理论力学概念整理约束自由度与广义坐标

y
l
A
单摆
OA为柔绳： x2 y2 z2 l2
完 1.位移约束----全部几何约束
整
约
束
2.运动约束可积分----纯滚动的圆轮;
非 完 整 运动约束不可积分----如碰撞系统, 摩擦系统等. 约 束
静力学问题中的约束都是定常几何约束。
本教材动力学研究：定常、双面、完整约束。
三、广义坐标、自由度
2.约束方程
(1) 坐标
确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数， 这些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。
(2)位形
对于由n个质点组成的自由质点系，则需要3n个独立 坐标，这3n个的坐标集合称为质点系的位形。
(3)约束方程
约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t 之间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之 为约束方程。
约束方程中不含: 时间显含t时为定常约束, 反之为非 定常约束。
约束方程中以等号表示时:为双面（固执）约束, 反之 为单面（非固执）约束。
几何约束
单摆:
x2 y2 z2 l2
曲面上的质点： f (x, y, z) 0
运动约束
纯滚动的圆轮：
yC r ——几何约束
x r 0 ——运动约束
O z
它们被用于描述刚体的位形。
4.受约束刚体的自由度
设刚体数为n，则 k = 6n -S
4、约束刚体的自由度与广义坐标
约 束刚体的自由度与广义坐标根据其运动 形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运 动形式时的广义坐标数。
刚体约束情况
刚体上一轴被约束 （定轴转动）
刚体上一点被约束 （定点运动）
刚体被限制作平面平行运 动（自由的平面运动）
1.基本概念 自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数
自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数
空间质点: k 3n s,
平面质点: k 2n s,
广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量
与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标
一般地：n个质点，自由度为k， 取广义坐标： q1 ,q2 qk
q 或 q
本例为质点与刚体
l0 x
A
k
yA 0
xB xA l cos
yB l sin
广义坐标
q1 x; q2
B 自由度
Hale Waihona Puke Baiduk 2
五总结
(1)检查刚体(质点)数目 n。
(2)检查各刚体的运动形式。 (3)列写出约束方程。 (4)计算自由度,确定广义坐标。
(a)空间刚体系 k=6n-s,空间质点系 k=3n-s (b)平面刚体系 k=3n-s,平面质点系 k=2n-s
k 3 4(质点数) （ 6 刚杆数） 6
此后每增加一个质点就增加3根刚杆。
连接质点的刚杆数为：3n 6
每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：s 3n 6
自由度数为： k 3n , sn>64
3.自由刚体的广义坐标
基点的直角坐标 x0, y0, z0 和欧拉角 ,,
或卡尔丹角 ,, 组成的6个独立参变量就是 自由刚体的广义坐标。
约束、自由度与广义坐标
一、问题的提出 物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系
统与非自由系统。 研究约束质点系的力学问题，必须阐明约束，自由度与
广义坐标的概念。
二、约束 1.约束概念 约束就是限制物体任意运动的条件。
刚体静力学研究约束, 是探究约束的原因-------约束力
运动学研究约束,是探究约束的结果-------运动的限制
xB OAcos AB cos; yB OAsin ABsin; xC r; yC H r; H OA ABsin 2r; 结论:8个约束方程
4.广义坐标 广义坐标数为 :3n-s=1, 即: 刚体数n=3
约束方程数 s 8;
5.自由度计算
自由度 k 3*3 s 1
自由度恒等于广义坐标数 6.选广义坐标为:
x
y
l
A
z M
y x
y
C
vC
x
定常几何约束
单摆: x2 y2 z2 l 2
非定常几何约束
x2 y2 z2 l0 vt 2
O z
x
y
l
A
v
双面约束：在约束方程中用严格的 等号表示的约束。
OA为刚性杆： x2 y2 z2 l2
单面约束：在约束方程含有不等号 表示的约束。
O
z x
刚体被限制作平行移动 （平移）
自由度 1 3 3 3
广义坐标
,,
x0 , y0 ,
x0 , y0 , z0
四 实例:机构如图,轮C作纯滚动 1.刚体数目 3;
2.定轴转动刚体 OA ; 平面运动刚体 AB及轮C ;
3.约束方程(在点O建立直角坐标) xo 0; yo 0;
xA OAcos ; yA OAsin ;
xi xi (q1, q2 qk ,t) yi yi (q1, q2...... qk , t) zi zi (q1, q2 qk , t)
ri ri (q1, q2 qk , t)
i=1,2,······ n
2.自由刚体的自由度
最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体 (形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
3. 约束分类与约束方程一般形式
n个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：
fr (x1, y1, z1,, xn , yn , zn; x1, y1, z1,, xn , yn , zn;t) 0
(r=1,…,s)
约束方程的个数为：s
约束方程的特例:
约束方程中不含: x1, y1, z1,, xn , yn , zn; 时为几何约束 (完整约束) , 反之为非完整约束。