高考导航高三数学理一轮复习直线平面垂直判定和其性质

3．(2017·天津检测)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 (B ) A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：对于A选项，设α∩β＝a，若l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，此时α与 β相交，故A选项错误；对于B选项，l∥α，l⊥β，则存在直线a⊂α，使得l∥ a，此时a⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B选项正确；对于C选 项，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C选项错误；对于D选项，若α⊥β，l∥ α，则l与β的位置关系不确定，故D选项错误．选B.
(2)如图2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， ∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴PC⊥AB， 又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC， 又CG⊂平面PGC， ∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高． 同理可证BD，AH为△ABC底边上的高， 即O为△ABC的垂心． 答案：(1)外 (2)垂
考点一 即时应用
(2)(2017·江苏调研)如图，在三棱锥P-ABC 中，已知平面PBC⊥平面ABC.
①若AB⊥BC，且CP⊥PB，求证：CP⊥ PA； ②若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平 面PBC.
①直因线为和平平面P面B垂C⊥直平判面定AB的C4，种平方面法 PA(1BB)CC利∩，用平A判B面⊥定ABB定CC，理＝所B．以C，ABA⊥B⊂平平面面
2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 相垂直．
，就说这两个平面互
(2)判定定理与性质定理 文字语言
一个平面经过另一个平 判定
面的一条 垂线 ，则这 定理
两个平面互相垂直
图形表示 符号表示
l⊥α，l⊂β ⇒α⊥β
如果两个平面互相垂 性质 直，则在一个平面内 定理 垂直于它们交线 的直
P因(2B)为C利.C用P⊂判平定面定P理BC的，推所论以(CaP∥⊥bA，B.a 又⊥CαP⇒⊥bP⊥Bα，)．且PB∩AB＝B，
2.(2017·贵阳监测)如图，在三棱锥P-ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( B )
A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC
解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又 BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC， BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D 中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.
目录 CONTENTS
第七章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的 判定及其性质
1 高考导航 考纲下载 2 主干知识 自主排查 3 核心考点 互动探究 4 真题演练 明确考向 5 课时作业
1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂 直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理． 2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系 的简单命题．
4．(人教A必修2§2.3.1练习改编)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影 为点O， (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心． (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的__________心．
解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．
b⊂α
⇒l⊥α
性质 定理
两直线垂直于同一 个平面，那么这两 条直线 平行
a⊥α b⊥α
⇒a∥b
必记结论 1.直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b⊂α⇒a⊥b. 2．若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
垂直 的射线，则两射线所成的角叫作二面角的平面角．
[自主诊断] 1．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是 (D ) A．若l∥α，m⊥l，则m⊥α B．若l⊥m，m⊥n，则m∥n C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α D．若l⊥α，l∥a，则a⊥α
解析：易知选项A不正确；选项B，从m⊥n就可以看出结论是错误的；选项C 中，若b⊂α，则C不正确；选项D是正确的．
考点一 即时应用
直线与平面垂直的判定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性质
1．(1)(2017·上海六校联考)已知m和n是两条 不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下
面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( C )
A．α⊥β且m⊂α B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β
由线线平行性质的传递性和线 面垂直的判定定理，可知C正 确．
[知识梳理] 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的 任意 直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理 文字语言
图形表示
一条直线与一个平面内的 判定定
两条相交直线 都垂直， 理
则该直线与此平面垂直
符号表示
l⊥a，l⊥b
a∩b＝O a⊂α
线垂直于另一个平面
α⊥β α∩β＝a
l⊥a
l⊂β
⇒l⊥α
必记结论 1.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相 邻的两个面都是互相垂直的． 2．由定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的 垂线，即证明线面垂直；
3．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫作这条斜线和 这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：θ∈0，2π. 4．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫作二面角． (2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱