第九章三向应力状态(6,7,8)

于是，第四强度理论的屈服判据为 vd vdu
1 vd ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 6E


对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限s的材料，注 意到试验中1＝ s， 2＝3＝0，而相应的形状改 变能密度的极限值为 1 vdu 2 s2 6E 故屈服判据可写为
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 这个理论比第三强度理论更符合已有的一些 平面应力状态下的试验结果，但在工程实践中多 半采用计算较为简便的第三强度理论。




(5) 强度理论的相当应力
上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写 作如下形式：
r
式中，r是根据不同强度理论以危险点处以主应力 表达的一个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度 条件≤[]中的拉应力，通常称r为相当应力。表 7-1示出了前述四个强度理论的相当应力表达式。
表7-1 四个强度理论的相当应力表达式
强度理论名称及类型
相当应力表达式
第一类强 第一强度理论── r1 1 度理论(脆性 最大拉应力理论 r2 1 2 3 断裂的理论) 第二强度理论── 最大伸长线应变理论
上述强度条件具有如下特点 （1）正应力和切应力危险点分别处于单向应力状态或纯剪切 应力状态; （2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定试
件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,
除以适当的安全因数而得,即根据直接的试验结果建立的强度条 件. 但是对于材料在一般平面应力状态下以及三向应力状态下的 强度，则由于不等于零的主应力可以有多种多样的组合，所以材料 破坏的极限应力无法通过试验加以测定。因而需要通过对材料破坏 现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律，提出关于材料发生强 度破坏的起决定作用的主要因素，从而得到材料破坏由主要因素引 起来自百度文库假说──强度理论，例如利用单向拉伸试验测得的强度的一些 结果为主要因素，来推断复杂应力状态下材料的强度。
1 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 s2 6E 6E


亦即
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 s 2 此式中，1、2、3是构成危险点处的三个主应力， 相应的强度条件则为
三、几个主要的强度理论
(1) 最大拉应力理论(第一强度理论)： 这个理论 认为引起材料脆性断裂破坏的主要因素是最大拉应力， 无论在什么应力状态下，当一点处三个主应力中的拉 伸主应力1达到该材料在单轴拉伸试验的极限应力u， 材料就发生脆性断裂破坏。 可见，第一强度理论关于脆性断裂的判据为 1 u 而相应的强度条件则是 1 其中，[]为对应于脆性断裂的许用拉应力，[]＝ u/n，而n为安全因数。
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） 1. 屈服失效 材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工 作能力. 2. 断裂失效 （1）脆性断裂 :无明显的变形下突然断裂. （2）韧性断裂 :产生大量塑性变形后断裂.
最大正应力
最大线应变
引起破坏 的主要 因素
最大切应力
形状改变 比能
工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型分为 Ⅰ. 研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论， 其中包括最大拉应力理论和最大拉应变理论； Ⅱ. 研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论， 其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。


1 2 2 2 vV σ m σ m σ m 2 μ (σ m σ m σ m σ m σ m σ m ) 2E 1 2 3(1 2 μ) 2 σm ( 1 2 3 ) 2 6E 2E


vd v vV
1 2 2 2 vd ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 6 E 2 m
§9-8 各种强度理论的适用范围及其应用
一.适用范围（The appliance range）
（1）一般脆性材料选用第一或第二强度理论; （2）塑性材料选用第三或第四强度理论; （3）在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性都发生 脆性破坏,故选用第一或第二强度理论; （4）在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材
煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，
如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向 发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的 方向，这与第二强度理论的结果相近。
(3) 最大切应力理论(第三强度理论)： 这个理论 认为引起材料屈服破坏的主要因素是最大切应力，无 论在什么应力状态下，当一点处的最大切应力 max达 到该材料在轴向拉伸试验中屈服时最大切应力的极限 值u时，材料就发生屈服破坏。 第三强度理论的屈服判据为 max u 对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限s，从而有u ＝s/2的材料（例如低碳钢），上列屈服判据可写 为 1 3 s 即 1 3 s 2 2
影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如低温能提 高脆性，高温一般能提高塑性； 在高速动载荷作用下 脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。 无论是塑性材料或脆性材料：
在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形式破坏， 所以应采用最大拉应力理论；
在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形， 所以应该采用第三或第四强度理论。
三.应用举例（Examples）
例 9-19
已知： 和 试写出最大剪应力 理论和形状改变比 能理论的表达式。
max min

x y
2
x y 2 x 2
2
解：首先确定主应力 1 ＋ 1＝ 2 2

2＋4 2
2＝0
3＝ 2
§9-7 强度理论及其相当应力
一、强度理论的概念
1.引言
正应力强度条件
σmax [σ ]
切应力强度条件
τ max [τ ]
FN max [σ ] 轴向拉压 σmax A M max 弯曲 σmax [σ ] Wz FS [ ] 剪切 A Tmax 扭转 max [ ] Wt * FS max S z max 弯曲 max [ ] I zb
§9-6 空间应力状态下的变形比能
单元体应变能（应变能密度）——单位体积 的应变能
1.单向拉伸变形比能：
2
1 v 2
1
dz
2、单元体变形功：
dy
3 dx
1dydz ~ 1dx 2dxdz ~ 2dy
3dydx ~ 3dz
1 1 dW 1dydz 1dx 2dxdz 2dy 2 2 1 3dxdy 3dz 2 1 σ1ε1 σ 2 ε2 σ 3ε3 d x d y d z d Vε 2 dV
－
1 2
2＋4 2
对于最大剪应力理论（第三强度理论）
r3=1-3= 2＋4 2
对于形状改变比能理论（第四强度理论）
r4=
= 2＋3 2
3、单元体应变比能 vε
ε
1 σ1ε1 σ 2 ε2 σ 3ε3 d x d y d z / d x d y d z 2
1 1 1 2 2 3 3 2
dV
1 1 1 v 11 2 2 3 3 2 2 2
则第二强度理论关于脆性断裂的判据也可以便于运 用的如下应力形式表达：
1 u 1 2 3 E E
亦即
1 2 3 u
1 2 3
而相应的强度条件为
按照这一理论，似乎材料在二轴拉伸或三轴拉 伸应力状态下反而比单轴拉伸应力状态下不易断裂， 而这与实际情况往往不符，故工程上应用较少。
而相应的强度条件则为
1 3
第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证 实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较 简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理 论没有考虑中间主应力σ2的影响，其带来的最大误 差不超过15％，而在大多数情况下远比此为小。 (4) 形状改变比能理论(第四强度理论) ：该理论认 为引起材料屈服破坏的主要因素是形状改变比能，无论 在什么应力状态下，只要一点处的形状改变比能vd达到 单向拉伸时使材料屈服的形状改变比能vdu时，材料即会 发生屈服破坏。
r3 1 3 第三强度理论── 第二类强度 最大切应力理论 1 2 { { r4 1 2 理论(塑性 2 第四强度理论── 2 屈服的理论) 2 3 形状改变能密度理论 3 1 2 ]}1 / 2
一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多 发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性 材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。
1 1 E 1 （ 2 3） 1 2 （ 3 1） 2 E 3 1 3 （ 1 2） E
1 2 2 2 v 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E
的情况就不再适用。。
(2)最大拉应变理论(第二强度理论) ：这个理 论认为引起材料脆性断裂破坏的主要因素是最大拉 应变，无论在什么应力状态下，当一点处的最大拉 应变1达到该材料在单轴拉伸的极限拉应变u，材 料就会发生脆性断裂破坏。 可见，第二强度理论关于脆性断裂的判据为
1 u
对应于式中材料脆性断裂的极限拉线应变u， 如果是由单轴拉伸试验而发生脆性断裂情况下 测定的(例如对铸铁等脆性金属材料)，那么u＝ u/E。
料都发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论.
二.强度计算的步骤 （Steps of strength calculation）
（1）外力分析:确定所需的外力值; （2）内力分析:画内力图,确定可能的危险面; （3）应力分析:画危面应力分布图,确定危险点并画出单元体, 求主应力; （4）强度分析:选择适当的强度理论,计算相当应力,然后进 行强度计算.
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、
玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料在
轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面
上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜
面发生断裂，这些都与最大拉应力理论相符，但这
个理论没有考虑其它两个主应力的影响；此外，它
对某一点所取的单元体在任何截面上都没有拉应力
2 m


1 3
m m
3 m
1 m
[9-18]求证 E 2(1 )G 证明： max min

(0, )
max
min

1 , 2 0, 3
E 2(1 )G
(0, )

1 2 1 1 2 2 2 v ( 1 3 2 1 3 ) 2G 2E E


变形比能=体积改变比能+形状改变比能
2
v vV vd
m
1
2 m
m
3 m
1 m
3
m
m 1 2 3
3
1 2 2 2 v 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E