概率论思想方法在实际中的一些应用

目录

一、摘要 (1)

二、引言 (1)

三、概率方法在不等式证明中的应用 (2)

四、概率方法在组合恒等式证明中的应用 (7)

五、概率方法在生活中的应用 (11)

1.以商品买卖为背景的概率题 (11)

2.以体育竞赛为背景的概率题 (13)

3.以“博彩”为背景的概率题 (15)

4、概率方法在排队中的应用 (16)

总结 (24)

参考文献 (25)

概率论思想方法在实际中的一些应用

舒海旭

（渤海大学数学系锦州 121000 中国）

摘要：概率方法在许多领域中都有着广泛的应用。在数学领域可用来证明不等式，证明组合等式等。旨在简化证明过程，同时锻炼思维，培养创新意识，感悟数学学科的统一性，以及显示概率论思想在解决某些数学问题时所具有的独特而简洁的功效。在日常生活中，也存在着许多概率问题。随着社会的发展，概率论在工农业生产，国民经济，现代科学技术等方面具有广泛的应用。其实，在我们身边就要有不少概率问题。

关键词：概率论；随机变量；数学期望；基本事件总数；

Applications of the Idea of Probability Theory in Practice

Haixushu

(Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 china) Abstract:The idea of Probability Theory have a lot of uses in many fields.It can be use to demonstrate that the efficacy of Probability possesses a succinct and unique characteristics in solving some mathematics problems.The theory of probability may prove an inequality and equation of combination.So as to simplify the poress.The method also helps to temper our intellect, foster our innovative sense and make us appreciate the unity of number science.In the usual living,there are so many problems of Probability Theory.With the advancement of human society, the development of science and technology,the idea of Probability Theory also uses in the produce of civil economy,morden scientific technology and so on .Actually, many problems of Probability Theory are living with us.

Key words:Probability Theory;Random variable;Number experctation;The total of basis facts.

引言

概率论思想方法是一种重要的思想方法，无论是在学习中还是在生活中都具有重要的的地位。在数学领域可用来证明不等式，证明组合等式等。旨在简化证明过程，同时锻炼思维，培养创新意识，感悟数学学科的统一性，以及显示概率论思想在解决某些数学问题时所具有的独特而简洁的功效。

一、概率方法在不等式证明中的应用

对于柯西——许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式在不同空间对应不同的形式。

母不等式：设ν是欧氏空间，若ξ，η，∈ν，则

()

()()2

ξηξξηη⋅≤⋅⋅⋅

上式等号成立的充要条件是ξη⋅线性相关。 变形:取ν为概率空间，对任意属于ν的随机变量ξ与η都有：

2

22ξηξηE ≤E ⋅E (1)

等号成立的充要条件是()01t ηξP ==，0t 是某一常数。 推论：若ξη 是随机变量ξ与η的相关系数，则有：1ξη≤

下面讲不等式（1）在一些常用不等式证明中的应用，用以显示概率论思想在解决某些数学问题时所具有的独特而简洁的功效。 例1、（平方—算术平均值不等式） 设0, 1.2..i a i n ≥= ，则

2

21111n n i i i i a a n n ==⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

∑∑且等号成立的充要条件是12n a a a === 证明：设二维离散型变量（,ξη）的联合概率分布为

()1

,i i p x y n

ξη===

(),0i j p x y ξη===

()i j ≠

1.2..,i n = 1.2..,j n =

则ξ，η的边际分布列分别为

()1i p x n ξξ==

， ()1i p y n

ηη== 令0i i x a =≥，1i y = 有

1111n

n

i i i i a a n n ξη==E =⋅=⋅∑∑

2

22

1

111n n i i i i a a n n ξ==E =⋅=⋅∑∑

2

1

11111n

n

i i i y n n η==E =⋅==∑∑

由不等式（1）有2

2

11

11n n i i i i a a n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑且等号成立的充要条件是：

1212n a a a n === 开方得1

2

21111n

n

i i i i a a n n ==⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

∑∑ 且等号成立的充要条件是12n a a a === 例2、（调合—算术平均值不等式） 设0, 1.2..i a i n ≥= ，则

1

111

n

i n

i i i

n a n a ==≥∑∑且等号成立时，当且仅当12n a a a ===

证明：设二维离散型变量（,ξη）的联合概率分布为

()()()

1

,,01.2.., 1.2..,

i i i j p x y n

p x y i j i n j n ξηξη===

===≠==

则ξ，η的边际分布列分别为

()1i p x n ξξ==

， ()1i p y n

ηη==