悬臂梁应力分析有限元程序设计

题目：悬臂梁应力分析有限元程序设计

毕业设计（论文）外文摘要

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目录

1 引言 (1)

2 有限元理论 (2)

2.1 有限元法产生的动因分析 (2)

2.2 有限元的发展历程 (3)

2.3 有限元分析的研究特点 (4)

2.4 有限元法的分析过程 (4)

2.5 有限元的发展趋势 (6)

3 悬臂梁应力分析有限元程序开发 (9)

3.1 Matlab语言指南 (9)

3.1.1 Matlab语言简介 (9)

3.1.2 Matlab的优点 (10)

3.2 悬臂梁应力分析程序设计 (11)

3.2.1平面问题的4节点矩形单元描述 (11)

3.2.2 平面问题4节点矩形单元的MATLAB程序 (16)

3.2.3 悬臂梁应用举例 (20)

结束语 (34)

致谢 (35)

参考文献 (36)

1 引言

悬臂梁在工程力学受力分析中，是一种比较典型的简化模型。在实际工程分析中，大部分实际工程受力部件都可以简化为悬臂梁。根据有限元法的基本原理和解决问题的基本思路，对悬臂梁所受的应力进行有限元分析有着重要的作用。尽管目前已有不少从国外引进的大型通用程序，但由于这些程序通用性很强，语句多，要求计算内存大，在计算具体问题时往往占用机时多，计算成本高，在PC微机广泛普及的今天，编制一些便于推广应用的专用程序无论对于工业设计还是教学实践都是具有一定意义的。

目前，悬臂梁结构在实际工程中被得到广泛的应用，是一种较为常用的结构，尤其在机械设计、建筑设计中更是常见。悬臂梁结构在实际的使用过程中，经常要承受各种集中载荷、分布载荷、弯矩和扭矩的作用，在梁的任意一处都有可能产生较大的应力和变形，从而使得悬臂梁结构破坏或失效。悬臂梁的强度及刚度是否满足要求将关系到整个设备的安全使用[1]。因此，在对悬臂梁结构设计的过程中，如何对悬臂梁的应力进行分析，具有工程实用价值和现实意义。有限元分析是用来决定复杂机械结构中的应力和变形的一种非常有效的方法，当前用计算机进行的应力分析几乎全部都是以有限元理论为基础的。反过来说，有限元方法的广泛应用也是以计算机技术的发展为其前提。机械结构的有限元模型可以看做是一个弹性系统，当该系统有载荷作用时，系统中所有单元发生变形直到全部力达到平衡为止。对于每一单元，可写出其节点位移和作用力的关系式，从而达到对悬臂梁进行应力分析的目的。悬臂梁应力分析有限元程序设计方法是计算机程序开发方法的一种变革，是利用计算机解决问题的一种新的思维方式，它使程序设计更加贴近现实。悬臂梁在计算机程序中表示为对象，其目的在于使实际问题中的悬臂梁与程序中的对象具有一一对应的关系，实现利用计算机解决实际问题的目的[2,3]。

2 有限元理论

有限元方法或有限元分析，是求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。将它用于在科学研究中，可成为探究物质客观规律的先进手段。将它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。有限元法是根据变分原理求解数学、物理问题的数值计算方法。有限元法是工程方法和数学方法相结合的产物, 它可以求解许多过去用解析方法无法解决的问题，特别是随着计算机软件、硬件的飞速发展,有限元也得到了飞速发展。目前,有限元方法已经发展并应用到几乎所有的技术领域,从最原始的杆系结构、弹性力学平面问题、空间问题、弹性薄板和薄壳, 到流体力学、热传导、非线性及塑性力学、岩石力学、土力学、结构动力学、弹性稳定、断裂力学、结构优化设计等方面,都有非常成功的应用。

2.1 有限元法产生的动因分析

任何一种科学理论都是在特定的环境中产生的,有限元法也不例外。它的产生是数学和工程学共同作用的结果。

从外部技术需求的角度看,有限元法的产生主要是由于工程学的推动。二十世纪以来,大型民用设施的建设和军事设施的研发给科学技术的发展带来了一系列难题。首先,伴随着生产力的发展,在设计一些大型工程项目时,要用到新的工程学理论。比如虽然我们知道棒、梁、柱等简单组件在某些受力情况下的行为,但当大量的组件组成结构复杂的桥梁和其他建筑时,它们之间的受力关系就相当复杂,远超出了我们的分析能力。还有大型水坝建设中的应力计算问题也是当时的工程学理论不能解决的。其次,在第二次世界大战中,科技显示出了巨大的力量,战争双方为了军事斗争的需要,都十分重视军事设施的研发,这中间也产生了一些难题,比如下文提到的战斗机的机翼设计问题。上面的三个例子可分为两类:第一类,如何将简单的单元组成复杂的系统,第一个例子属于此类;第

二类,如何将复杂的系统拆分成简单的单元,第二、三个例子属于此类。这两类问题均需要有限元法的理论来解决。

从数学学科的内部动力看,有限元法的产生是为了解决黎兹(Ritz)-伽略(Galerkin)方法在应用中遇到的困难。根据极小位能原理,求解某些微分方程时,可以求使微分方程相应的泛函达到极小值的函数,这个函数就是微分方程的解。实际应用此原理的困难在于如何使泛函在无穷维空间上达到极小值。1909年,黎兹发表了一篇文章,在其中他用有

穷维空间近似代替无穷维空间。通过在有穷维空间中选取一组基函数,用基函数与未知参量的组合来表示微分方程的解,然后用极小位能原理求出未知参量,进而求解微分方程。这样得出的解在所选的有限维空间中是对真实解的最佳逼近。1915年,伽略金给出了在本质上完全一样的计算方法,不同的是他的理论基础是虚功原理。由于虚功原理比极小位能原理限制条件少,所以Galerkin方法比Ritz方法应用范围广。后来人们把他们的方法合称为黎兹-伽略金方法。

黎兹-伽略金方法在解决大型问题时会有许多原则性困难,主要有:

(1)基函数的选取难以满足微分方程的边界条件。由于黎兹-伽略金方法在整个定义域上用单一的解析式定义基函数,所以当定义域不规则时,基函数很难满足边界条件。

(2)计算量大。首先,在形成关于未知参量的方程时,要计算大量的积分;其次,解这些方程时,还要进行大量的计算。在没有计算机的情况下,稍微复杂点的方程就无法求解。

可以说,内部动力和外部动力对有限元法产生的影响是双重的。一方面,很明显它们提出了一些旧理论不能解决的问题,刺激了有限元法的产生;另一方面,它们也为有限元法的形成作了一些铺垫,比如上面提到的如何组合单元的问题对有限元法的形成很有启发意义,因为它的逆过程就是有限元法的关键步骤)单元拆分,黎兹-伽略金方法中的近似求解则为有限元法的产生作了理论上的准备[4]。

2.2 有限元的发展历程

有限元法的发展历程可以分为提出(1943)、发展(1944至1960)和完善(1961至20世纪90年代)三个阶段。有限元法是受内外动力的综合作用而产生的。

1943年，柯朗发表的数学论文《平衡和振动问题的变分解法》和阿格瑞斯在工程学中取得的重大突破标志着有限元法的诞生。

有限元法早期(1944至1960)发展阶段中，得出了有限元法的原始代数表达形式，开始了对单元划分、单元类型选择的研究，并且在解的收敛性研究上取得了很大突破。1960年，克劳夫第一次提出了“有限元法”这个名称，标志着有限元法早期发展阶段的结束[5]。

有限元法完善阶段(1961至20世纪90年代)的发展有国外和国内两条线索。在国外的发展表现为: 第一，建立了严格的数学和工程学基础;第二，应用范围扩展到了结构力学以外的领域;第三，收敛性得到了进一步研究，形成了系统的误差估计理论;第四，发展起了相应的商业软件包。