13动能定理

第13章 动能定理

13-1 圆盘的半径r = 0.5 m ，可绕水平轴O 转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A 、B ，质量分别为m A = 3 kg ，m B = 2 kg 。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按

ϕ4=M 的规律变化（M 以m N ⋅计，ϕ以rad 计）

。试求由π20==ϕϕ到时，力偶M 与物块A 、B 重力所作的功之总和。 解：作功力M ，m A g ，m B g

J

1105.0π28.91π8π2)(π8π2)(d 40

π

222=⨯⨯⨯+=⋅-+=⋅-+=⎰

r

g m m r g m m W B A B A ϕϕ

13-3 图示坦克的履带质量为m ，两个车轮的质量均为m 1。车轮被看成均质圆盘，半径为R ，两车轮间的距离为R π。设坦克前进速度为v ，试计算此质点系的动能。

解：系统的动能为履带动能和车轮动能之和。将履带分为四部分，如图所示。 履带动能： IV III II I 2

2

1T T T T v m T i i +++=∑=履

由于v v v 2,0IV 1==，且由于每部分履带长度均为R π，因此

2

22

IV IV IV 2

I I I IV III II I 2

)2(421210214

v m v m v m T v m T m m m m m =⨯====

==== II 、III 段可合并看作一滚环，其质量为2m ，转动惯量为2

2

R m J =，质心速度为v ，角

速度为R

v

=ω

则

2

22222222

2III II 2

202221421221mv v m

v m T v

m R v R m mv J v m T T =++==⋅⋅+=+⋅=+履ω 轮动能 21222121123

2212

22v m R v R m v m T T =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅+==轮轮 则系统动能 212

2

3

v m mv T T T +

=+=轮履

13-5 自动弹射器如图放置，弹簧在未受力时的长度为200 mm ，恰好等于筒长。欲使弹簧改变10 mm ，需力2 N 。如弹簧被压缩到100 mm ，然后让质量为30 g 的小球自弹射器中射出。求小球离开弹射器筒口时的速度。 解：由题意得弹簧的刚度系数为

N/m 20001

.02==∆=

l F k 弹射过程中 弹性力功

J 1)01.0(2002

1)(2122

1201=-⨯=-=

δδk W 重力功

[]J 0147.01.02.030sin 2-=-︒-=mg W

动能 222103.02

1

21 ,0v mv T T ⨯===

由动能定理知

1221T T W W -=+ 将有关量代入 003.02

1

0147.012-⋅=-v

v = 8.1m/s

13-7 平面机构由两匀质杆AB 、BO 组成，两杆的质量均为m ，长度均为l 在铅垂平面内运动。在杆AB 上作用一不变的力偶矩M ，从图示位置由静止开始运动。不计摩擦，试求当滚A 即将碰到铰支座O 时A 端的速度。 解：OB 杆定轴转动；AB 杆平面运动。

ωωω==OB AB （转向如图a ）

ωl v B = 如图b 、c 所示。

以B 为基点 ωl v AB =+= , v v v AB B A 当A 碰O 时，B AB ABO v v //,0=∠ ωl v v B A 22==

由动能定理： )cos 1(2

212θθ-⋅-=l

mg M W

22222222222213

134312112121)23(212

1

21210

A O C C mv ml ml ml l m J J mv T T T T ==⋅⋅++=++=

+==ωωωωωωOB AB 由 1212W T T =-

得 )cos 1( 3

12

θθ--=mgl M mv A

)]cos 1( [3θθ--=mgl M m

v A

13-9 在图示滑轮组中悬挂两个重物，其中M 1的质量为m 1，M 2的质量为m 2。定滑轮O 1的半径为r 1，质量为m 3；动滑轮O 2的半径为r 2，质量为m 4。两轮都视为均质圆盘。如绳重和摩擦略去不计，并设4122m m m ->。求重物m 2由静止下降距离h 时的速度。

解：以整个系统为对象，由题意4122m m m ->知，M 2由静止向下运动，可应用动能定理确定M 2的速度。

设M 2下降h 距离时的速度为v ，则动滑轮O 2的角速度2

2r v =

ω

定滑轮O 1的角速度1

12r v =ω 根据动能定理 W 12=T 2-T 1

即

2

12121322224242142)

2(24422v m r m r m v m m gh

m gh m gh m ++++=-+ωω 故 4

3124123482)

2(4m m m m m m m gh v ++++-=

13-11 均质连杆AB 质量为4 kg ，长l = 600 mm 。均质圆盘质量为6 kg ，半径r = 100 mm 。弹簧刚度为k = 2 N/mm ，不计套筒A 及弹簧的质量。如连杆在图示位置被无初速释放后，A 端沿光滑杆滑下，圆盘做纯滚动。求：（1）当AB 达水平位置而接触弹簧时，圆盘与连杆的角速度；（2）弹簧的最大压缩量δ。 解：（1）杆AB 处于水平位置时：

0 , 0==B B v ω，B 为AB 杆瞬心

︒⋅⋅=30sin 2

12l

g m W AB

rad/s

95.42330sin 2

3210

,31

212212

121222==︒⋅==-=⋅⋅=l

g

l

g m l m W T T T l m T AB AB AB AB AB AB ωωω （2）弹簧压缩最大时为δ 此时 0 ,0==AB B ωω 弹性力作功 212

δk W -=

重力作功

g m l W AB ⎪⎭

⎫

⎝⎛+=422δ

⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯±⨯=⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛±=

=--=-⎪⎭

⎫

⎝⎛+=+=9842000246.08.9200048.92000421 2

240

20

24222

2221g m k l g k m g k m g m k

l

k g m k g m l W W W AB AB AB AB AB AB δδδδδ 舍去负根，得

mm 87m 087.0==δ