偏微分方程数值解

第一章概述

1．1 偏微分方程工具箱的功能

偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)提供了研究和求解空间二维偏微分方程问题的一个强大而又灵活实用的环境。PDE Toolbox的功能包括：

(1) 设置PDE (偏微分方程)定解问题，即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式和系数；

(2) 用有限元法(FEM) 求解PDE数值解；

(3) 解的可视化。

无论是高级研究人员还是初学者，在使用PDE Too1box时都会感到非常方便。只要PDE定解问题的提法正确，那么，启动MATLAB 后，在MATLAB工作空间的命令行中键人pdetool，系统立即产生偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)的图形用户界面(Graphical User Interface，简记为GUI)，即PDE解的图形环境，这时就可以在它上面画出定解区域、设置方程和边界条件、作网格剖分、求解、作图等工作，详见1．4节中的例子。我们将在第二章详细介绍GUI的使用，在第二章给出大量典型例子和应用实例。除了用GUI求解PDE外，也可以用M文件的编程计算更为复杂的问题，详见第三章和第四章的内容。

1．2 PDE Toolbox求解的问题及其背景

1．2．1 方程类型

PDE Toolbox求解的基本方程有椭圆型方程、抛物型方程、双曲

型方程、特征值方程、椭圆型方程组以及非线性椭圆型方程。

椭圆型方程： (), c u a u f i n -∇⋅∇+=Ω，

椭圆型方程：(),,c u au f in -∇⋅∇+=Ω

其中Ω是平面有界区域，c ,a ,f 以及未知数u 是定义在Ω上的实（或复）函数。 抛物型方程：(), .u d c u au f in t

∂-∇⋅∇+=Ω∂ 双曲型方程：22(), u c u au f in t

∂∂-∇⋅∇+=Ω∂. 特征值方程：(), ,c u au du in λ-∇∇+=Ω

其中d 是定义在Ω上的复函数，λ是待求特征值。在抛物型方程和双曲型方程中，系数c ,a ,f 和d 可以依赖于时间t 。

可以求解非线性椭圆型方程：

()()()(), ,c u u a u f u in -∇⋅∇+=Ω

其中c ,a ,f 可以是未知函数u 的函数。

还可以求解如下PDE 方程组；

()()()()11112211112212112222112221()(),()()c u u c u u a u a u f c u u c u u a u a u f -∇⋅∇-∇⋅∇++=⎧⎪⎨-∇⋅∇-∇⋅∇++=⎪⎩

利用命令行可以求解高阶方程组。对于椭圆型方程，可以用自适应网格算法，还能与非线性解结合起来使用。

另外，对于Poission 方程还有一个矩形网格的快速求解器。

1．2．2 边界条件

（1）Dirichlet 条件 ： h u r =

( 2 ) Neumann 条件： ()n c u qu g ⋅∇+=

其中n

是Ω的边界∂Ω上的单位外法向量，,,g q h 和r 是定义在∂Ω上的函数。对于特征值问题仅限于齐次条件：0,g =和0r =。对于非线性情形．系数,,g q h 和r 可以依赖于u ；对于抛物型方程和双曲型方程，系数可以依赖于时间t 。

对于方程组情形，边界条件为

( 1 ) Dirichlet 条件： 111

122h u h u r += 2112222h u h u r += ( 2 ) Neumann 条件： 1111221111221()()n c u n c u q u q u g ⋅∇+⋅∇++=

2112222112222()()n c u n c u q u q u g ⋅∇+⋅∇++= ( 3 ) 混合边界条件为: 1111221h u h u r +=

111122*********()()n c u n c u q u q u g h μ⋅∇+⋅∇++=+

211222*********()()n c u n c u q u q u g h μ⋅∇+⋅∇++=+ 其中μ的计算要使得Dirichlet 条件满足。在有限元法中，Dirichlet 条件也称为本质边界条件，Neumann 条件称为自然边界条件。

1.3 如何使用FDE Toolbox

1.3.1 定解问题的设置

员简单的办法是在PDE Tool 上直接使用图形用户界面(GUl)。设置定解问题包括三个步骤：

(1)Draw 模式：使用CSG(几何结构实体模型)对话框画几何区域，包括矩形、圆、椭圆和多边形，也可以将它们组合使用。

(2)Boundary 模式：在各个边界段上给出边界条件，

(3)PDE 模式：确定方程的类型、系数c ，a ，f 和d c 。也能够在不同子区域上设置不同的系数(反映材料的性质)。

1.3.2 解PDE问题

用GUI解PDE问题主要经过下面两个过程（模式）

(1)Mesh模式；生成网格．自动控制网格参数。

(2)Solve模式：对于椭圆型方程还能求非线性和自适应解。对于抛物型和双曲型力程．设置初始边值条件后能求出给定t时刻的解。对于特征值问题，能求出给定区间内的特征值；求解后可以加密网格再求解。

1.3.3 使用Toolbox求解非标准的问题

对于非标准的问题。可以用PDE Too1box的函数。或者用FEM(有限元法)求解更为复杂的问题。

1.3.4 计算结果的可视化

从GUI能够使用Plot模式实现可视化。可以使用Color, Height 和Vector等作图。对于抛物型和双曲型方程，还可以生成解的动画。这些操作通过命令行都很容易实现。

1.3.5 应用领域

在应用界面提供了丁如下应用领域

．结构力学——平面应力问题

．结构力学——平面应变问题

．静电场问题

．静磁场问题

．交流电磁场问题

．直流导体介质问题