21.1一元二次方程(一)PPT课件

2 4x
81 ；
1 5x2 1 4x
一般式： 5x 2 4 x 1 0. 二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
2 4x2 Hale Waihona Puke Baidu 81
一般式： 4x 81 0.
2
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
3 4 x x 2 25 4 3x 2 x 1 8 x 3
二次项系数
一次项系数
例题1
下列方程中哪些是一元二次方程？
(1) x 2 x 5 0 (2)4 x 3 y 1 0
2
2
(3)ax bx c 0
2
2
(4) x( x 1) 2 0
1 2 (6)(m 2) 1 (5)a 0 a (1) ( 4) ( 6) 是一元二次方程的有：
一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 ax 2 bx 的形式 ,我们把 c 0 ax 2 bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b≠0时是一元一次方程；
1、判断下列方程，哪些是一元二次方程 （ ） （1）x3－２ｘ2＋５＝０； （２）
1 1 20 x x2
（3）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；
（4）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１；
（5）ax2＋bx＋c＝０
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整
解：设其中的较短一段为x，则另较长 一段为（1－x） x· 1 = (1－x) 2 X2－3x＋1=0.
（4）一个直角三角形的斜边长为10， 两条直角边相差2，求较长的直角边 长 x．
x x 2 10
2 2
2
x 2 x 48 0
2
练习：
1、已知x=1是关于x的一元二次 方程2x²+kx-1=0的一个根，求k 的值
3 4 xx 2 25
一般式： 4 x2
8 x 25 0.
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
4 3x 2x 1 8x 3
一般式：
3x 2 7 x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化 成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25， 求正方形的边长x； 解：设其边长为x，则面积为x2 4x2=25
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
1 是同一场比赛,所以全部比赛共 x( x 1) 28 场. 2
即
x2 x 56
方程① ② ③有什么特点？
x2＋2x－4=0 x2－75x+350=0
（１）这些方程的两边都是整式 （２）方程中只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2.
B
x
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形 , 然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为 3600 平方厘米 , 那么铁皮各角应切 去多大的正方形? 分析:
?
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽 为 (50-2x)cm . x 根据方盒的底面积为3600cm2, 得 (100 2 x)(50 2 x) 3600 即
理，都能化成如下形式
ax bx c 0 a 0
2
这种形式叫做一元二次方程的一般形 式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是 一次项，b是一次项系数；c是常数项．
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般 形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
• 3. 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数： ⑴ ⑵ ⑶
3x 1 6 x
2
( x 2)(x 3) 8
(2 3 x)(2 3 x) ( x 3)
2
?
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
问题 (1) 要设计一座高 2m 的人体雕像 , 使雕像的 上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比 ,等于下部 与全部的高度比 , 求雕像的下部应设计为高多少 A 米? 2-x 分析: 雕像上部的高度AC,下部的高度BC
应有如下关系:
C
?
AC BC 2 2 AC BC 即 BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程 x2 2(2 x) 2 2x 4 0 整理得 x
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 2 化为 ax 2 bx的形式 c 0 ,我们把 ax bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
作业：习题21.1第 2、5、6、7题
例题2
将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一 元二次方程的一般形式，并写出二次项 系数、一次项系数及常数项。 解：去括号，得 3x2+3x-2x-2=8x-3 移项，合并同类项得 3x2-7x+1=0
例题3
例题讲解
• 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条 件下此方程为一元二次方程？在什么条 件下此方程为一元一次方程？
25 x 4
2
x
25 4
5 5 x 或x (舍去) 2 2
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100， 求矩形的长x；
解：设长为x，则宽（x－2）
x(x－2)=100. x2－2x－100=0.
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与 全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一 段的长x；
3600
100㎝
50㎝
x 75 x 350 0
2
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛? 分析: 全部比赛共 4×7=28场 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
2、已知x=0是关于x的一元二次 方程(a-1)x²+x+a²-1=0的一个根， 求a的值
1.根据下列问题列方程，并将其化成一元二 次方程的一般形式： （1）一个圆的面积是6.28m2 ，求半径（≈3.14） （2）一个直角三角形的两条直角边相差3cm， 面积是9cm2 ，求较长的直角边的长。 （3）参加聚会的每两人都握了一次手，所有人 共握手10次，有多少人参加聚会？
① ② 2 x x 56 0 ③
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程 1 10 x 900 0 是一元二次方程吗？ 2 x
解：去括号，得 3x2－3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的 一般形式： 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为 －10.
练习 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数 项： 2 2
1
5x 1 4x；