概率与数理统计公式

设事件 A 、B 满足 P ( AB ) P( A)P ( B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
P( B | A) P( AB ) P( A)P( B) P( B)
P( A)
P( A)
若事件 A 、 B 相互独立， 则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独
种方法来完成，则这件事可由 m× n 种方法来完成。
重复排列和非重复排列（有序）
对立事件（至少有一个）
顺序问题
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，
但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试
验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下， 不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件， 它具有
C Pn ( k )
k n
pkqn
k
，
k
0,1,2,
, n 。 /g
第二章 随机变量及其分布
（1）离散 型随机变 量的分布 律
设离散型随机变量 X 的可能取值为
件(X=Xk) 的概率为 P(X=xk)=p k， k=1,2, …， kn
Xk(k=1,2, … ) 且取各个值的概率，即事
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形
j1
此公式即为贝叶斯公式。
P ( Bi ) ，（ i 1 ， 2 ，…， n ），通常叫先验概率。 P(Bi / A) ，（ i 1 ， 2 ，…， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
“由果朔因”的推断。
我们作了 n 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；
函数 F ( x) 表示随机变量落入区间（–
分布函数具有如下性质：
1° 0 F (x) 1,
x
∞， x] 内的概率。 ；
2° F (x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F (x1) F ( x2) ；
3° F ( ) lim F ( x) 0 ， F ( ) lim F (x) 1 ；
x
x
4° F ( x 0) F (x) ，即 F ( x) 是右连续的；
5° P( X x) F ( x) F ( x 0) 。
对于离散型随机变量， 对于连续型随机变量，
F ( x) F ( x)
pk ；
xk x
x
f ( x) dx 。
（5）八大 分布
0-1 分布 二项分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
者 P( ) 。 泊松分布为二项分布的极限分布（
np=λ， n→∞）。
P( X
k)
C
k M
?
C
n N
k M
C
n N
k , l
0,1,2 , l min( M , n)
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M) 。
P( X k ) qk 1 p,k 1,2,3, ，其中 p≥0， q=1-p 。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B 2, , Bn 满足
1° B1, B 2, , Bn 两两互不相容， P(Bi ) 0(i 1,2, , n) ，
n
A
Bi
2°
i1 ，
则有
P ( A) P ( B1) P( A | B1) P( B 2) P( A | B2)
P(Bn)P( A | Bn) 。
立。 必然事件 和不可能事件 ? 与任何事件都相互独立。 ? 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性 设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B) ； P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、 B、 C 相互独立。
为必然事件，？ 为不可能事件。 不可能事件 （?） 的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
同理，
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B的组成部分， （ A发生必有事件 B 发生）：
AB 如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：
（ 6 ）事件 的关系与 运算
加法原理（两种方法均能完成此事） ： m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由
m种方法完成，第二种方法可由 n
种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ： m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由
m种方法完成，第二个步骤可由 n
A=B。 A、B中至少有一个发生的事件： A B，或者 A+B。
属于 A而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B的差，记为 A-B，也可
表示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B不发生的事件。
A、B同时发生： A B，或者 AB。 A B=?，则表示 A与 B 不可能同时发生， 称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
.
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每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验
否是互不影响的。
这种试验称为 伯努利概型， 或称为 n 重伯努利试验。
A 发生与
用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为 1 p q ，用 Pn(k ) 表
示 n 重伯努利试验中 A 出现 k(0 k n) 次的概率，
X ~ B(n, p) 。 当 n 1时， P( X k) p k q1 k ， k 0.1 ，这就是（ 0-1 ）分
布，所以（ 0-1 ）分布是二项分布的特例。
.
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泊松分布
超几何分布 几何分布 均匀分布
设随机变量 X 的分布律为
k
P( X k)
e，
k!
0 ， k 0,1,2 ，
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ ( ) 或
Ai
德摩根率： i 1
Ai
i1
A B A B， A B AБайду номын сангаасB
（ 7 ）概率 的公理化 定义
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数
足下列三个条件： 1° 0 ≤P(A) ≤ 1， 2° P( Ω ) =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1 ， A2 ，…有
P(A) ，若满
P Ai
件 B 发生的条件概率，记为 P( B / A) P( AB) 。 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
.
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（ 13 ）乘法 公式
（ 14 ）独立 性
（ 15 ）全概 公式
（ 16 ）贝叶 斯公式
（ 17 ）伯努 利概型
例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)
乘法公式： P ( AB) P( A) P(B / A)
更一般地，对事件 A1， A2，… An，若 P(A1A2…An-1 )>0 ，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P ( A 2 | A1)P ( A3 | A1A2) …… P ( An | A1A 2 …
An 1) 。
①两个事件的独立性
如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用
来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用
表示。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件
）组成的集合。通常用大写字母
A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。
积分元 f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
P ( X xk) pk 在离
.
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（4）分布 函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数 F (x) P( X x)
称为 随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数 。
P (a X b) F (b) F (a) 可以得到 X 落入区间 (a, b] 的概率。分布
分布函数为
x
F ( x)
f (x)dx
0，
xa ,
ba
1，
x<a， a≤ x≤ b x>b 。
当 a≤ x 1<x2≤ b 时， X 落在区间（ x1, x2）内的概率为 P( x1 X x 2 ) x2 x1 。
ba
.
指数分布
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f ( x)
e x,
0,
x 0, x 0,
其中
0 ，则称随机变量 X 服从参数为
m A所包含的基本事件数
n
基本事件总数
（ 9 ）几何 概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，
同时样本空
间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，
则称此随机试验为几何
概型。对任一事件 A，
L( A)
P( A)
。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。
L( )
（ 10 ）加法 公式
式给出：
X
x1, x 2, , xk,
|
P( X xk ) p1, p 2, , pk , 。
显然分布律应满足下列条件：
pk 1
（1） pk 0 ， k 1,2, ， （ 2） k 1
。
（2）连续 型随机变 量的分布 密度
设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数， 若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生
的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2, , n 。
P( X
k)
Pn( k )
C
k n
pk
qn
k
，
其中
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2, , n ，
则称 随机变 量 X 服从 参数为 n ， p 的二 项分布。记 为
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第 1 章 随机事件及其概率
（ 1 ）排列 组合公式
n
m!
Pm
( m n)!
从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
n
m!
Cm
从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
n! (m n)!
（ 2 ）加法 和乘法原 理
（ 3 ）一些 常见排列 （ 4 ）随机 试验和随 机事件
（ 5 ）基本 事件、样本 空间和事 件
（ 11 ）减法 公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝ 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A时， P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω时， P( B )=1- P(B)
（ 12 ）条件 概率
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0 ，则称 P ( AB) 为事件 A 发生条件下，事 P ( A)
i1
常称为可列（完全）可加性。
P(Ai)
i1
则称 P(A) 为事件 A 的概率。
（ 8 ）古典 概型
1°
1, 2
n，
2° P( 1 ) P( 2 )
P( n)
1
。
n
设任一事件 A ，它是由 1 , 2
m 组成的，则有
P(A) = ( 1 ) ( 2 )
( m ) = P ( 1 ) P( 2 )
P( m)
设事件 B1， B 2 ，…， Bn 及 A 满足
1° B1， B2 ，…， Bn 两两互不相容， P ( Bi ) >0， i
n
A
Bi
2°
i 1 ， P( A) 0 ，
则
1， 2，…， n ，
P( Bi / A)
P(Bi ) P( A / Bi )
n
， i=1 ， 2，… n。
P( B j ) P( A / B j )
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p) 。
设随机变量 X 的值只落在 [a ，b] 内， 其密度函数 f ( x) 在[a ，b]
1
上为常数
，即
ba
1, f ( x) b a
0,
a≤ x≤ b 其他，
则称随机变量 X 在 [a ， b] 上服从均匀分布，记为 X~U(a ， b) 。
.
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-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生
的事件。互斥未必对立。 ②运算：
结合率： A(BC)=(AB)C A ∪ (B ∪C)=(A ∪ B)∪ C 分配率： (AB) ∪ C=(A∪ C)∩ (B ∪C) (A ∪ B) ∩ C=(AC)∪ (BC)
x
F (x)
f ( x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f ( x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数， 简称概
率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 。
（3）离散 与连续型 随机变量 的关系
f ( x) dx 1
2°
。
P(X x) P(x X x dx) f ( x)dx
X 的分布函数为
的指数分布。
F ( x)
1 e x, 0,
x 0,
x<0 。
正态分布
设随机变量 X 的密度函数为
f ( x)
(x
1
e2
2
)2
2
，
x
，
其中 、 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 、 的正态分布或高斯（ Gauss）分布，记为 X ~ N ( , 2) 。