第十章动量定理习题解答

习 题

10-1 计算图10-7所示各种情况下系统的动量。

(1) 如图10-7a 所示，质量为m 的匀质圆盘沿水平面滚动，圆心O 的速度为0v ；(2) 如图10-7b 所示，非匀质圆盘以角速度ω绕O 轴转动，圆盘质量为m ，质心为C ，偏心距OC=a ；

(3) 如图10-7c 所示，胶带轮传动，大轮以角速度ω转动。设胶带及两胶带轮为匀质的；(4) 如图10-7d 所示，质量为m 的匀质杆，长度为l ，绕铰O 以角速度ω转动。

图10-7

(a) 0v p m =；

(b) ωma p =（方向与C 点速度方向相同）；

(c) 0=p ； (d) 2ωml p = （方向与C 点速度方向相同）。

10-2 如图10-8所示，椭圆规尺AB 的质量为2m 1，曲柄OC 的质量为m 1，而滑块A 和B 的质量均为m 2。已知：OC =AC =CB = l ；曲柄和尺的质心分别在其中点上；曲柄绕O 轴转动的角速度ω为常量。当开始时，曲柄水平向右，试求此时质点系的动量。

图10-8

方法一

C AB C OC B B A A m m m m v v v v p ++

+=2 C C B A m m m m v v v v 112222++

+= C B A m m v v v 122

5)(++= 因 )c o s s i n (j i v ϕϕω+-=l C

j v ϕωcos 2l A = i v ϕωs i n 2l B -=

故

)c o s s i n (25)s i n 2c o s

2(12j i i j p ϕϕωϕωϕω+-+-=l m l l m )c o s s i n (2

4521j i ϕϕω+-+=l m m (与v C 方向相同) 方法二

规尺AB 、滑块A 和B 质心C 处，质量为2(m 1+m 2)

因此系统质心在OC 上，离O 轴距离

m

l m m m l m m l m 245)(2221211+=++⨯=ξ 质心速度

ωξωξl m m m m 2

4521+===v p (方向垂直于OC )

10-3 跳伞者质量为60kg ，自停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m 后，将降落伞打开。设开伞前的空气阻力略去不计，伞重不计。开伞后阻力不变，经5s 后跳伞者的速度减为4.3m/s 。试求阻力的大小。

gh v 21=

2

22122t gh v t v v a -=-= 22)2(t gh v m ma F mg -=

=- )2(2

2t gh v g m F --= N 7.1067)9944.78.9(60)51008.923.48.9(60=+=⨯⨯--

= 10-4 图10-9所示浮动起重机举起质量为m 1=2000kg 的重物。设起重机质量为m 2=20000kg ，杆长OA =8m ；开始时与铅直位置成60°角。水的阻力与杆重均略去不计。当起重杆OA 转到与铅直位置成30°角时，试求起重机的位移。

图10-9

设起重机向左移动s ，则重物向右移动

)30sin 60(sin s OA -︒-︒

质心运动守恒x C =常量

0])30sin 60(sin [21=--︒-︒s m s OA m

2

11

)30sin 60(sin m m OA m s +︒-︒= m 2662.022000

2/)13(82000=-⨯⨯=

10-5 如图10-10所示，两小车A 和B 的质量分别为600kg 和800kg ，在水平轨道上分别以匀速v A =1m/s ，v B =0.4m/s 运动。一质量为40kg 的重物C 以俯角30°，速度v C =2m/s 落入A 车内，A 车与B 车相碰后紧接在一起运动。试求两车共同的速度。摩擦忽略不计。

图10-10

动量守恒

︒++=30cos 1C C B B A A x v m v m v m p

v m m m p C B A x )(2++=

v m m m v m v m v m C B A C C B B A A )(30cos ++=︒++ C

B A

C C B B A A m m m v m v m v m v ++︒++=30cos m /s 6870.01440

34092040800600232404.08001600=+=++⨯

⨯+⨯+⨯=

10-6 平台车质量m 1=500kg ，可沿水平轨道运动。平台车上站有一人，质量m 2=70kg ，车与人以共同速度v 0向右方运动。如人相对平台车以速度v r =2m/s 向左方跳出，不计平台车水平方向的阻力及摩擦，试问平台车增加的速度为多少?

动量守恒

0211)(v m m p x +=

)()(r 02012v v v m v v m p x -+++=∆∆

021r 0201)()()(v m m v v v m v v m +=-+++∆∆

m/s 2456.0570

1407050027021r 2==+⨯=+=m m v m v ∆

10-7 如图10-11所示，质量为m 1的平台AB 放于水平面上，平台与水平面间的动滑动摩擦因数为μ。质量为m 2的小车D ，由绞车拖动，相对于平台的运动规律为s=0.5bt 2，其中b 为常数。不计绞车的质量，试求平台的加速度。

图10-11

设平台向左运动的速度为v ，则小车D 向右运动的速度为v r - v

)(r 21v v m v m p x -+-=

g m m F F e x )(21N +==∑μμ

由动量定理

e ix x F t

p ∑=d d 得

g m m a a m a m )()(21r 21+=-+-μ

2

12122121r 2)()(m m g m m b m m m g m m a m a ++-=++-=μμ

10-8 图10-12所示机构中，鼓轮A 质量为m 1。转轴O 为其质心。重物B 的质量为m 2，重物C 的质量为m 3。斜面光滑，倾角为θ。已知重物B 的加速度为a ，试求轴承O 处的约