高等数学I(1)试题

高等数学I （1）试题选编

1．求函数的极限

（1）5

2432)76()23()34(lim +--∞→x x x x ； （2）x x x x x sin cos 2lim -+∞→；

（3） x x x x 2sin 3tan lim 20→； （4） x x x 3cot 5sin lim π→；

（5）x

x x x 1

0)

121(lim +-→； （6）x x x x o x 23151lim 2+--+→。

2．求数列的极限：

（1）

n

n n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2

1lim ； （2）

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-+-∞→111lim 3n n n n ； （3）)

(lim n

b

n

a

n e e n -∞

→，其中b a ,为正的常数。

3．研究并确定x x x arctan 1

arcsin

lim ∞

→。

4．求b a ,之值使2

)15(lim 2=++-+∞

→bx ax x x

5．设

x x x f ln 1

)(-=

，确定b a ,之值，使得当a x →时)(x f 为无穷小；当b x →时)(x f 为无穷大。

6．设)(x f 在),(b a 内有定义，且单调增加，

)

(lim ),,(0

0x f b a x x x →∈又存在，求证)(x f 在0x 处连续。

7．确定

)1(2

cos )(-=

x x x

x f π

的间断点，并判定其类型。

8．求⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+-+-=)1ln(21

)(22x x x x x f 121≥-≠

9．求

233

2)(1

1++=

x

x

e e x

f 的间断点，并判定其类型。

10．求

x x f 1

arctan

)(=的间断点，并判定其类型。 11．设

x x

x f arcsin

)(=，确定)(x f 的连续区间，并指出间断点的类型。 12．写出

n n n n n x x x x x f -+-+∞→++=)

1(2lim

)(分段函数的表达式。

13．设有n 次多项式

k

n

k k x a x f ∑==0

)(，若此多项式的第一个系数0a 与最后一个系数n a 异号，求证方程

0)(=x f 至少有一个正根。

14，若)(x f 在),[+∞a 上连续，且)

(lim x f x +∞→存在，求证)(x f 在),[+∞a 上有界。

15．求证⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=011)(x x x f 00

≤>x x 在0=x 处连续但不可导。

16．常数b a ,取何值时

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧++=b ax x x f 212)( 11>≤x x 在1=x 处连续且可导？ 17．设)

ln(222222

2x a x a x a x y ++++=，求dx dy 。

18．设

⎪

⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x x arc y cos sin cos sin cot ，求dx dy 。 19．设2

32

2

)(,x x u y y x +=+=，求du dy

。

20．设3

2)2()1()1(-+-=x x x y ，求dx dy

。

21．设x

x x y )1(2++=，求dx dy

。

22．设)(x y y =是由方程y

x x y +=arctan 所确定，求dx dy

。

23，求由⎩⎨⎧+=+=t

t t y t

t x 4522

所确定的函数)(x y y =的导数dx dy 。

24．设⎩⎨⎧'+-='+=)()(3)(2t f t t f y t f x ，其中)(t f ''存在且0)(≠''t f ，求dx dy 及2

2dx y d 。

25．设⎩⎨⎧+=+=kt t k y kt t k x cos cos sin sin ，其中0≠k 为常数，求0=t dx dy 及2

2dx y d 。

26．设)(x y y =是由方程组⎩⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y

所确定，求0

=t dx

dy 之值。

27．设)0(ln >=x x x

y ，求n

n dx y d 。

28．设x

x x y csc 11

--+=，求dy 。

29．设

x

x y ⎪

⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=2322，求dy 。 30．设)(t f 可微，0)(≠'t f ，若⎩⎨

⎧==)(sin )

(t f y e x t f ，试求)(t A ，使dx t A dy )(=。

31．求曲线

632422=++y xy x 在点)1,1(-M 处的切线和法线方程。 32．求方程⎩⎨⎧-==+t t y x xt t 32)cos(3

所表示的曲线在0=x 处的切线方程与法线方程。

33．设)(x f y =在],[b a 二阶可导，0)()(==b f a f ，且曲线)(x f y =与抛物线))((x b a x y --=在

),(b a 内有一个交点，求证在),(b a 内至少存在一点ξ，使2)(-=''ξf 。

34．设)(x f 在]1,0[连续，在)1,0(内可导，且)1,0(,0)0(∈∀=x f 有0)(≠x f 。求证存在)1,0(∈c 使

)1()

1()()(c f c f c f c f n --'='（n 为自然数）。

35．设)(,0x f b a <<在],[b a 上可导，试证明),(b a ∈∃ξ使

a b

f a f b f ln

)()()(ξξ'=-。

36．设)(x f y =在]1,0[上二阶可导，1)1(,1)1()0(='==f f f 。求证在)1,0(存在一点c ，使2)(=''c f 。 37．设)(x f 在闭区间]1,0[上二阶可导，且1

)(min ,0)1()0(1

0-===≤≤x f f f x ，求证8

)(max 1

0≥≤≤x f x 。

38．求极限。

（1）202lim

x e e x x x -+-→； （2）201

cot lim x x x x -→； （3）x x e x x ++∞→2lim ； （4）)111(lim 0--→x x e x ； （5）)1arctan 2(1lim 220π-→x x x ； （6）x

x x x cos 11

0)sin (lim -→；

（7）x

x x sin 0

)

(cot lim +→； （8）x

k

x x ln 10

)

(sin lim ++→（其中k 为不等于零的常数）。

39．确定2

2ln x x y -=的单调区间。

40．设可微函数)(x y y =由方程

0433

3=+-+y x y x 所确定，试求此函数的单调区间。 41．已知

bx ax x x f ++=2

3)(在1=x 处有极值2-，试确定系数b a ,，并求出)(x f 所有极值与曲线)(x f y =的拐点。

42．求证方程015

=-+x x 只有一个正根。

43．求函数x

x x x f ln 22)(2

++=在]1,4[--上的最大值与最小值。

44．外切于半径为1的定圆的等腰三角形，在什么条件下它的面积最小?

45．欲做一个横截面为等腰梯形的水槽，且梯形的腰长及下底长均为b 。问水槽的两侧壁间的夹角θ为

何值时，此水槽有最大的横截面积？ 46．证明不等式：