小学数学中有哪些模型

小学数学中有哪些模型

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中还提到一个核心概念，就是模型思想。什么是模型思想呢许多数学教育工作者认为，一个数学表达就是模型，比如，方程就是模型，甚至一个代数式就是模型。广义上说，这样理解模型是可以的，但更确切的，单纯的数学表达是模式而不是模型。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中所说的模型，强调模型的现实性，是用数学的语言讲述现实世界中的故事；强调在建立模型的过程中，让学生感悟如何用数学的语言和方法描述一类现实生活中的问题。在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，是这样解释模型思想的：是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。

由这个解释可以看到，模型有别于一般的数学算式，模型也有别于通常的数学应用，模型是能够用来解决一类具有实际背景问题的数学方法。必须强调的是，模型的重要性往往不是取决于数学表达是否完美，而是取决于对现实世界的解释。在小学阶段的数学教学中至少需要考虑两个模型：一个是总量模型，一个是路程模型。

总量模型。这种模型讲述的是总量与部分量之间的关系，其中部分量之间的地位是平等的，是并列的关系，因此在这种模型中，部分量之间的运算要用加法。如果单纯从数学计算的角度考虑，还可以称这个模型为加法模型。这种模型具体表示为：总量=部分量+部分量

显然，模型中的部分量不局限于两个。可以用这个模型来解决现实生活中一类涉及总量的问题，这样的问题在小学低年级的数学教学总是屡见不鲜的。比如，计算图书室中各类图书的总和是多少，计算在商店中买几种商品的总花费是多少，计算在年级中各个班同学数的总人数是多少。还可以针对现实生活中具体问题背景的不同，引导学生灵活的使用这种模型，比如，可以在“部分量”那里讲一些故事；也可以在总量那里讲一些故事，把加法运算变为减法运算：部分量=总量-部分量。

路程模型。这种模型讲述的是距离、速度、时间之间的关系，如果假设速度是均匀的（或者平均速度），可以得到模型的形式：距离=速度×时间。

虽然所说的是路程问题，但这个模型可以适用于一类现实中的问题，比如，解决“总价=单价×数量”的问题，解决“总数=行数×列数”的问题等。但就描述自然界的规律而言，“距离=速度×时间”式中所表示的距离模型是本质的。因为这种模型强调的是乘法，因此单纯从数学计算的角度考虑，还可以称这种模

型为乘法模型。显然，在具体使用这类模型时，可以用时间讲一些故事，比如，甲比乙晚出发多长时间；还可以用速度讲一些故事，比如，某人在行程途中改变速度等。也可以用速度讲一些故事，把乘法变为除法：时间=距离÷速度。

针对具体问题的不同，还可以把总量模型“部分量=总量-部分量”和路程模型“距离=速度×时间”结合使用，在结合的过程中，方程就成为有利的数学工具。通过对模型的建构和理解，可以逐渐认识到：数学不仅是对现实世界中数量关系和图形关系的抽象，数学也不仅是逻辑推理的典范，数学所形成的概念、方法和命题还是描述现实世界的强有力的工具。

在小学阶段，虽然《义务教育数学课程标准（2011年版）》没有明确提出要求，但还有两类模型是可以考虑的，一类是植树模型，一类是工程模型。

植树模型。这类模型的问题背景是：在直线上或者平面上有规律的挖一些洞（也可以假设有一些洞），在洞中植树。在一般情况下，植树的数量小于洞的数量，这样就可以提出两类问题：一类问题是按一定规律在一部分洞中植树，问可以植树多少棵；一类问题是先确定植树的棵数，然后探索植树的规律。可以想象，在现实生活中这类问题是层出不穷的，也是非常有趣的、非常有意义的。比如，要在一条道路沿线设立若干个加油站，就可以把道路的里程看成洞，把加油站看成树；再比如，在一个区域要设立若干个商业点，就可以把居民住宅看成洞，把商业点看成树。特别是在现代社会，这个模型被广泛应用于资源调查或者环境调查，因为可以设想调查点就是树，为了更加经济科学的进行调查，就需要合理的设计可以被用来植树的洞。

显然，在平面上设计这类问题要比在直线上困难得多，因此在小学阶段的数学教学中，问题的背景主要是针对直线而不是平面。

工程模型。这类模型的问题背景是：有一个工程，甲工程队和乙工程队单独完成分别需要A天和B天，考虑两个工程队合作完成这个工程所需要的时间。解决这样的问题，一个简便的方法是假设工程为1，因为有了这个假设就可以确定甲工程队和乙工程队一天分别能完成工程的：1/A和1/B。正因为如此，人们又称这样的问题为归一问题。当然，在具体使用这个模型的时候，可以假设两个工程队合作会提高效率或者降低效率；也可以假设甲工程队先工作几天之后，乙工程队再参加；还可以假设有三个或者更多的工程队来完成这个工程。这种模型还可以包括传统的注水问题：有几个水管向一个池子中注水，还可以考虑一边注水一边放水的情况等。

可以看到，使用模型的过程可以充分发挥人的想象力。这个想象力主要表现在构建现实背景，想象背景中事物中的各种数量，想象各种数量关系之间的各种可能组合。因此，在这样的教学过程中，不仅要培养学生分析问题和解决问题的能力，还要培养学生发现问题和提出问题的能力。《义务教育数学课程标准（2011

年版）》中的例54提出了一个范例。这个例子是针对路程模型的，用图形描述了小明的父亲和母亲各自散步的路程与时间的关系，要求学生判断哪一个图形是父亲的，哪一个图形是母亲的。事实上，还可以先给出图形，然后让学生根据图形中所标注的数量关系，自己建构路程模型的故事。

总之，引导学生探索模型的过程是帮助学生积累数学活动经验的有效方法，这样的教学所需要的时间可能要多一些，因此在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中专门设定了“综合与实践”的教学内容，希望通过这样的教学内同能够培养学生的应用意识和创新意识。