正交多项式理论
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§2 连续函数空间，正交多项式理论
2.2 正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式
一、生成（张成）的集合 n 定义6 设 i ( x) i 0为Ca, b 中线性无关组，称集合 为由 生成（张成）的集合。 结论: （） Span 0 ,, n C[a，b]； 1
2 n n n （2）性质 令 ( x) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ，
dn dn ( x ) n ( x 1)n ( x 1)n dxn dx
正交多项式，即
当n m 0, ( Pn , Pm ) Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 1 当n m 2n 1 （4）Legendre多项式的奇偶性 Pn ( x ), 当n为 偶 数 n Pn ( x ) ( 1) Pn ( x ) Pn ( x ), 当n为 奇 数
二、 史密特正交化 定理3 （格兰姆-史密特（Gram-Schmidt）正交化） （1）设 Hn Span , x,, x n ; 1 n 则由基 1, x,, x 可构造以 ( x ) （） ( x ) 0权函数， 2 为权函数的正交多项式组{ 0 ( x)，1 ( x)， ， n ( x)} 使得 k (x ) 为首项 （即 x k项）系数是1的k次多项式，即 0 ( x ) 1 k 1 k k ( x ) x ckj j ( x ), k 1,2,, n。 j 0 k ( x , j ) 其 中 系 数ckj , ( j 0,, k 1)， ( j , j ) 证明：用递推构造法证明 (1) 令0 ( x) 1; (2) 构造1 ( x) x c100 ( x), 且选取c10使 ( x, 0 ) 0 (1 , 0 ) ( x,0 ) c10 (0 ,0 ), 即 选 取 c10 ( 0 , 0 )
0
~ Tk ( x)为首项系数为 k次多项式。 1的 定义8 n次多项式Tn ( x) cos( narc cos x) 称为n次Chebyshev多项式， 首项系数为 2 n 1。 （1）Chebyshev多项式 {Ti ( x)} 是[-1，1]上具有权函数 i 0 1 Tn ( x) cos(n ), Tm ( x ) cos(m ) ( x) , 的正交多项式组。即 1 x2 x cos 0
#
说明： i ( x)i 0 为 H n中一个正交基。
n
三、 正交多项式组的性质 定理4 (正交多项式的三项递推公式) 设 {k ( x)}n0 为[a，b]具有权函数 ( x) 的正交多项式组， ( x) i k 是首项系数为1的i次多项式，则 { k ( x )}满足递推公式: 0 ( x) 1 1 ( x ) x 1 k 1 ( x) ( x k 1 )k ( x) k 1k 1 ( x),(k 1,2,, n 1) ( x k , k ) ( k , k ) 其中 k 1 ， k 1 ( k , k ) ( k 1 , k 1 ) 且于 a, b]带权函数 ( x)为正交多项式组 k ( x)}n0 ,（ k ( x )为首项系数 [ { k
2．切比雪夫（Chebshev）多项式（应用于最小二乘） 1 ~ ,正交多项式组记为{Ti ( x)}n0， 取 [a, b] [1,1], 权 函 数 ( x ) i ~ 1 x2 T ( x ) 1
~ T1 ( x ) x ~ ~ ~ 1 2 且有 (T i , T j ) 0,当i j。 T ( x ) x 2 2 ~ 3 1 1 T3 ( x ) x 3 x [0, ], , dx sind 2 4 sin 1 x
将(2.6)代入(2.5)得 P( x) a00 ( x) a1[1 ( x) c100 ( x)] a2[2 ( x) c200 ( x) c211 ( x)] an[n ( x) cn00 ( x) cn11 ( x) cnn 1n1 ( x)] a a c21 a c [a00 (a1c10 a2c20 anncnn00))]0 ( x) [a11 a22c21 c anncnn11 ]1 ( x) c nnn ( x) a a (a1c10 a2c20 a c c
j 0
选择系数ckj 使 0 ( k , i ) ( x k , i ) （ ckj jj,, i i)) c ki i， i） （ kj
j 0
k 1
即
( x k , i ) c ki , (i 0,1,, k 1) ( i , i )
正交性
（3）设已构造 0 ( x),1 ( x),, k 1 ( x),(k 1), 且满足： (a) i ( x)是首项系数为1的i次多项式； (b) ( ii , jj ) 0, 当 i j(i , j 0,1,, k 1) k 1 k 由 x k 及 0 ,1 ,,k 1 组合构造 k ( x ) x ckj j ( x )
（1） Pn (x ) 的首项系数a n
2n( 2n 1)( n 1)n2 1 n x n! ( 2n)! n x n! ( 2n) ( x) 2n(2n 1)(n 1)n2 1 (2n)!
则
an
1 ( 2n)! ， n 2 n! n!
dn dn n n ( x ) n!(1 1) n!2 ， n ( x ) n!(2)n， n dx dxn x 1 x 1 p( k )( x 1)n k ( x 1)k k 0 则 （a） Pn (1) 1, Pn (1) (1)n； k 1 dn 2 d Pn ( x ) n ( x 1)n （b） k ( x ) 0， 当k n时. 2 n ! dxn dx x 1 Pi n0 为[-1，1]具有权函数 ( x ) 1 的 （3）Legendre多项式 i
1
（5）Legendre多项式的三项递推公式
~ P0 ( x ) 1 由定理4及 Pn ( x) 的唯一性 P1 ( x ) x ( k 1) p ( x ) x( 2k 1) P ( x ) kP ( x ) ，k 1,2,) , x [1,1] ( k 1 k k 1
n i i 0
n Span 0 ,, n S ( x ) S ( x ) a i i ( x ), a i 为 实 数 i 0
（） Hn Span 1, x， , x n 是 Span 0 ,,n 的特例。 2
问题:
Hn Span 1, x， , x n ，如何由1, x， , x n得到正交基？
b
( x k , i ) cki i , i ) （
于是{i ( x)}n0 为[a，b]具有权函数 ( x) 的正交多项式组， i
即 ( i , j ) ( x ) i ( x ) j ( x )dx 0,当i j。
a
#
n { 推论 设（1）i ( x)}i 0 为[a，b]具有权函数 ( x) 的正交多项式组 其中 i (x) 是首项系数为1的i次多项式；
P( x) a0 a1 x an x n
k 1 j 0
( 2 .5 ) ( 2 .6 )
又
x k ( x ) ckj j ( x ), ( k 1,2,, n)
k
将(2.6)代入(2.5)得 P( x) a00 ( x) a1[1 ( x) c100 ( x)] a2[2 ( x) c200 ( x) c211 ( x)] an[n ( x) cn00 ( x) cn11 ( x) cnn 1n1 ( x)]
c0 0 ( x) c11 ( x) cn n ( x)
0
1
Biblioteka Baidu
两边与 i (x)作内积，则有 （P( x)， i ( x) c（ i ( x)， i ( x) ） i ） （P ( x )， i ( x ) ） 于是 ci ，i 0， ，n。 1， （ i ( x )， i ( x ) ）
（） P( x) H n为任一次数 n多项式，则 2 ① {0 ( x),1 ( x),, n ( x)}于 [a，b] 线性无关； n （P , ） i (i 0,1,, n) ② P ( x ) ci i ( x ) ，其中 ci （ i , ） i i 0 证明： ① { 0， 1， ，n }为正交多项式组，则 G（ 0， 1， ，n） 0， 由定理 得{ i ( x)}n0 线性无关。 2 i ② 因 P( x) Hn为任一次数 n多项式，则可设
1 ( 2n)! ， 若令 ( x) ( x 2 1)n， 2 n n! n! 2n d 则 有 2 n ( x ) ( 2n)!。 1 dn 2 dx Pn ( x ) n ( x 1)n 2 n 1 2 n ! dxn 事实上， ( x) 2nx ( x ) 2n(2n 1) x 2n 2 ( n) ( x) 2n(2n 1)(2n (n 1))x 2nn
~ P0 ( x ) 1 ~ P1 ( x ) x ~ P2 ( x ) x 2 1 3 3 ~ 3 P3 ( x ) x 5 x
~ ~ 且有 ( P i , P j ) 0,当i j。
1 dn 2 定义7 n次多项式 Pn ( x ) n ( x 1)n， (n 0,1,2,) 2 n ! dxn 称为Legendre多项式 ~ P0 ( x ) 1 P0 ( x ) ~ P1 ( x ) x P1 ( x ) ~ p ( x) 3 x2 1 3 P ( x) 且有 ( 2 .8 ) 2 2 2 2 2 2 3 3 5~ P3 ( x ) x x P3 ( x ) 5 2 2
是唯一的。 为1的k次多项式） ,则 定理5 设 {k }为[a, b]上带权 ( x)的正交多项式序列 n次多项
式 n (x ) 在[a,b]内恰好有n个不同的实根。 说明：用反证法利用定理3即得证。 应用：求最佳一致逼近多项式。
四、常用的正交多项式 1．勒让德（Legendre）多项式 { ~i ( x)}n0 ，由定理4得 取[a, b] [1,1], ( x ) 1， 正交多项式记为 p i
2.2 正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式
一、生成（张成）的集合 n 定义6 设 i ( x) i 0为Ca, b 中线性无关组，称集合 为由 生成（张成）的集合。 结论: （） Span 0 ,, n C[a，b]； 1
2 n n n （2）性质 令 ( x) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ，
dn dn ( x ) n ( x 1)n ( x 1)n dxn dx
正交多项式，即
当n m 0, ( Pn , Pm ) Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 1 当n m 2n 1 （4）Legendre多项式的奇偶性 Pn ( x ), 当n为 偶 数 n Pn ( x ) ( 1) Pn ( x ) Pn ( x ), 当n为 奇 数
二、 史密特正交化 定理3 （格兰姆-史密特（Gram-Schmidt）正交化） （1）设 Hn Span , x,, x n ; 1 n 则由基 1, x,, x 可构造以 ( x ) （） ( x ) 0权函数， 2 为权函数的正交多项式组{ 0 ( x)，1 ( x)， ， n ( x)} 使得 k (x ) 为首项 （即 x k项）系数是1的k次多项式，即 0 ( x ) 1 k 1 k k ( x ) x ckj j ( x ), k 1,2,, n。 j 0 k ( x , j ) 其 中 系 数ckj , ( j 0,, k 1)， ( j , j ) 证明：用递推构造法证明 (1) 令0 ( x) 1; (2) 构造1 ( x) x c100 ( x), 且选取c10使 ( x, 0 ) 0 (1 , 0 ) ( x,0 ) c10 (0 ,0 ), 即 选 取 c10 ( 0 , 0 )
0
~ Tk ( x)为首项系数为 k次多项式。 1的 定义8 n次多项式Tn ( x) cos( narc cos x) 称为n次Chebyshev多项式， 首项系数为 2 n 1。 （1）Chebyshev多项式 {Ti ( x)} 是[-1，1]上具有权函数 i 0 1 Tn ( x) cos(n ), Tm ( x ) cos(m ) ( x) , 的正交多项式组。即 1 x2 x cos 0
#
说明： i ( x)i 0 为 H n中一个正交基。
n
三、 正交多项式组的性质 定理4 (正交多项式的三项递推公式) 设 {k ( x)}n0 为[a，b]具有权函数 ( x) 的正交多项式组， ( x) i k 是首项系数为1的i次多项式，则 { k ( x )}满足递推公式: 0 ( x) 1 1 ( x ) x 1 k 1 ( x) ( x k 1 )k ( x) k 1k 1 ( x),(k 1,2,, n 1) ( x k , k ) ( k , k ) 其中 k 1 ， k 1 ( k , k ) ( k 1 , k 1 ) 且于 a, b]带权函数 ( x)为正交多项式组 k ( x)}n0 ,（ k ( x )为首项系数 [ { k
2．切比雪夫（Chebshev）多项式（应用于最小二乘） 1 ~ ,正交多项式组记为{Ti ( x)}n0， 取 [a, b] [1,1], 权 函 数 ( x ) i ~ 1 x2 T ( x ) 1
~ T1 ( x ) x ~ ~ ~ 1 2 且有 (T i , T j ) 0,当i j。 T ( x ) x 2 2 ~ 3 1 1 T3 ( x ) x 3 x [0, ], , dx sind 2 4 sin 1 x
将(2.6)代入(2.5)得 P( x) a00 ( x) a1[1 ( x) c100 ( x)] a2[2 ( x) c200 ( x) c211 ( x)] an[n ( x) cn00 ( x) cn11 ( x) cnn 1n1 ( x)] a a c21 a c [a00 (a1c10 a2c20 anncnn00))]0 ( x) [a11 a22c21 c anncnn11 ]1 ( x) c nnn ( x) a a (a1c10 a2c20 a c c
j 0
选择系数ckj 使 0 ( k , i ) ( x k , i ) （ ckj jj,, i i)) c ki i， i） （ kj
j 0
k 1
即
( x k , i ) c ki , (i 0,1,, k 1) ( i , i )
正交性
（3）设已构造 0 ( x),1 ( x),, k 1 ( x),(k 1), 且满足： (a) i ( x)是首项系数为1的i次多项式； (b) ( ii , jj ) 0, 当 i j(i , j 0,1,, k 1) k 1 k 由 x k 及 0 ,1 ,,k 1 组合构造 k ( x ) x ckj j ( x )
（1） Pn (x ) 的首项系数a n
2n( 2n 1)( n 1)n2 1 n x n! ( 2n)! n x n! ( 2n) ( x) 2n(2n 1)(n 1)n2 1 (2n)!
则
an
1 ( 2n)! ， n 2 n! n!
dn dn n n ( x ) n!(1 1) n!2 ， n ( x ) n!(2)n， n dx dxn x 1 x 1 p( k )( x 1)n k ( x 1)k k 0 则 （a） Pn (1) 1, Pn (1) (1)n； k 1 dn 2 d Pn ( x ) n ( x 1)n （b） k ( x ) 0， 当k n时. 2 n ! dxn dx x 1 Pi n0 为[-1，1]具有权函数 ( x ) 1 的 （3）Legendre多项式 i
1
（5）Legendre多项式的三项递推公式
~ P0 ( x ) 1 由定理4及 Pn ( x) 的唯一性 P1 ( x ) x ( k 1) p ( x ) x( 2k 1) P ( x ) kP ( x ) ，k 1,2,) , x [1,1] ( k 1 k k 1
n i i 0
n Span 0 ,, n S ( x ) S ( x ) a i i ( x ), a i 为 实 数 i 0
（） Hn Span 1, x， , x n 是 Span 0 ,,n 的特例。 2
问题:
Hn Span 1, x， , x n ，如何由1, x， , x n得到正交基？
b
( x k , i ) cki i , i ) （
于是{i ( x)}n0 为[a，b]具有权函数 ( x) 的正交多项式组， i
即 ( i , j ) ( x ) i ( x ) j ( x )dx 0,当i j。
a
#
n { 推论 设（1）i ( x)}i 0 为[a，b]具有权函数 ( x) 的正交多项式组 其中 i (x) 是首项系数为1的i次多项式；
P( x) a0 a1 x an x n
k 1 j 0
( 2 .5 ) ( 2 .6 )
又
x k ( x ) ckj j ( x ), ( k 1,2,, n)
k
将(2.6)代入(2.5)得 P( x) a00 ( x) a1[1 ( x) c100 ( x)] a2[2 ( x) c200 ( x) c211 ( x)] an[n ( x) cn00 ( x) cn11 ( x) cnn 1n1 ( x)]
c0 0 ( x) c11 ( x) cn n ( x)
0
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两边与 i (x)作内积，则有 （P( x)， i ( x) c（ i ( x)， i ( x) ） i ） （P ( x )， i ( x ) ） 于是 ci ，i 0， ，n。 1， （ i ( x )， i ( x ) ）
（） P( x) H n为任一次数 n多项式，则 2 ① {0 ( x),1 ( x),, n ( x)}于 [a，b] 线性无关； n （P , ） i (i 0,1,, n) ② P ( x ) ci i ( x ) ，其中 ci （ i , ） i i 0 证明： ① { 0， 1， ，n }为正交多项式组，则 G（ 0， 1， ，n） 0， 由定理 得{ i ( x)}n0 线性无关。 2 i ② 因 P( x) Hn为任一次数 n多项式，则可设
1 ( 2n)! ， 若令 ( x) ( x 2 1)n， 2 n n! n! 2n d 则 有 2 n ( x ) ( 2n)!。 1 dn 2 dx Pn ( x ) n ( x 1)n 2 n 1 2 n ! dxn 事实上， ( x) 2nx ( x ) 2n(2n 1) x 2n 2 ( n) ( x) 2n(2n 1)(2n (n 1))x 2nn
~ P0 ( x ) 1 ~ P1 ( x ) x ~ P2 ( x ) x 2 1 3 3 ~ 3 P3 ( x ) x 5 x
~ ~ 且有 ( P i , P j ) 0,当i j。
1 dn 2 定义7 n次多项式 Pn ( x ) n ( x 1)n， (n 0,1,2,) 2 n ! dxn 称为Legendre多项式 ~ P0 ( x ) 1 P0 ( x ) ~ P1 ( x ) x P1 ( x ) ~ p ( x) 3 x2 1 3 P ( x) 且有 ( 2 .8 ) 2 2 2 2 2 2 3 3 5~ P3 ( x ) x x P3 ( x ) 5 2 2
是唯一的。 为1的k次多项式） ,则 定理5 设 {k }为[a, b]上带权 ( x)的正交多项式序列 n次多项
式 n (x ) 在[a,b]内恰好有n个不同的实根。 说明：用反证法利用定理3即得证。 应用：求最佳一致逼近多项式。
四、常用的正交多项式 1．勒让德（Legendre）多项式 { ~i ( x)}n0 ，由定理4得 取[a, b] [1,1], ( x ) 1， 正交多项式记为 p i