二项式定理及相关性质

C C C C 2 1
1 n 2 n 3 n n n n
这是组合总数公式．
例1.证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n r n 1 n 1 n nr r n n n
2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
练习
1.( 1-x ) 13 的展开式中系数最小的项是( C )
(A)第6项 (B)第7项 （C）第8项 (D)第9项
1 3 1 n 2
2.设(3x + x ) 的二项展开式中各项系数之 和为 t,二项式系数和为 h,若 h+t=272,则二项 展开式含 x 项的系数为
2
.
n m 3.若C19 与C n 同时有最大值，则 m 4或5
例2
已知(1－2x) ＝a0＋a1x＋a2x ＋„＋a7x . 求：(1)a1＋a2＋„＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|.
7
2
7
1. 2. 3. 4.
总结1:
a).表中每行两端都是1。 b).除1外的每一个数都等
于它肩上两个数的和。
1 1 1 1 4 4 3 6 6 10 10 10 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1
例如：2+1=3
4+6=10
0 1 C1 C1
1 0 C21 C 2 C 因为： C 2+ C22 = C22 =
3 0 1 1 2 2 2 3 C3 C C C 3 10 3 C5 = C4 +3C4 =
解析:令 x=0,则 a0=1,令 x=2,则 a0+ 21 +
������1 2
������2 ������2 011 +…+ =0,所以 22 22 011
+
������2 ������2 011 +…+ =-1. 22 22 011
答案:C
1.3.2 杨辉三角与二项式 系数的性质
二项式定理
(a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b1+„+Cnkan-kbk+„+Cnnbn
展开式的第k+1项为
Tk+1= Cnkan-kbk
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表：
n 1 2 3 4 1 1 1 1
(a+b)n展开式的二项式系数
1 2 3 4 1 3 6 1 4 1
5
6
1
1
5
6
10
15
10
20
5
15
1
6 1
对称性
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
1）请看系数有没有明显的Байду номын сангаас律？
2）上下两行有什么关系吗？
3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
a1＋a2＋a3＋„＋a7＝－2 －1 094. 1 093. 2187
小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解
练习:
.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求: (1)a7+a6+…+a1; (2)a7+a5+a3+a1; (3)a6+a4+a2+a0; (4)|a7|+|a6|+…+|a1|.
例3:在(3x -2y)20的展开式中，求系数最大的项;
解:设系数绝对值最大的项是第r+1项.则
C 3
r 20 r 20
20 r 20 r
2 C
r r
r 1 20 r 1 20
3 3
19 r 21 r
2 2
r 1 r 1
C 3
即
2 C
3(r+1)>2(20-r) 得 7 2 r 8 2 5 5 2(21-r)>3r
C
n 1 2 n
n 1 2 n
n 2 n
相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
③各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
n
(a b) 的展开式的各二项式系 这就是说， n 2 数的和等于：
同时由于C0 n 1，上式还可以写成：
2 3
1 1 6
5
5
6
1
1
15
20 15
1 2 0 3 4 r C4 r C4 r-1 C 4 C4 C4 + =
cn cn cn+
1
0 1 2 3 4 5 C5 C5 C5 C5 C5 C5
0 2 3 4 5 6 1 当n不大时，可用该表来求二项式系数。 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6
总结2:
当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大
二项式系数的性质 ①对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 m n m Cn Cn 得到．
n r 图象的对称轴： 2
二项式系数的性质
②增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
系数 C 取得最大值；
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
8 20 12 8 12
8
练习 .若(1-2x)2 011=a0+a1x+…+a2 011x2 011(x∈R),则
A.2
a1 2
+
a2 a2 011 +…+ 的值为( 22 22 011
)
B.0
1 ������
C.-1
D.-2
Cn Cn
m
n m
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
1
1
对称
1
1
1 4 3
2
3 6
1 1 4 1
1
1
5 10 10 5
6 15 20 15 6
1
1
总结3:
1
1 1 1 1 4
1 1 2
3 3 6 4 1 1 1
5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1
当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大
在二项式定理中，令
a 1, b 1 ，则：
特值法
3 n
1 1
0 n
n
1 Cn0 Cn Cn2 Cn3 (1) n Cnn
0 (C C ) (C C )
0 n 2 n 1 n
C C C C C C