【2019年整理】第七节方向导数与梯度

第七节

方向导数与梯度

要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。 重点：方向导数与梯度的计算。

难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。 作业：习题 8-7 ( R 0) 2,4,6,8,10

方向导数

问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数

z= f(x, y)在点P(x,y)沿任意方

向或某个方向的变化率.例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的 变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题.

1. 方向导数定义

设函数z = f (x, y)在点P(x, y)的某一邻域内有定义，自

P 点引有向直线 L , x 轴正

向与直线L 夹角为甲，在L 上任取一点P'(x + A x, y + A y)，若P'沿着L 趋近于P 时，即 当 P = ((Ax)2 +(Ay)2 t 。时，极限

「 f (x ：x,y ：y)— f(x,y) 此 -------------- - -----------

则称此极限值为函数在点

P 沿着L 方向的方向导数.记作

廿 iim f(x 牧,y y) - f (x, y)

—=lim ---------------------------------------- =L : )o

说明

(1)规定逆时针方向旋转生成的角是正角

平》0 ,顺时针方向旋转生成的角是负角

中＜0;

2. 方向导数的计算

定理 若函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分，那么函数 z= f (x, y)在点P(x, y)沿 任一方向L 的方向导数都存在，且有计算公式

证明：因为函数z = f(x,y)在点P(x, y)可微分，所以有

f

=^cos 、旦sin '=

:x :y

.:

L

e.

其中甲为x 轴到方向 L 的转角，e 是与L 同方向的单位向量.

A f =——A x +——A y + o( P )， :x ：y

上式两边同除以 P ,得

f :f . x

:f . ：y o(『):f .

: f . . o(：、)凯

——= ------- + ----- +_=一cos 中+ ——sin 中则

:软：:y \ .x 尚 / f -：f f .廿

——=lim ——=——cos ——sin ' :

L : * ；x ；:y

例1 .求函数z = xe 2y 在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,—1)的方向的方向导数.

又因为—=e 2y ,瑟=2xe 2y ,所以在点(1,0)处，—=1 , & = 2, .x fy fx fy

于是方向导数为

z

1 cos(-—) 2sin(- —) .:

L 4 4

另一方法.

例2.设由原点到点(x, y)的向径为r , x 轴到r 的转角为9 , x 轴到射线L 的转角为

22 平，求 ，其中

r = r =qx +y (r,0).

cl

fr x x fr

y y .

解 因为 一 =, =一 =cosB , — = ,

= =一 = sin6

x

x 2

y 2

r

：:y x 2 y 2 r

:

r .. .. .. .. ....

所以 =cos8 cos 平+sin 8sin * = cos(8 — 中)， ;:

L

.................. r 'r - . ................

讨论：当华=。时，—=1,即沿着向径本身方向的方向导数为

1,

；:

L

.

. 二 ：:r .............

当^=6 士 一时，—=0,即沿着与向径垂直的方向导数为零.

2

；:L

3. 三元函数的方向导数

三元函数u = f (x, y, z)在空间一点P(x, y, z)沿方向L (设方向L 的方向角为口，叩) 的方向导数，同样定义为

ff f (x x, y ■ y, z z) - f (x, y, z)

三=既 ----------- ----------

其中 P =』(A x)2 +(A y)2+(A z)2 , ^x = P cos ^, A y = Pcos & ,A z = Pcos ，.

解这里方向

L 即向量PQ={I ,—1的方向，因此x 轴到

L 方向的转角

-2

2

若函数f (x, y,z)在点P(x,y,z)可微分，则在该点方向导数计算公式为

_f _ f ； f f f ——=——cos：—cos- —cos ={——

.L :x ；y ；z :x -f f r 一，一}

{cos :y ；z :-,cos : ,cos }

.f :f

={—,—,

:x :y

■e-

其中e ={cosot ,cos E ,cos 是与L同方向的单位向量.

例3.求函数u=xyz在点P(5,1,2)处沿从点P(5,1,2)到点Q(9,4,14)的方向的方向导食军因为—=yz, 色 =xz,曳 =xy , 所以

,r~-. ,r~\ __ .1—..

.x ；y :z

B

ZE

4 cos =一

qf ,

12 c8b ,从而1 3

1 3

f

f

= cos■^-f c ofs-：f co#-42-30r

98

——

—

；:L:x-:y:z 1 3 1 313 1 3

设函数z = f (x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x, y)在D

f :f

都可确正出一个向重一i +——j ,芝个向重称为函数z=f(x, y)在点P(x,y)w D的梯度, 次::y 记作

、廿.；:f . gradf (x, y) =

— i — j :x :y

2.梯度与方向导数关系

设e =cos平日十sin中j是与L同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式

得

：f 「f f 一 =一cos 一

L . x . y si n= — , 1 cos , si n

=5,

二.梯度

1.梯度定义

而且PQ={9—5,4—1,14—2} ={4,3,12} , |PQ |= J42+32+122= 13,于

= gradf(x,y) g= gradf (x, y) e cos(gradf 八e) =prj L gradf (x, y).