Db 2(2FPF 2P)b3FP
1.5m
q=10kNm
A
C
B
G
H
D
E
3m 2m 2m 3m
(a)
解：
计算支座反力 见图(b)
q=10kNm I
A FAx=0
C
B
G
H
FAy=37.5kN D
I
E FBy=12.5kN
(b)
取截面I—I右侧，计算杆DE的轴力 和铰C处的约束力，见图(e)。
FCy=-12.5kN
C
B
FCx=-41.67kN H
FY 0
F NG sD i2n F Pco s 0
FNGD
5 2 FP
(e)
FX 0
F NG 3 C 2 5F PF NG cD o 2 sF Psin 0
FNGC 5FP
(f)
见图(g) 结点的两个平衡方程有时 可以写成力矩的形式。
F YGC
3FP
三角形桁架、平行弦桁架、梯形桁架、 折线形桁架、抛物线形桁架等。
3)根据桁架支座反力的特点分为：
梁式桁架、拱式桁架（有推力横加）。
3、内力计算方法：
静定桁架的内力计算基本方法分 为：
结点法
截面法
实际应用一般是这两种基本方法的灵活 选择、联合应用。
在同一坐标中，桁架杆的轴力及投 影与杆长及投影有比例关系如下：见 下图。
架，试找出用结点法计算时的简单 途径。
解：见图(a)所示桁架
FP
(a)
上部结构是对称的，只有一个水平支 座约束不对称，是该桁架的两个特点。 一般可利用对称性简化计算过程。
思路和做法如下:
由结构整体在水平方向上的平衡 条件，可确定出水平支座反力，见 图(b)。
FP
FP
(b)
根据叠加原理，可将图(b)示出的已 知外力分解成正对称和反对称两组外 力后，分别作用在结构上，见图(c)、 (d)所示。
FY 0
(F NG F D NG )sC in F PF 2 P2 F P0
FNGD
5 2 FP
见图(c)有时利用未知杆力在隔离体
上的分力表示，可避免求斜杆力臂
的麻烦。
F YGC
F XGC
F Ax= 0
b
F NED
F XGD
2b
F Ay= 2 F P
F YGD
(c)
对于联合桁架，若要求计算出全 部杆的轴力，用截面法求简单桁 架之间的约束力，是必经之路， 也是关键步骤。
结点E：见图(e)
F NEG
3FP
F NED
FY 0
FX 0
(e)
FNEG0
(c)
FNED3FP (d)
结点G：见图(f)
3
5 2
FP
F NGC F NGD
(f)
当两个待求轴力杆都为斜杆时，若要 不使结点的两个平衡方程耦联只要
将直角坐标的一个坐标轴与其中的 一个杆轴重合，先建立另一个坐标 轴的投影方程即可。
理想桁架中的所有杆均是二力杆
理想桁架计算得出的内力（轴力）叫主 内力，相应的应力叫主应力。而由于与 理想假定偏差而产生的附加内力叫次内 力，相应的应力叫次应力。
2、桁架的分类 1)根据桁架的几何组成分类：
简单桁架： 见图3.5.1 联合桁架： 复杂桁架：
(a)联合桁架
(b)复杂桁架
2)根据桁架外形的几何形状分为：
5
FY 0
(a)
FNAsGi n2FPF2P
0
FNAG

3 5 2
FP
FX 0
(b)
F NA E F NA cG o s0 FNAE3FP
利用比例式(6-1-1)时，结点A的受 力图见图(d)，
F Ax= 0
F YAG F XAG F NAE
F Ay= 2 F P
(d)
将斜杆中的待求轴力FNAG用X、Y方向 的 两 个 分 力 FXAG 、 FYAG 代 替 ， 计 算 如 下：
FY 0
FYAG2FP
FP 2
0
FYAG


3FP 2
由比例关系，得：
FNAG LLYAAGG FYAG 325FP
(a)
FX 0
(b)
FNA EFXA G0 F NA EF XA G 3F P
解：
图(a)，桁架中的零杆如图(a) 右虚线所示。然后可分别由结点D、 C计算余
D
C
D
C
(a)
图(b)，桁架中的零杆如图(b) 右虚线所示。然后求支座反力， 再依次取结点计算余下各杆轴力。 次序可为：A、D、C或 B、C、D， 或分别A、B再D或再C。
C FP
2FP C FP
2FP
(b)
例6-2-3 分析图(a)所示静定桁
图(d)：
在反对称荷载下，桁架应具有反对称 的内力分布，即在桁架的对称轴两侧 的对称位置上的杆件，应有大小相等、 性质相反的轴力。
考查结点E：见图(f) EJ为零杆，继而JA、 JB为零杆。
(f)
§6.3 桁架内力计算的截面法
截面法：用一个假想的截面，将桁架 截成两部分，取其任一部分为隔离体 ，建立该隔离体的平衡方程，求解杆 轴力的方法。
3FP 2
(g)
F XGC F XGD
F YGD
将力系中的某力沿其作用线上滑移到任 一点分解，不影响原力系的平衡状态。
据此，将三根斜杆的轴力，均在各杆 相对G点的另一端点处分解。由于此时 两个竖向未知力分量在一条竖直线上， 可由C、D两点分别为矩心的力矩方程 求出两个水平未知力分量。计算如下：
MD 0
FN FX FY L LX LY
(简称：力与杆长比例式)
规定: 桁架杆轴力以受拉为正。
§6.2 桁架内力计算的结点法
1、结点法：
每次取一个结点为隔离体，利用结 点平衡条件，求解杆轴力的方法。
例6-2-1
用结点法计算图(a)所示静定桁架。
C K
A
E
D
4b
(a)
b FAx=0
FAy=2FP
F XG C b 1(F Pb3F 2P2b) 2F P
FYGCLLYXG GC CFXGCFP
(f)
FNGC LLXGG CC FXGC 5FP
MC 0
F XG b 1 D ( F P b 3 F P b 3 F 2 P 2 b ) F P
FNED=41.67kN E
12.5kN
(e)
MC 0 FNE D11 .5(1.2 55)4.1 6k7N
求余下二力杆中的轴力 取结点E，计算结果见图(c)
FNEH=-20.83kN FYED=20.83kN
41.67kN E FXED=41.67kN
(c)
其中斜杆EB（AD）的轴力： FNEBL LY EEBF BYE B 152.8 0 34.5 6k8N 作弯矩图
FYGD L LY XG GD D FXGD 12FP
(e)
FNGD LLXGG DD FXGD
5 2 FP
结点C：见图(h)
2 FP FP
FNCD
2 FP FP
(h)
FY 0
FNCD FP
结点D：见图(i)
FP 2
FP
3FP
FP 2
FPFra Baidu bibliotek
3FP
(i)
该结点上的各杆轴力已有前各 步计算得出，在此用于校核。
例6-3-2
FP
d
d
d
d
(a)
解： 由上部结构的整体平衡条件，求的 支座反力如图(b)所示。
I
F A x= F P
F Ay= F P/2 I
F By= F P/2
(b)
取截面I—I右，可求该截面上的单 杆AK的轴力（当不利用结构的对称性 时，这一步是解题的关键）。计算如 下：
FY 0
FN
F P/2
F P/2
F P/2
F P/2
F P/2
F P/2
F P/2
F P/2
(c)
(d)
内力分析和解题路径：
图(c)：
在正对称荷载下，桁架应具有正对 称的内力分布，即在桁架的对称轴 两侧的对称位置上的杆件，应有大 小相等、性质相同（拉或压相同） 的轴力。
考查结点K，见图(e)
(e)
结点上两斜杆的轴力应满足大小相等、 性质相反（一拉一压）。这是K形结点 (根据结点的形状，又叫K形结点)上两 斜杆在其结点上无结点荷载情况下的典 型内力特点。与前面特点矛盾，故KD、 KF为零杆。
例6-3-1 试对图(a)所示桁架，1)分
析并确定求解整个桁架内力的路径；2)
寻找只计算杆a轴力时的简捷方法，并
求出杆a轴力
D
C
E
3d
G
A
KHB
FP FP
3d
(a)
解：
求整个桁架内力的一般步骤是， 先求出支座反力，见图(b)
I
D
C
E
a G
A
KHB
FP FP FP
FP
I II II
(b)
利用截面I—I截开两简单桁架的连接 处，取截面任一侧为隔离体，见图(c)