用卡诺图化简逻辑函数

1.4用卡诺图化简逻辑函数

本次重点内容

1、卡诺图的画法与性质

2、用卡诺图化简函数

教学过程

应用卡诺图化简

一、卡诺图

逻辑函数可以用卡诺图表示。所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。对n 个变量的卡诺图来说，有2n个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。

二、最小项的定义及基本性质：

1、最小项的定义

在n个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。通常用m表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法是：最小项的原变量取1,反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如最小项ABC对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项ABC 的编号为m。，如最小项ABC的编号为m4，其余最小项的编号以此类推。

2、最小项的基本性质：

（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0

(2) 不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 (3 )对于变量的任一组取值，全体最小项的和为

1。

图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。在卡诺图的行和列分别标出变量 及其状态。变量状态的次序是00, 01, 11，10，而不是二进制递增的次序00, 01, 10，

11。这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变(即满足相邻性)

。

小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最 小项可用 m 。，m i ,m 2, ......... 来编号。

图1.4.1卡诺图

二、 应用卡诺图表示逻辑函数

应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的 最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填 0或空着不填。如果逻辑式不是由 最小项构成，一般应先化为最小项或将其列出逻辑状态表后填写。 三、 应用卡诺图化简逻辑函数

1、一个正确卡诺圈的要求：

(1) 画在一个卡诺圈内的1方格数必须是2m 个(m 为大于等于0的整数)。

m 0 m 1 m 2

m 3

m ° m 1 m 3 m 2 m m m m

m 0 m 1 m 3 m 2 m 4

叫

m

7

叫

m 12

m 13

m

14

m 15

m 8 m 9 mu m 10

0 1

AB 0

0 1

00 01 11 10

00 01 11 10

00 01 11 10

(2) 画在一个卡诺圈内的2m 个1方格必须排列成方阵或矩阵 （3） —个卡诺圈内的1方格必须是对称相邻的 2、利用卡诺图化简逻辑函数的步骤：

（1） 先找没有相邻项的独立1方格，单独画圈。 （2） 其次，找只能按一条路径合并的两个相邻方格，画圈 （3） 再次，找只能按一条路径合并的四个相邻方格，画圈 （4） 再次，找只能按一条路径合并的八个相邻方格，画圈 （5） 依此类推，若还有1方格未被圈，找合适的圈画出＜ 女口：化简 Y 1 ABC ABC ABC ABC

贝U 有：Y1二一C 一C 化简 丫 2

m(0,3,4,5,12,13,14,15)

A

00

Y2 ABCD ACD BC AB

3、具有无关项的逻辑函数的化简

逻辑函数中的无关项：

任意项（对某些输入项，输出是任意的）

约束项（逻辑变量之间一定约束关系，使它们的取值不可能出现）

用“X”（或“表示

利用无关项化简原则:

无关项即可看作“1”也可看作0”。卡诺图中，圈组内的“X”视为”:

组外的视为‘0”。

例1为8421BCD码，当其代表的十进制数》5时，输出为“1 ”，求Y的最简表达式。（用于间断输入是否大于5）

解：先列真值表，再画卡诺图

A B C D Y ABCD Y

10 0 0

0001010011

001001010X

001101011X

010001100X

010111101X

011011110X

011111111X

CD

A B、00 01 11 10

写出表达式：Y CD

作业：用卡诺图化简下列逻辑表达式:

Y ABCD AB ABD BC BCD CD

Y2 m(0,1,2,3,7,11,15)

卡诺图化简法

卡诺图化简法又称为图形化简法。该方法简单、直观、容易掌握，因而在逻辑设计

中得到广泛应用。

—诺图的构成

n

卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。

i •结构特点

卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2. 5（a）、（b）、（c）、（d）分别为2变量、3变量、4变量、5

变量卡诺图的一种排列方案。图中，变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量。各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。

在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号m”，直接标岀m的下标i。

图2. 5 2〜5变量卡诺图

n

从图2.5所示的各卡诺图可以看岀，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图形上清晰地

反映岀来。具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m i, m4,

m7，m i3,这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相

邻的，这种相邻称为几何相邻。而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在相对"位置的m°（同一列的两端）和m io（同一行的两端）。这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看岀m o和m2在几何位置上是相邻的。同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m io相邻。通常把这种相邻称为相对相邻。除此之外，还有相重”

位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3,除了几何相邻的m i，m2，m?和相对相邻的m ii外，还

与m i9相邻。对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相