数学分析(华东师大)第四章函数的连续性

第四章函数的连续性

§1 连续性概念

连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数.

从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识, 而应给出函数连续性的精确定义, 并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性.

一函数在一点的连续性

定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若

lim

x → x

f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1)

则称f 在点x0 连续.

例如, 函数 f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续, 因为

又如,函数lim

x →2

f ( x) = lim

x →2

( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) .

f ( x) =

x sin

1

x

, x ≠ 0 ,

0 , x = 0

在点x = 0 连续, 因为

lim x →0 f ( x) = lim

x →0

x sin

1

x

= 0 = f ( 0) .

为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为

Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 .

注自变量的增量Δx 或函数的增量Δy 可以是正数, 也可以是0 或负数.

引进了增量的概念之后, 易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于

lim Δy = 0 .

Δx →0

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第四章 函数的连续性

由于函数在一点的连续性 是通 过 极限 来定 义的 , 因 而 也可 直接 用 ε- δ方 式来叙述 , 即 : 若对任给的 ε> 0 , 存在 δ> 0 , 使得当 | x - x 0 | < δ时有

| f ( x) - f ( x 0 ) | < ε,

( 2)

则称函数 f 在点 x 0 连续 .

由上述定义 , 我们可得出函数 f 在点 x 0 有 极限 与 f 在 x 0 连 续这两 个概 念 之间的联系 .首先 , f 在点 x 0 有极限是 f 在 x 0 连续的必要条件 ; 进一步说“, f 在 点 x 0 连续”不仅要求 f 在点 x 0 有极限 , 而且其 极限值应 等于 f 在 x 0 的 函数 值 f ( x 0 ) .其次 , 在讨论极限 时 , 我们假 定 f 在 点 x 0 的某 空心 邻域 U °( x 0 ) 内有 定 义 ( f 在点 x 0 可以没有定义 ) , 而“ f 在点 x 0 连续”则要求 f 在某 U( x 0 ) 内 ( 包 括 点 x 0 ) 有定义 , 此时由于 (2 ) 式当 x = x 0 时总是成 立的 , 所以在 极限定义 中的“0 < | x - x 0 | < δ”换成了在连续定义中的“ | x - x 0 | < δ”.最后 , (1 ) 式又可表示为

lim x → x

f ( x) = f lim x ,

x → x

可见“ f 在点 x 0 连续”意味着极限运算 lim x → x

与对应法则 f 的可交换性 .

例 1 证明函数 f ( x ) = x D( x ) 在 点 x = 0 连续 , 其 中 D ( x ) 为 狄 利 克 雷 函数 .

证 由 f (0 ) = 0 及 | D( x ) | ≤ 1 , 对任给的 ε> 0 , 为使

| f ( x ) - f ( 0) | = | xD( x ) | ≤ | x | < ε, 只要取 δ= ε, 即可按 ε- δ定义推得 f 在 x = 0 连续 . □

相应于 f 在点 x 0 的左、右极限的概念 , 我们给出左、右连续的定义如下 : 定

义 2 设函数 f 在某 U + ( x 0 ) ( U - ( x 0 ) ) 内有定义 .若

lim x → x +

f ( x) = f ( x 0 ) lim -

x → x

f ( x) = f ( x 0 ) , 则称 f 在点 x 0 右 ( 左 ) 连续 .

根据上述定义 1 与定义 2 , 不难推出如下定理 .

定理 4.1 函数 f 在点 x 0 连续的充 要条 件是 : f 在 点 x 0 既是 右连续 , 又 是 左连续 .

例 2 讨论函数

在点 x = 0 的连续性 .

解 因为

f ( x ) =

x + 2 , x ≥ 0 , x - 2 , x < 0

lim x → 0 +

lim x → 0 -

f ( x ) = lim x → 0 + f ( x) = lim x → 0 -

( x + 2 ) = 2 ,

( x - 2) = - 2 , 而 f (0 ) = 2 , 所以 f 在点 x = 0 右连 续 , 但 不左 连续 , 从 而 它在 x = 0 不 连续 ( 见

●

§1 连续性概念 71

图 4 - 1 ) .

□

二 间断点及其分类

定义 3 设函数 f 在某 U °( x 0 ) 内有定义 .若 f 在 点 x 0 无定义 , 或 f 在点 x 0 有 定 义而 不 连续 , 则称 点 x 0 为 函数 f 的间断点或不连续点 .

按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的 讨论 , 若 x 0 为函数 f 的间断点 , 则必出现下列情形之一:

图 4 - 1

( i ) f 在点 x 0 无定义或极限 l im x → x

f ( x ) 不存在 ; 0

( ii ) f 在点 x 0 有定义且极限 lim x → x

f ( x ) 存在 ①

, 但 lim x → x

f ( x) ≠ f ( x 0 ) .

据此 , 我们对函数的间断点作如下分类 : 1. 可去间断点 若

lim x → x

f ( x ) = A ,

而 f 在点 x 0 无定义 , 或有定义但 f ( x 0 ) ≠ A , 则称 x 0 为 f 的可去间断点 .

例如 , 对于函数 f ( x ) = | sgn x | , 因 f ( 0) = 0 , 而

lim x → 0

f ( x) = 1 ≠ f (0 ) ,

故 x = 0 为 f ( x ) = | sgn x | 的 可 去 间 断 点 . 又 如 函 数 g ( x ) =

sin x

, 由 于 x

lim x → 0

g ( x ) = 1 , 而 g 在 x = 0 无定义 , 所以 x = 0 是函数 g 的可去间断点 .

设 x 0 为函数 f 的可去间断点 , 且 lim x → x

f ( x ) = A .我们按

如下 方法定 义一 个 0

函数 f ^: 当 x ≠ x 0 时 , f ^( x ) = f ( x) ; 当 x = x 0 时 , f ^( x 0 ) = A .易 见 , 对 于函 数

f ^, x 0 是它的连续点 .例如 , 对上述的 g( x) = sin x

, 我们定义

x

则 g

^在 x = 0 连续 .

g ^( x ) = sin x x

, x ≠ 0 , 1 , x = 0 ,

2. 跳跃间断点 若函数 f 在点 x 0 的左、右极限都存在 , 但

lim x → x +

f ( x) ≠ lim x → x -

f ( x) , 则称点 x 0 为函数 f 的跳跃间断点 .

例如 , 对函数 f ( x ) = [ x ] ( 图 1 - 8) , 当 x = n ( n 为整数 ) 时有