高等数学考研辅导讲义(精品文档)

高等数学考研辅导讲义

概念清楚

题型全面

方法得当

灵活熟练

多元函数微分学

一 、 二元函数 1、二元函数的解析式

例1 设2

(,),xy f x y x y

=

+求(,(,))f x f x x 例2.设22(,)y

f x y x y x +=-，求(,)f x y

本例小结

2、二元函数的极限

例3 设22

22

22 0(,)0 0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩，讨论(,)(0,0)P x y O →时函数极限

例4 设22242

22 0(,)0 0x y

x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

，讨论(,)(0,0)P x y O →时函数极限

本例小结

例5

0x y →→ 2

1lim 1x x y

x y a xy +→∞→⎛⎫

+ ⎪⎝

⎭（0a ≠常

数）

例6 22200sin lim x y x y x y →→+ 22

2200

1lim()sin x y x y x y →→++ 332200lim x y x y x y →→++

例7

00

x y →→ 22

22200

lim()x

y

x y x y →→+

本例小结

3、二元函数连续；偏导存在；可微的讨论

连 续

可 微

偏导函数连续

偏导存在

（1）.函数在()00x y ，处连续⇔()()00

00lim x x y y f x y f x y →→=，，

（2）. 函数在()00x y ，处的偏导

()00x f x y '，=()()

00000

lim

x f x x y f x y x

∆→+∆-∆，，

或

()00x f x y '，=()()

0000

lim

x x f x y f x y x x →--，，

（3）. 函数在()00x y ，处可微

⇔0

(,)lim

0x f x x y y f x y f x y x f x y y

∆→→''+∆+∆--∆-∆=，，，

例8设

22

22

22

,0

(,)

0,0

xy

x y

x y

f x y

x y

⎧

+≠

⎪

+

=⎨

⎪+=

⎩

试问该函数在点（0,0）处⑴是否连续? ⑵

偏导数是否存在?

例9

设

22

22

,0

(,)

0,0

x y

f x y

x y

+≠

=

+=

⎩

试问该函数在点（0,0）处⑴是否连续?

⑵偏导数是否存在? ⑶是否可微？例10

设函数

2222

22

22

1

()sin0

(,)

00

x y x y

x y

f x y

x y

⎧

++≠

⎪

+

=⎨

⎪+=

⎩

，试问该函数在点（0,0）处

⑴是否连续? ⑵偏导数是否存在? ⑶是否可微？本例小结

例11设

33

22

22

22

,0

(,)

0,0

x y xy

x y

f x y x y

x y

⎧-

+≠

⎪

=+

⎨

⎪+=

⎩

求(0,0);(0,0)

xy yx

f f

''''

本例小结

二、求偏导

1.具体的复合函数求偏导

例13 （1）设z

y u x =，求

,,u u u x y z

∂∂∂∂∂∂ （2）设2

2

2

z y x r ++=， 证明r z

r y r x r 2

222222=∂∂+∂∂+∂∂

（3

）z =

本例小结

2.抽象的复合函数求偏导 例14

（1）设)(),(x y g y x xy f z +=，其中g f ,有连续二阶偏导数，求y

x z

∂∂∂2

（2）)

(22y x f y

z -=

（3）设),,(xyz xy x f u =且f 具有二阶连续偏导数，求z

x u x u ∂∂∂∂∂2, （4） 设函数(,)z f x y =在点(1,1)处可微，且(1,1)1f =，

(1,1)

2f

x

∂=∂，

(1,1)

3f y

∂=∂，

()(,(,))x f x f x x ϕ=，求

3

1

()x d x dx ϕ= （5） 设函数(,)()()()x y x y

u x y f x y f x y g t dt +-=++-+⎰

，其中f 具有二阶导数，g

具有一阶导数，计算2222u u

x y

∂∂-∂∂

本例小结

3.隐函数求偏导