正弦型函数y=Asin(ωx+φ)打印版

正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)

1.简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)中，______叫做振幅，周期T ＝______，频率f ＝______，相位是______，初相是______．

3、五点法作y=Asin （ωx+五点取法是设X =ωx +ϕ，由X 取0、2π、π、2

π

3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移

动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.

（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|

＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||

ω倍，得到

y ＝sin ω x 的图象.

（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞

1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到

y ＝Asinx 的图象.

4．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA

y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：

①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点

2

；

②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点

2

；

③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π

ω

(ω>0)来确定ω；

④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可。

5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩

sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω

−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

1

到原来的纵坐标不变

得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sin y A x =的图象(01)(1)

1

()

ωωω

<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象

(0)(0)

ϕϕϕω

><−−−−−−−→向左或向右平移

个单位

得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 注意：由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B （A ＞0，ω＞0）（x

∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。

题型1：三角函数的图象

例1．（全国，5）函数y ＝－xcosx 的部分图象是（ ）

题型2：三角函数图象的变换

2.（四川）将函数的图像上所有的点向右平行移动

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）

题型3：三角函数图象的应用

例1：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π

2

)的

部分图象如图所示．求f (x )的解析式；

sin y x =10

π

sin(2)10

y x π

=-

y =sin(2)5x π

-

y =1sin()210

x π-1sin()220y x π=

-

例2．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，求函数解析式

例3．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.

.

)0,0)(sin(.4求这个函数的解析式的图象的一部分，右图所示的曲线是例>>+=ωϕωA x A y

小结：的表达式：求函数)sin(ϕω+=x A y

;.1由图像中的振幅确定A ;.2由图像的周期确定ω

强化训练

1．最大值为12，周期为2π3，初相为π

6的三角函数表达式可能是( )

A ．y ＝12sin(x 3＋π6)

B ．y ＝12sin(x 2－π6)

C ．y ＝12sin(3x ＋π6)

D ．y ＝2sin(2x －π

6

)

2．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x 的图象，只需将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x －π

6的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π

3个单位

C ．向左平移π6个单位

D ．向右平移π

6

个单位

3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝

⎛⎭⎫|φ|＜π

2的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )

代点法

平移法常用的两种方法：求)2( )1( .3ϕ