幂零矩阵的性质
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性质 ７ 幂零矩阵的相似矩阵是幂零矩阵。 证 明 设 Ａ 是 ｎ 阶 幂 零 矩 阵 ， 则 存 在 一 个 自 然 数 ｍ， 使 Ａｍ＝０， 另 设 Ｂ 与 Ａ 相似， 则存在可逆矩阵 Ｃ， 使 Ｂ＝Ｃ－１ＡＣ， 因此， Ｂｍ＝（Ｃ－１ＡＣ）ｍ＝Ｃ－１ＡｍＣ＝ ０。 性质 ８ 同阶可交换的幂零矩阵的乘积是幂零矩阵。 证 明 设 Ａ、Ｂ 都 是 ｎ 阶 幂 零 矩 阵 ， 则 存 在 自 然 数 ｍ 和 ｋ， 使 Ａｍ＝ ０， Ｂｋ＝０， 取 ｍ 和 ｋ 的最小公倍数 ｒ， 则存在自然数 ｒ１、ｒ２， 使 ｒ＝ｍｒ１＝ｋｒ２。另 设 ＡＢ＝ＢＡ， 则 （ＡＢ）ｒ＝ＡｒＢｒ＝（Ａｍ）ｒ１ （Ｂｋ）ｒ２ ＝０。 性质 ９ 设 Ａ 为非零的幂零矩阵， 且 ｒ 是 Ａ 的幂零指数， 则 Ｅ、Ａ、 Ａ２、…， Ａｒ－１ 线性无关。 证明 设 Ａ 为非零的幂零矩阵， 且 ｒ 是 Ａ 的幂零指数。 我们利
关键词： 幂零矩阵； 性质 Ｔｈｅ Ｐｒ ｏｐｅｒ ｔｉｅｓ ｏｆ Ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ Ｍａｔｒ ｉｘ Ｚｏｕ Ｂｅｎｑｉａｎｇ
（Ｗｅｉｈａｉ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｗｅｉｈａｉ Ｃｉｔｙ Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｐｒ ｏｖｉｎｃｅ ２６４２００） Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｍａｔｒｉｘ ｓｅｒｖｅｓ ａｓ ａ ｋｅｙ ｔｏｏｌ ｉｎ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ａｌｇｅｂｒａ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｈａｖｅ ｎｏｔ ｂｅｅｎ ｍｕｃｈ ｅｘｐｌｏｒｅｄ ａｌｔｈｏｕｇｈ ｉｔｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｔｒｉｘ． Ａｓ ｓｐｅｃｉａｌ ｆｏｒｍｓ ｏｆ ｍａｔｒｉｘｅｓ， ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｐｌａｙｓ ａ ｋｅｙ ｒｏｌｅ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｍａｔｒｉｘ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｉｎ ａｃｔｕａｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ． Ｉｔｓ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｒｅ ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ ｕｓｅｄ ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｒｅｌａｔｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｆｉｒｓｔ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｍｏｖｅｓ ｏｎ ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｃｅｒｔａｉｎ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅｍ． Ｋｅｙｗｏｒ ｄｓ： ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ； ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ
用反证法证明。假设 Ｅ、Ａ、Ａ２、…， Ａｒ－１ 线性相关， 则存在一组不全为零 的数 ｃ０， ｃ１， …ｃｒ－１， 使 ｃ０Ｅ＋ｃ１Ａ＋ｃ２Ａ２＋…＋ｃｒ－１Ａｒ－１＝０ （ １） ， 两 端 右 乘 Ａｒ－１， 得 ｃ０Ａｒ－１＝０， 而 Ａｒ－１≠０， 因此 ｃ０＝０， 再对（ １） 式两端右乘 Ａｒ－２， 可得 ｃ１＝０， 同理 可得， ｃ２＝…＝ｃｒ－１＝０， 所以 ｃ０＝ｃ１＝ｃ２＝…＝ｃｒ－１＝０， 矛盾。
性质 ４ ｎ 阶幂零矩阵的伴随矩阵是幂零矩阵（ ｎ≥２） 。 证明 设 Ａ 是 ｎ（ ｎ≥２） 阶幂零矩阵， 则存在一个自然数 ｍ， 使 Ａｍ＝ ０， 因此， Ａ 存在伴随矩阵， 由伴随矩阵性质得， （Ａ＊）ｍ＝（Ａｍ）＊＝０。 性质 ５ 幂零矩阵的行列式值为零。 证 明 设 Ａ 是 ｎ 阶 幂 零 矩 阵 ， 则 存 在 一 个 自 然 数 ｍ， 使 Ａｍ＝０， 由 行列式性质得， Ａ ｍ＝ Ａｍ ＝０， 所以， Ａ ＝０。 性质 ６ 幂零矩阵的特征值都为零， 特征值全为零的矩阵是幂零 矩阵。 证 明 设 Ａ 是 ｎ 阶 幂 零 矩 阵 ， 则 存 在 一 个 自 然 数 ｍ， 使 Ａｍ＝０， 又 设 λ是 Ａ 的任一特征值， α是属于特征值 λ的特征向量， 则 Ａα＝λα， 两 边 分 别 左 乘 ｍ－ １ 次 矩 阵 Ａ， 得 Ａｍα＝λｍα， 故 λｍα＝０， 而 α≠０， 因 此 ， λ＝０。 若 Ａ 的特征值全为零， 由哈密 尔 顿－ 凯 莱 定 理 知 ， Ａｎ＝０， 满 足 幂 零 矩阵的定义。
第一服装厂出口了一批睡衣。比较： 出口睡衣 湖南出土了一批文物。比较： 出土文物 政府出台了一项政策。 ７．Ｇ 类 动 词 ： 这 类 动 词 有 ： 称 霸 、称 雄 、充 军 、出 兵 、登 陆 、进 军 、入 股、入籍、落户、落籍、亮相、移民、移居、驻 军 、扬 名 、扬 帆 、扬 威 、签 约 、 出 差 、扎 根 处所宾语是一个比较特殊的宾语类型。广义上说， 处所宾语是指 所有的由处所词和处所词组充任的宾语， 如“我想着家里。”狭义上说 就是专指表示趋向或位置的动词性成分（ 来去进出上下回） 后头所带 的由处所词或处所词组充任的宾语， 如“我坐在家里。”科
ｉｉ 带宾动词 ５１ 个： 抱怨 操劳 出版 从事 担心 担忧 当心 导演 得罪 动员 发愁 发誓 放心 奉命 复辟 复员 关心 害怕 合伙 借鉴 留心 留神 留意 募捐 评 价 起草 求助 染指 认购 润色 示意 抗议 讨厌 投身 投资 玩味 亡命 忘记 闻名 无视 献身 想法 宣誓 延期 增产 致力 注目 注意 祝福 着手 着眼
性质 １０ 设 Ａ 为幂零矩阵， 且 ｍ 是 Ａ 的幂零指数， 则 １） Ｅ－ Ａ 可 逆， 且（Ｅ－ Ａ）－１＝Ｅ＋Ａ＋Ａ２＋…＋Ａｍ－１。２） Ｅ＋Ａ 可逆， 且
（Ｅ－ Ａ）－１＝Ｅ＋Ａ＋Ａ２＋…Ａｍ－１。２）Ｅ＋Ａ 可逆， 且 （Ｅ＋Ａ）－１＝Ｅ－ Ａ＋…＋（－ １）ｍ－１Ａｍ－１
证明 １） 设 Ａ 为幂零矩阵， 且 ｍ 是 Ａ 的幂零指数， 因此 （Ｅ－ Ａ）（Ｅ＋Ａ＋Ａ２＋…＋Ａｍ－１） ＝（Ｅ＋Ａ＋Ａ２＋…＋Ａｍ－１）（Ｅ－ Ａ）＝Ｅ
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所以， Ａ 与 Ｎ 相似。
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２） 同理可证， Ｂ 与 Ｎ 相似。
３） 因此， Ａ 与 Ｂ 相似。
性质 １２ 相似于对角形矩阵的幂零矩阵是零矩阵。 证明 设 Ａ 为幂零矩阵， 则存在自然数 ｍ， 使 Ａｍ＝０。又设 Ａ 与对
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１５０
科技信息
○高校讲台○
ＳＣＩＥＮＣＥ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００７ 年 第 １２ 期
这类词有： 存款、汇款、罚款、捐 款 、赠 款 、赠 书 、投 资 、创 汇 、割 爱 、 控 股 、更 名 、过 境 、聚 焦 、入 股 、涉 嫌 、无 缘 、驻 军 、转 岗 、转 道 、创 刊 、任 职、走私、拜师、从师、点将、攻关、续弦、亏 本 、抢 滩 、缺 席 、入 股 、入 围 、 夺 冠 、改 版 、跟 踪 、结 缘 、解 码 、迁 址
５．Ｅ 类动词： 如迁怒、取材、授权、失信、专心 、效 力 、上 书 、致 函 、致 电 、求 援
６．Ｆ 类动词： 动词本身 带 有 出 现 、消 失 等 意 义 ， 后 面 的 宾 语 是 存 现 宾语， 这类动词有： 出口、出炉、出台、出 土 、毕 业 、失 传 、失 踪 、问 世 、回 笼、竣工等， 数量相对比较少。这类动词的宾语一般为定中短语。如
下面， 我们将研究幂零矩阵的性质， 以供读者学习矩阵时提供参 考。
定义 １ 设 Ａ 是 ｎ 阶矩阵， 若存在一个自然数 ｍ， 使 Ａｍ＝０， 则称 Ａ 为幂零矩阵。
定义 ２ 设 Ａ 为幂零矩阵， 满足 Ａｍ＝０ 的最小正整数 ｍ 称为 Ａ 的 幂零指数。
显然， ｎ 阶零矩阵是特殊的幂零矩阵， 且其幂零指数为 １。 下面我们讨论幂零矩阵的性质。
角形矩阵 Ｂ 相似， 且令
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则存在可逆矩阵 Ｃ， 使 Ａ＝Ｃ－１ＢＣ， 由性质 ７ 知， Ｂｍ＝０， 则 ｂ１ ＝ｂ２ ＝…＝
ｍ
ｂｎ ＝０， 因此 Ｂ＝０， 所以 Ａ＝０。
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○高校讲台○
源自文库
ＳＣＩＥＮＣＥ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００７ 年 第 １２ 期
幂零矩阵的性质
邹本强 （威海职业学院 山东 威海 ２６４２００）
摘要： 在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具， 在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义， 但对其性质研究很少。幂零矩阵作 为特殊矩阵无论在矩阵理论方面， 还是在实际应用方面都有重要的意义。我们在研究矩阵及学习有关数学知识时， 经常要讨论幂零矩阵的性 质。本文先给出幂零矩阵的定义， 然后讨论了它的若干性质。
注解： ｉ 带宾动词 ３１ 个： 抱怨 毕业 操心 担心 当心 发愁 放心 关 心 害 怕 留心 留神 忍心 伤心 提醒 听说 忘记 出版 动员 满意 贪污 讨厌 提议 调剂 埋 怨 增产 着急 着手 着眼 复员 负责 注意 （《动词用法词典》）
不带宾动词 １１ 个： 帮忙 闭幕 道歉 服务 结婚 鞠躬 开幕 离婚 挑战 洗澡 游泳
ｉｉｉ 新增的 带 宾 的 １３４ 个 动 宾 式 动 词 ： 备 战 插 手 称 霸 称 雄 充 军 出 兵 出 口 出炉 出面 出台 出土 出席 存款 打趣 登陆 发难 分流 割爱 跟踪 更名 过境 回笼 跻身 加盟 兼职 接轨 接手 解码 见面 见证 进军 聚焦 捐款 决战 控股 亏 本 联手 亮相 列席 领先 落户 落籍 落选 留学 起诉 迁怒 签约 迁址 抢滩 倾情 缺席 入股 入口 入籍 入围 入职 涉嫌 失信 肆虐 投诉 无缘 效力 扬帆 扬威 移 民 移情 饮誉 迎战 应聘 约会 援手 造福 赠款 增书 执教 致电 致谢 质疑 中意 逐鹿 瞩目 驻军 转岗 拜师 从师 垂涎 创刊 当选 点将 定居 夺冠 罚款 改版 改 称 挂帅 汇款 寄居 竣工 求援 取材 取名 任职 上书 授权 投机 问计 无愧 享誉 续弦 移居 扬名 转道 招工 执笔 致函 走私 专心
性质 １ 幂零矩阵的转置矩阵是幂零矩阵。 证 明 设 Ａ 是 ｎ 阶 幂 零 矩 阵 ， 则 存 在 一 个 自 然 数 ｍ， 使 Ａｍ＝０， 因 此， （Ａｍ）Ｔ＝０， 故， （ＡＴ）ｍ＝０。 性质 ２ 幂零矩阵的数乘矩阵是幂零矩阵。 证 明 设 Ａ 是 ｎ 阶 幂 零 矩 阵 ， 则 存 在 一 个 自 然 数 ｍ， 使 Ａｍ＝０， 因 此， （ｋＡ）ｍ＝ｋｍＡｍ＝０。 性质 ３ 幂零矩阵的 ｋ 次幂是幂零矩阵（ｋ 为自然数）。 证明 略。
所以， 结论成立。
２） 同理可证。 性质 １１ 若 Ａｎ＝Ｂｎ＝０， 但 Ａｎ－１≠０， Ｂｎ－１≠０（ ｎ≥１） ， 则 Ａ 与 Ｂ 相似。
证明 １） 设 Ｖ 是数域 Ｆ 上的 ｎ 维线性空间。ε１， ε２， … ， εｎ 是 Ｖ 的 一组基， 则有线性变换 σ， 使 σ在 ε１， ε２， …， εｎ 下的矩阵为 Ａ。由 Ａｎ＝０， 但 Ａｎ－１≠０， 知 σｎ＝Ｔ０ 但 σｎ－１≠Ｔ０， 从 而 有 α∈Ｖ， 使 σｎ（α）＝０ 但 σｎ－１（α）≠ ０。可以证明， α， σ（α）， …， σｎ－１（α）线性无关， 从而作成 Ｖ 的一组基， 此处 从略。易知， 在 σ， α， …， σ（α）， …， σｎ－１（α）下的矩阵是
不带宾动词 １００ 个： 帮忙 保密 毕业 扯皮 撑腰 吃苦 出差 出神 打仗 贷款 怠工 带头 当家 倒戈 捣鬼 导航 道歉 得逞 动手 蹲点 发抖 发慌 发怒 放哨 放 手 服务 甘心 贺喜 喝采 集会 讲话 开荒 怄气 排版 配音 捧场 碰壁 媲美 辟谣 起步 签名 求救 求情 让步 让路 惹祸 惹事 认输 认罪 撒谎 撒娇 扫盲 闪光 上 课 上学 失传 失控 失利 失恋 失灵 失眠 失事 失效 失踪 失足 示范 示弱 示威 示众 受害 受惊 受贿 受骗 受伤 受灾 抒情 说谎 说理 说情 诉苦 逃荒 逃难 听 讲 退位 退伍 忘本 违法 问世 握手 无望 无误 误点 误事 献计 游泳 遇难 扎根 致命 作废 作头
关键词： 幂零矩阵； 性质 Ｔｈｅ Ｐｒ ｏｐｅｒ ｔｉｅｓ ｏｆ Ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ Ｍａｔｒ ｉｘ Ｚｏｕ Ｂｅｎｑｉａｎｇ
（Ｗｅｉｈａｉ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｗｅｉｈａｉ Ｃｉｔｙ Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｐｒ ｏｖｉｎｃｅ ２６４２００） Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｍａｔｒｉｘ ｓｅｒｖｅｓ ａｓ ａ ｋｅｙ ｔｏｏｌ ｉｎ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ａｌｇｅｂｒａ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｈａｖｅ ｎｏｔ ｂｅｅｎ ｍｕｃｈ ｅｘｐｌｏｒｅｄ ａｌｔｈｏｕｇｈ ｉｔｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｔｒｉｘ． Ａｓ ｓｐｅｃｉａｌ ｆｏｒｍｓ ｏｆ ｍａｔｒｉｘｅｓ， ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｐｌａｙｓ ａ ｋｅｙ ｒｏｌｅ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｍａｔｒｉｘ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｉｎ ａｃｔｕａｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ． Ｉｔｓ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｒｅ ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ ｕｓｅｄ ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｒｅｌａｔｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｆｉｒｓｔ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｍｏｖｅｓ ｏｎ ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｃｅｒｔａｉｎ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅｍ． Ｋｅｙｗｏｒ ｄｓ： ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ； ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ
用反证法证明。假设 Ｅ、Ａ、Ａ２、…， Ａｒ－１ 线性相关， 则存在一组不全为零 的数 ｃ０， ｃ１， …ｃｒ－１， 使 ｃ０Ｅ＋ｃ１Ａ＋ｃ２Ａ２＋…＋ｃｒ－１Ａｒ－１＝０ （ １） ， 两 端 右 乘 Ａｒ－１， 得 ｃ０Ａｒ－１＝０， 而 Ａｒ－１≠０， 因此 ｃ０＝０， 再对（ １） 式两端右乘 Ａｒ－２， 可得 ｃ１＝０， 同理 可得， ｃ２＝…＝ｃｒ－１＝０， 所以 ｃ０＝ｃ１＝ｃ２＝…＝ｃｒ－１＝０， 矛盾。
性质 ４ ｎ 阶幂零矩阵的伴随矩阵是幂零矩阵（ ｎ≥２） 。 证明 设 Ａ 是 ｎ（ ｎ≥２） 阶幂零矩阵， 则存在一个自然数 ｍ， 使 Ａｍ＝ ０， 因此， Ａ 存在伴随矩阵， 由伴随矩阵性质得， （Ａ＊）ｍ＝（Ａｍ）＊＝０。 性质 ５ 幂零矩阵的行列式值为零。 证 明 设 Ａ 是 ｎ 阶 幂 零 矩 阵 ， 则 存 在 一 个 自 然 数 ｍ， 使 Ａｍ＝０， 由 行列式性质得， Ａ ｍ＝ Ａｍ ＝０， 所以， Ａ ＝０。 性质 ６ 幂零矩阵的特征值都为零， 特征值全为零的矩阵是幂零 矩阵。 证 明 设 Ａ 是 ｎ 阶 幂 零 矩 阵 ， 则 存 在 一 个 自 然 数 ｍ， 使 Ａｍ＝０， 又 设 λ是 Ａ 的任一特征值， α是属于特征值 λ的特征向量， 则 Ａα＝λα， 两 边 分 别 左 乘 ｍ－ １ 次 矩 阵 Ａ， 得 Ａｍα＝λｍα， 故 λｍα＝０， 而 α≠０， 因 此 ， λ＝０。 若 Ａ 的特征值全为零， 由哈密 尔 顿－ 凯 莱 定 理 知 ， Ａｎ＝０， 满 足 幂 零 矩阵的定义。
第一服装厂出口了一批睡衣。比较： 出口睡衣 湖南出土了一批文物。比较： 出土文物 政府出台了一项政策。 ７．Ｇ 类 动 词 ： 这 类 动 词 有 ： 称 霸 、称 雄 、充 军 、出 兵 、登 陆 、进 军 、入 股、入籍、落户、落籍、亮相、移民、移居、驻 军 、扬 名 、扬 帆 、扬 威 、签 约 、 出 差 、扎 根 处所宾语是一个比较特殊的宾语类型。广义上说， 处所宾语是指 所有的由处所词和处所词组充任的宾语， 如“我想着家里。”狭义上说 就是专指表示趋向或位置的动词性成分（ 来去进出上下回） 后头所带 的由处所词或处所词组充任的宾语， 如“我坐在家里。”科
ｉｉ 带宾动词 ５１ 个： 抱怨 操劳 出版 从事 担心 担忧 当心 导演 得罪 动员 发愁 发誓 放心 奉命 复辟 复员 关心 害怕 合伙 借鉴 留心 留神 留意 募捐 评 价 起草 求助 染指 认购 润色 示意 抗议 讨厌 投身 投资 玩味 亡命 忘记 闻名 无视 献身 想法 宣誓 延期 增产 致力 注目 注意 祝福 着手 着眼
性质 １０ 设 Ａ 为幂零矩阵， 且 ｍ 是 Ａ 的幂零指数， 则 １） Ｅ－ Ａ 可 逆， 且（Ｅ－ Ａ）－１＝Ｅ＋Ａ＋Ａ２＋…＋Ａｍ－１。２） Ｅ＋Ａ 可逆， 且
（Ｅ－ Ａ）－１＝Ｅ＋Ａ＋Ａ２＋…Ａｍ－１。２）Ｅ＋Ａ 可逆， 且 （Ｅ＋Ａ）－１＝Ｅ－ Ａ＋…＋（－ １）ｍ－１Ａｍ－１
证明 １） 设 Ａ 为幂零矩阵， 且 ｍ 是 Ａ 的幂零指数， 因此 （Ｅ－ Ａ）（Ｅ＋Ａ＋Ａ２＋…＋Ａｍ－１） ＝（Ｅ＋Ａ＋Ａ２＋…＋Ａｍ－１）（Ｅ－ Ａ）＝Ｅ
$０ ０ … ０
%１ ０
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Ｎ＝%０ １
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所以， Ａ 与 Ｎ 相似。
０’ ０( ０( …(
０)
２） 同理可证， Ｂ 与 Ｎ 相似。
３） 因此， Ａ 与 Ｂ 相似。
性质 １２ 相似于对角形矩阵的幂零矩阵是零矩阵。 证明 设 Ａ 为幂零矩阵， 则存在自然数 ｍ， 使 Ａｍ＝０。又设 Ａ 与对
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２００７ 年 第 １２ 期
这类词有： 存款、汇款、罚款、捐 款 、赠 款 、赠 书 、投 资 、创 汇 、割 爱 、 控 股 、更 名 、过 境 、聚 焦 、入 股 、涉 嫌 、无 缘 、驻 军 、转 岗 、转 道 、创 刊 、任 职、走私、拜师、从师、点将、攻关、续弦、亏 本 、抢 滩 、缺 席 、入 股 、入 围 、 夺 冠 、改 版 、跟 踪 、结 缘 、解 码 、迁 址
５．Ｅ 类动词： 如迁怒、取材、授权、失信、专心 、效 力 、上 书 、致 函 、致 电 、求 援
６．Ｆ 类动词： 动词本身 带 有 出 现 、消 失 等 意 义 ， 后 面 的 宾 语 是 存 现 宾语， 这类动词有： 出口、出炉、出台、出 土 、毕 业 、失 传 、失 踪 、问 世 、回 笼、竣工等， 数量相对比较少。这类动词的宾语一般为定中短语。如
下面， 我们将研究幂零矩阵的性质， 以供读者学习矩阵时提供参 考。
定义 １ 设 Ａ 是 ｎ 阶矩阵， 若存在一个自然数 ｍ， 使 Ａｍ＝０， 则称 Ａ 为幂零矩阵。
定义 ２ 设 Ａ 为幂零矩阵， 满足 Ａｍ＝０ 的最小正整数 ｍ 称为 Ａ 的 幂零指数。
显然， ｎ 阶零矩阵是特殊的幂零矩阵， 且其幂零指数为 １。 下面我们讨论幂零矩阵的性质。
角形矩阵 Ｂ 相似， 且令
$ｂ１ ０ … ０ ’
%０ Ｂ＝%%…
ｂ２ …
…
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&０ ０ ０ ｂｎ )
$ｍ
ｂ１
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＝%０
ｂ２
(
%%…
…
…
…
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&０ ０ ０ ｂｎ )
ｍｍ
则存在可逆矩阵 Ｃ， 使 Ａ＝Ｃ－１ＢＣ， 由性质 ７ 知， Ｂｍ＝０， 则 ｂ１ ＝ｂ２ ＝…＝
ｍ
ｂｎ ＝０， 因此 Ｂ＝０， 所以 Ａ＝０。
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２００７ 年 第 １２ 期
幂零矩阵的性质
邹本强 （威海职业学院 山东 威海 ２６４２００）
摘要： 在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具， 在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义， 但对其性质研究很少。幂零矩阵作 为特殊矩阵无论在矩阵理论方面， 还是在实际应用方面都有重要的意义。我们在研究矩阵及学习有关数学知识时， 经常要讨论幂零矩阵的性 质。本文先给出幂零矩阵的定义， 然后讨论了它的若干性质。
注解： ｉ 带宾动词 ３１ 个： 抱怨 毕业 操心 担心 当心 发愁 放心 关 心 害 怕 留心 留神 忍心 伤心 提醒 听说 忘记 出版 动员 满意 贪污 讨厌 提议 调剂 埋 怨 增产 着急 着手 着眼 复员 负责 注意 （《动词用法词典》）
不带宾动词 １１ 个： 帮忙 闭幕 道歉 服务 结婚 鞠躬 开幕 离婚 挑战 洗澡 游泳
ｉｉｉ 新增的 带 宾 的 １３４ 个 动 宾 式 动 词 ： 备 战 插 手 称 霸 称 雄 充 军 出 兵 出 口 出炉 出面 出台 出土 出席 存款 打趣 登陆 发难 分流 割爱 跟踪 更名 过境 回笼 跻身 加盟 兼职 接轨 接手 解码 见面 见证 进军 聚焦 捐款 决战 控股 亏 本 联手 亮相 列席 领先 落户 落籍 落选 留学 起诉 迁怒 签约 迁址 抢滩 倾情 缺席 入股 入口 入籍 入围 入职 涉嫌 失信 肆虐 投诉 无缘 效力 扬帆 扬威 移 民 移情 饮誉 迎战 应聘 约会 援手 造福 赠款 增书 执教 致电 致谢 质疑 中意 逐鹿 瞩目 驻军 转岗 拜师 从师 垂涎 创刊 当选 点将 定居 夺冠 罚款 改版 改 称 挂帅 汇款 寄居 竣工 求援 取材 取名 任职 上书 授权 投机 问计 无愧 享誉 续弦 移居 扬名 转道 招工 执笔 致函 走私 专心
性质 １ 幂零矩阵的转置矩阵是幂零矩阵。 证 明 设 Ａ 是 ｎ 阶 幂 零 矩 阵 ， 则 存 在 一 个 自 然 数 ｍ， 使 Ａｍ＝０， 因 此， （Ａｍ）Ｔ＝０， 故， （ＡＴ）ｍ＝０。 性质 ２ 幂零矩阵的数乘矩阵是幂零矩阵。 证 明 设 Ａ 是 ｎ 阶 幂 零 矩 阵 ， 则 存 在 一 个 自 然 数 ｍ， 使 Ａｍ＝０， 因 此， （ｋＡ）ｍ＝ｋｍＡｍ＝０。 性质 ３ 幂零矩阵的 ｋ 次幂是幂零矩阵（ｋ 为自然数）。 证明 略。
所以， 结论成立。
２） 同理可证。 性质 １１ 若 Ａｎ＝Ｂｎ＝０， 但 Ａｎ－１≠０， Ｂｎ－１≠０（ ｎ≥１） ， 则 Ａ 与 Ｂ 相似。
证明 １） 设 Ｖ 是数域 Ｆ 上的 ｎ 维线性空间。ε１， ε２， … ， εｎ 是 Ｖ 的 一组基， 则有线性变换 σ， 使 σ在 ε１， ε２， …， εｎ 下的矩阵为 Ａ。由 Ａｎ＝０， 但 Ａｎ－１≠０， 知 σｎ＝Ｔ０ 但 σｎ－１≠Ｔ０， 从 而 有 α∈Ｖ， 使 σｎ（α）＝０ 但 σｎ－１（α）≠ ０。可以证明， α， σ（α）， …， σｎ－１（α）线性无关， 从而作成 Ｖ 的一组基， 此处 从略。易知， 在 σ， α， …， σ（α）， …， σｎ－１（α）下的矩阵是
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