北师大版八年级下册三角形的证明培优提高
三角形的证明单元检测卷
1.（4分）（2013?钦州）等腰三角形的一个角是８0°，则它顶角的度数是(）A．80°B．8０°或２0°Ｃ．80°或50°D．２0°
２.(4分）下列命题的逆命题是真命题的是（）
A．如果a＞0,ｂ＞０,则a+b＞0 B. 直角都相等
C．两直线平行,同位角相等D．若a=6，则｜ａ｜=｜b｜3.△ABC中，∠A:∠Ｂ：∠Ｃ=１：２：3，最小边BC=４ｃm,最长边AＢ的长
是
A．5cm B．6cm C. ７cｍD．8cm
4.(4分)如图，已知AE＝ＣF，∠AFＤ=∠CＥB,那么添加下
列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CＢＥ的是()
A. ∠A=∠C B．ＡD=ＣB Ｃ．ＢE＝DＦD．ＡD∥BC
5．（4分)如图，在△ABC中，∠B=３０°,BC的垂直平分线
交AB于E,垂足为D．若ＥＤ=５，则ＣE的长为( )
Ａ．10 B. 8 C. 5 D．２.5
6.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB，BE⊥CD,
垂足为D,交AC于点E，∠A=∠ABE.若ＡC=5,ＢＣ=3,
则BＤ的长为（)
A．2．5 Ｂ．1．５C．2D．１
7．(4分)如图，AＢ=ＡC,BE⊥ＡC于点E,CＦ⊥AB于点
Ｆ，BE、CF相交于点D,则①△ＡBE≌△ＡＣF;②△BD
Ｆ≌△CDE;③点D在∠ＢＡＣ的平分线上．以上结论正
确的是（）
A．① B. ②C．①② D. ①②③
8.（4分)如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC,Ｅ是BC上一
点,∠BAE=∠DEC=60°,AB=３,CE＝４,则AD等于（）A. 10 B．1２ C. 24 D. 48
9．如图所示，在△ABC中,AB=AＣ,D、Ｅ是△AＢC内两点,AD平分∠BA
Ｃ.∠EBC=∠E=6０°,若BE＝６，DE＝2,则BC的长度是(）
A. 6
B. 8
C. ９
D. 10
１0．(4分)（2013?遂宁)如图，在△ABC中，∠C=9０°,∠B=30°,
以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AＢ、AC于点M和N，
再分别以Ｍ、N 为圆心，大于MN的长为半径画弧,两弧交于
点P，连结ＡＰ并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个
数是(）
①ＡＤ是∠BAＣ的平分线；②∠ADＣ=60°;③点Ｄ在AB的
中垂线上;④S△DAC：S△ＡBC=1：３．
A. 1 Ｂ. 2 C. 3 D．4
１２．（４分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A（０，2），
B(0，6），动点C在直线ｙ=x上.若以A、B、C三点为顶点
的三角形是等腰三角形，则点Ｃ的个数是( )
A. 2 B．3Ｃ．4 D. 5
１3．(４分)如图,在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°,ＡC=8，F是ＡB边上的中点,点D,E分别在AC,BＣ边上运动，且保持ＡD＝CE．连接ＤE,DＦ，EF．在此运动变化的过程中,下列结论：
①△DＦE是等腰直角三角形；
②四边形CＤＦE不可能为正方形，
③DＥ长度的最小值为４；
④四边形ＣDFE的面积保持不变；
⑤△CDＥ面积的最大值为８.
其中正确的结论是（)
A．①②③ B. ①④⑤C．①③④D．③④⑤
二、填空题（每小题4分，共24分）
１4.（４分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于6０°”时，首先应假设这个三角形中___.
15.（4分）若（ａ﹣1)２＋｜ｂ﹣2｜=０，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_ ．
１6．（4分)如图，在Rt△ABC中,∠AＢＣ=90°，DE是AC的垂直平分线，交AＣ于点D，交ＢC于点Ｅ，∠BAE=20°,则∠C=＿_＿＿＿__＿_ ．
１7．（4分）如图,在△ABＣ中,BI、CI分别平分∠ABC、∠ＡＣF，DE过点I,且DE∥BC.BD=8cｍ,CE=5cm,则DE等于__＿＿_____．
1８．如图，圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿０.3m
与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m．
1９.如图,在Ｒt△ABＣ中,∠C=90°,∠Ｂ=6０°，点Ｄ是BC边上的点，
ＣD=1，将△ABC沿直线AD翻折,使点C落在ＡＢ边上的点E处，
若点P是直线ＡD上的动点,则△ＰEB的周长的最小值是.
三、解答题（每小题７分,共14分)
20．(7分)如图，Ｃ是AB的中点，AD=ＢＥ，
CD=CE．求证：∠A=∠B.
２1．（7分)如图，两条公路OＡ和
OB相交于Ｏ点，在∠AOB的内部有
工厂Ｃ和D，现要修建一个货站P，
使货站P到两条公路ＯA、OB的距离相等，且到两工厂C、
D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．四、解答题(每小
题１0分,共４０分)
22.(10分)在四边形ABＣＤ中,AＢ∥CＤ,∠Ｄ=90°,∠DCA=
３0°，CA平分∠DＣB,AD=４cm，求AB的长度? 23.(1０分）如图，在△AＢC中，∠C=90°,AＤ平分∠CAB,交CＢ于点D,过点D作ＤE⊥AB于点Ｅ.
(１）求证:△ＡCＤ≌△ＡＥD;
（2)若∠Ｂ=３0°,CＤ=１,求BD的长．
2４．(１0分）如图,把一个直角三角形ACＢ(∠ACB=90°)绕着
顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点Ａ旋转到点E的位置.Ｆ,G分别是BＤ,BＥ上的点,ＢF=ＢG,延长CF与DG交于点H．
（1）求证:CF=DG;(２）求出∠FHG的度数．
25.（10分)已知:如图,△ABC中，∠ABC＝45°，DH垂直
平分BC交AＢ于点D，BE平分∠ＡBC，且BＥ⊥ＡＣ
于E，与CD相交于点F．
（1）求证:ＢF＝AC；
(2)求证：.
五、解答题（每小题１2分.共24分）
26.（1２分）如图,在△ＡBＣ中，D是BC是中点,过点D
的直线GF交AC于点Ｆ，交AＣ的平行线BG于点G，
DE⊥DF交ＡB于点Ｅ，连接ＥG、ＥF．
（1)求证：BＧ=ＣF；（2)求证：EG=EF；
(3)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论.
27.（12分）△ABC中，AＢ=AC，点D为射线BC上一个
动点(不与B、C重合),以ＡD为一边向AD的左侧作△AＤＥ，使AＤ=ＡE，∠D ＡE＝∠BAC,过点E作BC的平行线，交直线ＡＢ于点F,连接BE.
（１)如图1，若∠BAＣ＝∠DAＥ=６0°，则△BEＦ是___＿＿_＿__三角形; （２)若∠BAC=∠DAE≠６０°
①如图２,当点Ｄ在线段BC上移动，判断△ＢＥＦ的形状并证明；
②当点D在线段BC的延长线上移动，△ＢＥF是什么三角形?请直接写出结论并画出相应的图形.
北师大版八年级下册《第1章三角
形的证明》2０１4年单元检测卷A
（一)
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分,共４8分）
１.（４分）(201３?钦州）等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是（)
A. 8０°
B. 8０°或20°C．80°或50°D．20°
考点: 等腰三角形的性质．
专题：分类讨论.
分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．
解答:解:①80°角是顶角时,三角形的顶角为80°,
②8０°角是底角时，顶角为１８０°﹣80°×2=20°，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或２０°．
故选B．
点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．
2．(4分)下列命题的逆命题是真命题的是()
A．如果ａ>0，b>0，则a+b＞0 Ｂ. 直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D. 若ａ＝6，则|ａ｜=|ｂ|
考点: 命题与定理．
分析:先写出每个命题的逆命题,再进行判断即可.
解答：解；A.如果a＞0，b>0,则a+b>0：如果a+b>０，则a＞0，b＞0,是假命题；
Ｂ．直角都相等的逆命题是相等的角是直角,是假命题；
Ｃ.两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行,是真命题;
Ｄ.若ａ=6,则｜a｜＝|ｂ｜的逆命题是若｜a|=｜b|,则ａ=6，是假命题. 故选:C.
点评：此题考查了命题与定理,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的命题,错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
3．（4分)△ＡBC中,∠Ａ：∠B：∠Ｃ=1:2：3，最小边BC=４cｍ,最长边AB的长
是（）
A．５cm B. ６cm C．７cm D.
考点: 含30度角的直角三角形.
分析：三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角的一半．
解答：解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是边是斜边的一半,得最长边是最小边的2倍，即８，故选D．
点评：此题主要是运用了直角三角形中角3０°所对的直角边是斜边的一半.
４．(4分)（2013?安顺）如图，已知AＥ=CF，∠AFＤ=∠CＥB，那么添加下列一
个条件后,仍无法判定△ＡDF≌△CBE的是(）
Ａ. ∠Ａ＝∠C B．ＡD=ＣB C. BＥ＝DF D.
考点：全等三角形的判定．
分析:求出AＦ=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
解答：解:∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EＦ，
∴AF=CＥ,
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF ≌△ＣＢE （ASA ）,正确，故本选项错误； B 、根据ＡD=CB ，AF=C Ｅ,∠AFD ＝∠ＣEB 不能推出△A ＤF ≌△ＣBE,错误，故本选项正确； C 、∵在△ADF 和△CBE 中 ∴△A ＤF ≌△CBE(SAS)，正确,故本选项错误;
D 、∵ＡD ∥ＢC ， ∴∠A ＝∠C ，
∵在△ADF 和△ＣＢＥ中
∴△A ＤＦ≌△C ＢE （ASA ）,正确，故本选项错误; 故选B.
点评: 本题考查了平行线性质,全等三角形的判定的应用,注意：全等三角形的判定定理有SA Ｓ,ASA ，AAS,SSS ．
5.(4分）（2012?河池）如图,在△A ＢＣ中，∠B ＝30°,B Ｃ的垂直平分线交A Ｂ于E,垂足为Ｄ．若ＥD=５,则C Ｅ的长为（ )
Ａ． 10 B ． 8 C. 5 D. 2.5
考点： 线段垂直平分线的性质；含３0度角的直角三角形.
分析： 根据线段垂直平分线性质得出BE ＝ＣE,根据含30度角的直角三角形性质求出BE 的长，即可求出CE 长． 解答： 解：∵DE 是线段BC 的垂直平分线， ∴BE ＝CE,∠ＢD Ｅ=90°（线段垂直平分线的性质）, ∵∠Ｂ=30°，
∴ＢE ＝２D Ｅ=2×5=10(直角三角形的性质)，
∴CE=BE=１０．
故选A ．
点评： 本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用,关键是得到题目比较典型,难度适中.
6.（4分）(2０13?邯郸一模)如图，Ｄ为△ABC 内一点,CD 平分∠ＡCB,ＢＥ⊥CD,
垂足为D,交AC 于点E,∠A ＝∠ABE ．若AC=5，ＢC=３,则BD 的长为( ） A ． 2.5 Ｂ．
１.5 Ｃ． 2 D ．
考点： 等腰三角形的判定与性质. 分析：
由已知条件判定△BEC 的等腰三角形，且ＢＣ=CE ；由等角对等边判定AE=BE,则
(AC ﹣BC).
解答: 解:如图，∵C Ｄ平分∠ACB,BE ⊥CD ， ∴BC ＝ＣE ．
又∵∠A=∠ABE ， ∴ＡE ＝BE.
∴BD=BE=ＡＥ=（AC ﹣BC)．
∵ＡＣ＝５，BC=３，
∴BD ＝（5﹣３）=１．
故选D ． 点评: 本题考查了等腰三角形的判定与性质.注意等腰三角形“三合一”性质的运用.
７.（4分）如图,ＡＢ＝AC,ＢＥ⊥AC 于点E ，C Ｆ⊥AB 于点F ，BE 、CF 相交于点Ｄ,则①△ABE ≌△A ＣF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠ＢＡC 的平分线上．以上结论正确的是（ )
A ． ① B. ② C ． ①② Ｄ. ①②③
考点: 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质. 专题： 常规题型.
分析： 从已知条件进行分析,首先可得△ＡＢE ≌△ACF 得到角相等和边相等,运用这些结论,进而得到更多的结论，
最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案.
解答: 解:∵BE ⊥ＡC 于Ｅ,CF ⊥ＡB 于F ∴∠AEB=∠AF Ｃ=90°， ∵AB=AC ，∠A=∠A, ∴△ABE ≌△A ＣF （①正确） ∴AE ＝ＡＦ, ∴ＢF ＝CE ， ∵B Ｅ⊥AC 于Ｅ,CF ⊥AB 于F ，∠BDF ＝∠CDE, ∴△ＢDF ≌△ＣDE （②正确) ∴DF ＝DE, 连接AD ，
∵A Ｅ=A Ｆ,ＤＥ＝DF ，AD ＝AD, ∴△AED ≌△AF Ｄ， ∴∠ＦA Ｄ=∠ＥAD, 即点Ｄ在∠BAC 的平分线上（③正确）
故选D ．
点评： 此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活
不重不漏．
8.（4分）如图所示,AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是ＢC 上一点,∠BA Ｅ=∠ＤEC=60°，AB ＝3,C Ｅ＝4，则AD 等于（ ）
Ａ. 10 Ｂ． 12 Ｃ． 2４ Ｄ 考点: 勾股定理；含３0度角的直角三角形． 分析: 本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质. 解答： 解:∵AB ⊥BC ，D Ｃ⊥B Ｃ,∠BA Ｅ＝∠DEC=6０° ∴∠ＡEB=∠ＣDE ＝30° ∵30°所对的直角边是斜边的一半 ∴AE=６，D Ｅ=8 又∵∠AED=９0°
根据勾股定理 ∴A Ｄ=10. 故选A.
点评: 解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边
性质． ９.（4分)如图所示，在△A ＢC 中，ＡＢ＝ＡC ，D 、Ｅ是△ＡB Ｃ内两点,ＡD 平分∠BA Ｃ．∠E ＢＣ=∠E ＝６０°，若BE=6,DE ＝２,则BC 的长度是( ）
A ． 6 B. 8 C ． ９ D ． 10 考点： 等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 分析: 作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出ＢE=6,ＤE=2，进而得出△BEM 为等边三角形,△EF Ｄ为等边三角
形，从而得出BN 的长，进而求出答案．
解答： 解:延长ED 交B Ｃ于M,延长AD 交BC 于N,作DF ∥BC ， ∵AB=AC,ＡＤ平分∠ＢAC ， ∴ＡN ⊥B Ｃ,BN=CN, ∵∠EB Ｃ=∠E=６0°， ∴△BEM 为等边三角形, ∴△EF Ｄ为等边三角形, ∵BE=6,D Ｅ=２, ∴D Ｍ=4,
∵△ＢEM 为等边三角形， ∴∠EMB ＝60°， ∵AN ⊥BC, ∴∠DNM=90°, ∴∠ND Ｍ＝30°， ∴NM=2， ∴BN=4， ∴BC=２ＢN=8， 故选B ．
点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质,能求出MN 的长是解决问 １0.(4分）(２０1３?遂宁）如图，在△ＡB Ｃ中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点Ｍ和Ｎ,再分别以M 、Ｎ为圆心，大于MN
的长为半径画弧,两弧交于点P,连结A Ｐ并延长交B Ｃ于点D,则下列说法中正确的
个数是（ ) ①AD 是∠BA Ｃ的平分线；②∠ADC=6０°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △ＤAC :S △ＡB Ｃ=1:3. A ． １ B ． 2 C ． 3 D ． 考点： 角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图. 专题: 压轴题． 分析: ①根据作图的过程可以判定AD 是∠ＢＡC 的角平分线; ②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠A Ｄ③利用等角对等边可以证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性
中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角
解答： 解：①根据作图的过程可知,ＡＤ是∠BAC 的平分线．
故①正确;
②如图，∵在△AB Ｃ中，∠Ｃ=90°，∠B=30°, ∴∠CA Ｂ=６0°.
又∵ＡD 是∠BAC 的平分线， ∴∠1=∠2＝∠CA Ｂ＝30°，
∴∠3＝９0°﹣∠2＝６0°，即∠ADC ＝6０°. 故②正确;
③∵∠1=∠B ＝30°， ∴A Ｄ=B Ｄ，
∴点Ｄ在ＡB 的中垂线上. 故③正确;
④∵如图,在直角△AC Ｄ中，∠2=3０°, ∴CD=AD,
∴B Ｃ=CD ＋BD=AD+AD=ＡD,Ｓ△DAC ＝AC ?CD=ＡC ?ＡD ． ∴S △ＡB Ｃ=ＡC ?BC=ＡC ?A Ｄ=AC ?A Ｄ, ∴S △DAC :Ｓ△A ＢC =AC ?AD ：AC ?A Ｄ=1:３． 故④正确.
综上所述,正确的结论是：①②③④,共有4个. 故选Ｄ．
点评: 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图.解题时，需要熟悉等腰三角形的
判定与性质．
12.（４分)（20１3?龙岩)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(0，2)，B(０,6)，动点C 在直线y=x 上．若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（ ）
A ． 2
B ． 3 Ｃ． 4 D ．
考点: 等腰三角形的判定；坐标与图形性质． 专题: 压轴题．
分析: 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得ＡB 的垂直平分线与直
求出AB 的长，以点Ａ为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=ｘ的交点为点的距离可知以点B 为圆心,以ＡＢ的长为半径画弧，与直线没有交点.
解答: 解:如图，A Ｂ的垂直平分线与直线y=x 相交于点Ｃ１,
∵A(0,2），B(0，6), ∴AB=6﹣２=４，
以点A 为圆心,以AB 的长为半径画弧,与直线y=x 的交点为C ２，Ｃ３, ∵OB=６,
∴点B 到直线y=ｘ的距离为6×
=3
，
∵3>４，
∴以点B 为圆心,以ＡB 的长为半径画弧，与直线y ＝x 没有交点， 所以,点C 的个数是1+2=３． 故选B ．
点评: 本题考查了等腰三角形的判定,坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观. １3．(4分）(2００9?重庆)如图,在等腰Ｒt △AB Ｃ中,∠C=90°，ＡC ＝8，F 是AB 边上的中点,点D ，E 分别在AC,BC 边上运动,且保持AD=C Ｅ.连接DE,D Ｆ，ＥF.在此运动变化的过程中,下列结论： ①△ＤFE 是等腰直角三角形； ②四边形CD ＦＥ不可能为正方形, ③DE 长度的最小值为4； ④四边形C ＤFE 的面积保持不变; ⑤△CD Ｅ面积的最大值为８.
其中正确的结论是( ）
A. ①②③ B ． ①④⑤ C. ①③④
D ． ③④⑤
考点： 正方形的判定;全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形. 专题： 压轴题;动点型.
分析： 解此题的关键在于判断△ＤEF 是否为等腰直角三角形,作常规辅助线连接CF ，由SAS 定理可证△ＣF Ｅ和
△ADF 全等，从而可证∠DFE=90°,DF ＝EF.所以△ＤＥＦ是等腰直角三角形．可证①正确，②错误,再由割
补法可知④是正确的;
判断③,⑤比较麻烦,因为△ＤEF 是等腰直角三角形ＤE=DF,当DF 与ＢC 垂直小值4,故③错误，△CDE 最大的面积等于四边形C ＤEF 的面积减去△ＤE Ｆ的正确的．故只有①④⑤正确.
解答: 解:连接ＣF;
∵△A ＢC 是等腰直角三角形,
∴∠FCB=∠Ａ=4５°,CF=AF=F Ｂ； ∵AD=CE,
∴△ADF ≌△C ＥF;
∴ＥF=DF,∠ＣF Ｅ=∠ＡF Ｄ；
∵∠AFD+∠CFD ＝９0°,
∴∠ＣFE+∠CF Ｄ=∠EF Ｄ=９0°, ∴△E ＤF 是等腰直角三角形. 因此①正确. 当D 、E 分别为A Ｃ、ＢC 中点时,四边形C ＤＦE 是正方形. 因此②错误． ∵△A ＤF ≌△ＣEF ， ∴S △CEF =S △ADF ∴Ｓ四边形CE ＦD ＝S △AFC , 因此④正确. 由于△ＤEF 是等腰直角三角形，因此当ＤＥ最小时，D Ｆ也最小； 即当ＤF ⊥AC 时,DE 最小，此时DF ＝BC ＝4.
∴ＤE=ＤF=４； 因此③错误.
当△CDE 面积最大时，由④知，此时△DE Ｆ的面积最小．
此时S △ＣDE =S 四边形CE ＦD ﹣S △DEF =S △AFC ﹣S △DE Ｆ=1６﹣8=8； 因此⑤正确.
故选
B ．
点评: 本题考查知识点较多，综合性强,能力要求全面,难度较大.但作为选择题可采用排除法等特有方法,使此题难度稍稍降低一些.
二、填空题(每小题4分,共24分)
14．(4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中 每一个内角都大于６０° ． 考点： 反证法． 分析： 熟记反证法的步骤，直接填空即可. 解答： 解:根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立,即三角形的每一个内角都大于６0°． 故答案为：每一个内角都大于60°. 点评: 此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：(1）假设结论不成立；（2)从假设出发推出矛盾;（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种，那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定. 15.(４分）（2０１3?雅安)若（a ﹣1）2＋|b ﹣2|=0,则以ａ、b 为边长的等腰三角形的
周长为 5 .
考点： 等腰三角形的性质；非负数的性质:绝对值;非负数的性质：偶次方；三角形三边关系． 专题: 分类讨论． 分析: 先根据非负数的性质列式求出ａ、b 再分情况讨论求解即可． 解答: 解：根据题意得，a ﹣1=０，ｂ﹣2=０， 解得a=1,b=2,
①若a ＝1是腰长,则底边为２，三角形的三边分别为1、1、2， ∵1+1＝2,
∴不能组成三角形,
②若a ＝2是腰长,则底边为１,三角形的三边分别为2、2、1， 能组成三角形， 周长=2+２＋1=5. 故答案为：５.
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质,以及三角形的三边关系，难点在于
１6．(4分）如图,在Rt △A ＢC 中,∠ＡBC=90°,DE 是AC 的垂直平分线，交ＡC 于
点D,交BC 于点E ，∠BAE ＝20°，则∠C= 35° .
考点: 线段垂直平分线的性质. 分析： 由DE 是AC 的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质，可得AE=C Ｅ，又由在０°，∠B ＡE=２０°,即可求得∠C 的度数．
解答: 解:∵ＤＥ是AC 的垂直平分线，
∴ＡE ＝C Ｅ,
∴∠C ＝∠CAE ， ∵在R ｔ△ABE 中,∠A ＢＣ=90°，∠BAE=20°,
∴∠AE Ｃ=70°,
∴∠C ＋∠C ＡE=70°， ∴∠C=35°. 故答案为:３5°． 点评: 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度不大,注意掌握 １7.(4分）如图，在△ABC 中，ＢI 、CI 分别平分∠ＡBC 、∠ACF,ＤE 过点I,且DE ∥BC.B Ｄ=８ｃm,CE=5cm ，则DE 等于 3ｃm .
考点： 等腰三角形的判定与性质;平行线的性质. 分析: 由ＢI 、C Ｉ分别平分∠AB Ｃ、∠AC Ｆ，DE 过点I ，且D Ｅ∥BC ，易得△BDI 与△ECI 是等腰三角形，继而求得答案.
解答: 解：∵ＢI 、ＣI 分别平分∠ABC 、∠ACF ，
∴∠ABI=∠C ＢI ，∠ECI ＝∠ＩCF,
∵DE ∥BC ，
∴∠ＤI Ｂ=∠CBI ，∠ＥIC ＝∠ICF, ∴∠ABI ＝∠DIB,∠EC Ｉ＝∠ＥI Ｃ, ∴DI ＝BD=8ｃm,EI=C Ｅ＝５cm ， ∴ＤE=DI ﹣ＥI ＝3(cm)． 故答案为:3c ｍ.
点评: 此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线与平行线，易得等腰三角形.
１8.(４分）(２0１3?东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2ｍ，底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0．3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点Ａ处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3 m(容器
厚度忽略不计）．
考点: 平面展开-最短路径问题． 专题： 压轴题.
分析： 将容器侧面展开,建立Ａ关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′Ｂ的长度即为所求． 解答: 解：如图： ∵高为1．2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0．3m 的点B 处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0．3m 与蚊子相对的点Ａ处， ∴A ′D=0.5m ，B Ｄ=１.2m, ∴将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A ′, 连接A ′B ，则A ′B 即为最短距离，
Ａ′B=
=
=1.３(m). 故答案为:1.3． 点评: 本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开,利用轴对称的性质和勾股
键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
19.（４分）(2０13?资阳)如图,在R ｔ△ABC 中,∠C=90°,∠B ＝60°,点Ｄ是BC 边上的点，C Ｄ=1，将△ＡBC 沿直线AD 翻折，使点C 落在ＡB 边上的点Ｅ处,若点P 是直线AD 上的动点，则△PE Ｂ的周长的最小值是 1+ ．
考点: 轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换(折叠问题）.
专题: 压轴题． 分析： 连接CE ，交A Ｄ于Ｍ，根据折叠和等腰三角形性质得出当P 和D 重合时，PE ＋ＢP 的值最小，即可此时△B
ＰE 的周长最小,最小值是B Ｅ+P Ｅ+PB=BE+CD+DE=BC ＋BE,先求出BC 和B Ｅ长,代入求出即可．
解答:
解:连接C Ｅ,交A Ｄ于M, ∵沿ＡD 折叠C 和Ｅ重合,
∴∠ACD ＝∠ＡＥＤ=9０°，ＡＣ=AE,∠CAD=∠EA Ｄ， ∴ＡＤ垂直平分ＣＥ，即C 和E 关于A Ｄ对称,CD ＝D Ｅ=１,
∴当P 和D 重合时，PE+BP 的值最小,即此时△BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=B Ｅ+CD+ＤE=B
Ｃ+ＢE ，
∵∠ＤEA=９0°， ∴∠ＤEB=90°， ∵∠B=60°，DE ＝1， ∴BE=,ＢD=,
即ＢC=1＋,
∴△ＰEB 的周长的最小值是ＢC+BE=1++＝１+,
故答案为：1+.
点评: 本题考查了折叠性质,等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的
应用，关键是求出P 点的位置,题目比较好，难度适中.
三、解答题(每小题7分，共14分） 2０.（7分）（20１3?常州）如图,C 是AB 的中点,A Ｄ=BE,CD=CE ． 求证：∠A ＝∠Ｂ．
考点: 全等三角形的判定与性质． 专题: 证明题；压轴题.
分析： 根据中点定义求出A Ｃ=ＢＣ，然后利用“SS Ｓ”证明△ＡC Ｄ和△BCE 全等,再根据
明即可．
解答： 证明:∵Ｃ是AB 的中点,
∴A Ｃ=BC,
在△ACD 和△B ＣE 中，, ∴△ＡＣＤ≌△B ＣE(ＳSS ）, ∴∠Ａ=∠B ． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质,比较简单,主要利用了三边对应相等,两三角形
应角相等的性质．
21．(7分）(2013?兰州）如图，两条公路OA 和O Ｂ相交于O 点，在∠ＡOB 的内
部有工厂C 和D ，现要修建一个货站Ｐ,使货站P 到两条公路O Ａ、O Ｂ的距离相等，且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站Ｐ的位置.（要求:不写作法,保留作
图痕迹,写出结论）
考点: 作图—应用与设计作图．
分析： 根据点P 到∠AO Ｂ两边距离相等,到点Ｃ、D 的距离也相等,点Ｐ既在∠AO Ｂ的角平分线上,又在CD 垂直平
分线上，即∠AO Ｂ的角平分线和C Ｄ垂直平分线的交点处即为点P ．
解答： 解：如图所示：作CD 的垂直平分线,∠AOB 的角平分线的交点Ｐ即为所求．
点评： 此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握,注意保留作图痕迹．
四、解答题(每小题10分,共40分) ２２.（１０分）(２０１3?攀枝花模拟）在四边形AB ＣＤ中，AB ∥C Ｄ，∠Ｄ=90°，∠DCA=30°,ＣA 平分∠DCB,AD ＝4c ｍ, 求AB 的长度？
考点: 勾股定理；等腰三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形. 专题： 压轴题． 分析： 过B 作BE ⊥AC ，由A Ｄ=4ｍ和∠D=90°，∠DCA ＝３０°,可以求出ＡC 的长，根据平行线的性质和角平分线以及等腰三角形的性质即可求出AD 的长. 解答: 解:∵∠D=90°，∠DC Ａ＝30°，ＡＤ=４cm, ∴ＡC=2ＡD=8cm, ∵C Ａ平分∠ＤＣＢ,A Ｂ∥CD, ∴∠CA Ｂ=∠AC Ｂ=3０°, ∴AB ＝BC ， 过B 作ＢE ⊥ＡC ，
∴A Ｅ=AC=４ｃm ，
∴cos ∠EAB==，
∴
cm ．
点评: 本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质,解题的关键是利用锐角三角函数求出AB 的长. 23．（１0分）(2０１３?温州)如图,在△ABC 中，∠C ＝90°,A Ｄ平分∠ＣAB ，交Ｃ
B 于点Ｄ,过点Ｄ作DE ⊥AB 于点E ． (１)求证:△A ＣD ≌△A ＥD ；
(２）若∠Ｂ=３０°,CD=1,求BD 的长.
考点: 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
分析: （1）根据角平分线性质求出CD=ＤE ，根据HL 定理求出另三角形全等即可；
(2)求出∠D ＥB ＝90°,ＤE=1，根据含3０度角的直角三角形性质求出即可. 解答： (1）证明:∵AD 平分∠C ＡB,ＤE ⊥ＡB ，∠C=90°, ∴CD=ＥD,∠DEA=∠Ｃ=9０°, ∵在R ｔ△AC Ｄ和Rt △AED 中
∴Rt △ＡCD ≌R ｔ△AED （H Ｌ); (2）解:∵ＤＣ=D Ｅ＝1，DE ⊥AB, ∴∠ＤEB=90°, ∵∠B=30°, ∴ＢD=2DE=2． 点评: 本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质,含30度角的直角三角形性质的应用，注意:角平分线上的点
到角两边的距离相等． ２4．(１０分）(2０1３?大庆)如图，把一个直角三角形ＡC Ｂ(∠ACB=９0°)绕着顶点B 顺时针旋转６0°,使得点Ｃ旋转到AB 边上的一点D ，点Ａ旋转到点Ｅ的位
置．Ｆ,G 分别是ＢD,ＢＥ上的点,BF=B Ｇ,延长C Ｆ与DG 交于点H. （１)求证:CF=D Ｇ； (2）求出∠FHG 的度数.
考点: 全等三角形的判定与性质． 分析： （1）在△CBF 和△DBG 中，利用S ＡＳ即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得； (2)根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF ＝∠C ＢF=6０°,从而求解． 解答: (1)证明:∵在△ＣBF 和△ＤBG 中， , ∴△CBF ≌△D ＢG(ＳAS), ∴CF ＝ＤG ；
（2）解：∵△ＣBF ≌△DB Ｇ, ∴∠BCF=∠B ＤＧ， 又∵∠C ＦB=∠ＤFH, ∴∠DHF ＝∠CBF=60°, ∴∠FHG=180°﹣∠DHF=18０°﹣60°=120°． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．
25.（10分)已知:如图,△AB Ｃ中，∠ABC ＝45°，ＤH 垂直平分ＢC 交AB 于点D ，
BE 平分∠ＡＢC,且B Ｅ⊥AC 于E,与C Ｄ相交于点F. （1）求证：BF=A Ｃ; （2)求证:.
考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质.
专题： 证明题．
分析: (1）由AS Ａ证△BD Ｆ≌△CD Ａ，进而可得出第（1）问的结论； （２)在△ＡBC 中由垂直平分线可得ＡB ＝ＢＣ，即点E 是A Ｃ的中点，再结合第解答： 证明:(1）∵ＤH 垂直平分ＢＣ,且∠AB Ｃ=45°,
∴BD=DC,且∠BDC=90°,
∵∠A+∠AB Ｆ=90°,∠A+∠ＡＣD=９0°,
∴∠ＡＢF=∠A ＣD,
∴△BDF ≌△CD Ａ，
∴B Ｆ＝AC ．
(２)由(１）得BF＝AC，
∵ＢE平分∠AＢC,且ＢE⊥ＡC，
∴在△ＡBE和△CＢE中,,
∴△ＡBE≌△CBE(ＡSＡ),
∴CE=ＡE=AC=ＢＦ.
点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题,应熟练掌握.
五、解答题（每小题12分.共２４分）
26.（12分）如图，在△ABC中,D是BC是中点,过点Ｄ的直线GF交ＡC于点F，
交AC的平行线BG于点G,DE⊥ＤF交AB于点E，连接EG、EF.
（1）求证:BＧ＝CＦ；
（２）求证:EG=EF;
(３）请你判断BE+CF与EＦ的大小关系,并证明你的结论.
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
分析:(1）求出∠C＝∠GBＤ，ＢD=DＣ,根据ASA证出△CFD≌△ＢＧD即可．（2)根据全等得出GD=ＤＦ,根据线段垂直平分线性质得出即可.
(3）根据全等得出BG=ＣF，根据三角形三边关系定理求出即可．
解答:(1）证明:∵BG∥ＡC，
∴∠C=∠GBD，
∵D是BＣ是中点，
∴BD=DC，在△ＣFD和△ＢＧD中
∴△CFD≌△ＢGＤ，
∴BG＝CF．
（2）证明：∵△CＦD≌△BGD，∴DG＝DF，
∵DE⊥GF，
∴EG＝ＥF．
(3）BE＋ＣF＞EF，
证明:∵△CFD≌△BＧＤ，
∴ＣＦ=BG，
在△BGE中，BG+BE＞ＥG,
∵EF=ＥG,
∴BG+CＦ>EF.
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角主要考查学生的推理能力.
27.(１2分）△ABＣ中，ＡB=ＡC,点D为射线BC上一个动点(不与B、Ｃ重合),以
ＡD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=ＡE,∠DＡE＝∠BAC,过点E作BC的
平行线,交直线AB于点F，连接BＥ.
(１）如图1，若∠BAC=∠DAＥ=６0°，则△BEF是等边三角形；
(２)若∠ＢAＣ=∠ＤAＥ≠60°
①如图2,当点D在线段BＣ上移动，判断△BＥＦ的形状并证明；
②当点Ｄ在线段ＢC的延长线上移动,△BEF是什么三角形?请直接写出结论并画
出相应的图形．
考点: 等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定. 分析: (1)根据题意推出△ＡE Ｄ和△ＡB Ｃ为等边三角形，然后通过求证△ＥAB ≌△DAC ，结合平行线的性质，即可推出△EFB 为等边三角形，(2)①根据（１）的推理依据，即可推出△EF Ｂ为等腰三角形,②根据题意画出图形,然后根据平行线的性质,通过求证△ＥA Ｂ≌△DAC ，推出等量关系，即可推出△EFB 为等腰三角形. 解答： 解:（1)∵AB=AC ，ＡD=ＡＥ，∠ＢAC=∠DAE ＝60°,
∴△AED 和△ABC 为等边三角形, ∴∠C=∠ＡBC=60°,∠EAB=∠DAC, ∴△EAB ≌△DAC ， ∴∠E ＢA=∠C=6０°， ∵EF ∥ＢC ，
∴∠ＥFB ＝∠ＡＢC=60°，
∵在△ＥF Ｂ中，∠EFB=∠ＥBA=60°， ∴△EFB 为等边三角形，
（2）①△BEF 为等腰三角形,
∵AB=A Ｃ，ＡD=AE,∠BAC=∠ＤＡE ， ∴△AED 和△ABC 为等腰三角形， ∴∠Ｃ=∠ABC,∠ＥAB ＝∠D ＡＣ, ∴△EAB ≌△DAC ， ∴∠EBA ＝∠Ｃ， ∵EF ∥BC,
∴∠ＥFB ＝∠A ＢＣ,
∵在△EFB 中，∠E ＦＢ＝∠ＥB Ａ，
∴△EFB 为等腰三角形,
②ＡＢ=AC ，点D 为射线ＢC 上一个动点(不与B 、C 重合),以AD 为一边向ＡD AD=AE,∠DAE ＝∠BAC,过点Ｅ作BC 的平行线,交直线ＡB 于点Ｆ，连接ＢE ． ∵△B ＥF 为等腰三角形，
∵A Ｂ=AC,ＡD ＝A Ｅ,∠BA Ｃ=∠DA Ｅ, ∴△AED 和△ABC 为等腰三角形， ∴∠ACB=∠ABC,∠EAB ＝∠DAC ， ∴△E ＡB ≌△ＤＡC, ∴∠EBA ＝∠ACD ， ∴∠E ＢＦ＝∠ＡCB ， ∵E Ｆ∥BC ，
∴∠ＡF Ｅ=∠AB Ｃ， ∵∠ＡBC=∠AC Ｂ，
∴∠AFE=∠ACB, ∵在△ＥF Ｂ中，∠EB Ｆ＝∠A ＦE ， ∴△EF Ｂ为等腰三角形．
点评: 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形
据题意画出图形,通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论.
?
参与本试卷答题和审题的老师有：ｙangwy;ｚｃx;gｂl２10；dｂz1018；星期八；zjx11１;sｄ2０1１;py1６8;ｋuaile；HLiｎg；ｙｅyue；lhz691８；ｃaiｃl;ｌaｎｔin;MMＣH;Lｉｎaliu;zhjh；ZHAOJJ(排名不分先后)
菁优网
2014年2月１9日
三角形全等培优证明题50题(有答案)
全等三角形证明题专项练习(100题) 1．已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC=_________．2．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB． 3．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE 的道理．
4．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD=BD．试说明下列结论成立的理由． （1）∠DBH=∠DAC； （2）△BDH≌△ADC． 5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，则AB=AC，并说明理由． 6．如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC，D是AE反向延长线的一点，则△ABD与△ACD全等吗？为什么？
7．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AF=BD，AE=BC，且AE∥BC． 求证：△AEF≌△BCD． 8．如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，△ABE与△ACD全等吗？说明你的理由． 9．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．
10．如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC． 11．已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，应增加什么条件？并根据你所增加的条件证明：△ABC≌△FDE． 12．如图，已知AB=AC，BD=CE，请说明△ABE≌△ACD．
《全等三角形》数学培优作业
A B C D E 固始三中八年级上期《全等三角形》数学培优作业 （考查内容：边角边） 命题人：吴全胜1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF。 2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF． 求证：△ABE≌△CDF． 3、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE 4、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知：如图，AD∥BC，CB AD=。求证：CBA ADC? ? ?。 6、已知：如图，AD∥BC，CB AD=，CF AE=。求证：CEB AFD? ? ?。 7、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DB AC=，DF AE=，AD EA⊥，AD FD⊥，垂足分别是A、D。求证：FDC EAB? ? ?
8、已知：如图，AC AB=，AE AD=，2 1∠ = ∠。求证：ACE ABD? ? ?。 9、如图，在ABC ?中，D是AB上一点，DF交AC于点E，FE DE=，CE AE=， AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。 10、已知：如图，DBA CAB∠ = ∠，BD AC=。求证∠C=∠D 11、已知：如图，AC和BD相交于点O，OC OA=，OD OB=。 求证：DC∥AB。 12、已知：如图，AC和BD相交于点O，DC AB=，DB AC=。求证：C B∠ = ∠。 13、已知：如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE． 求证：(1)BD=FC (2)AB∥CF 14、已知: 如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D．求证：BD=CD． 15、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证： BE=AD D C A B E
初中几何经典培优题型(三角形)
全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换 中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思 维模式是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形 全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线 段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6)特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接 起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点
八年级数学全等三角形单元培优测试卷
八年级数学全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________． 【答案】5(0,5),(0,4),0, 4?? ??? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可． 【详解】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=； ∴D （0，5）； ②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4， ∴P （0，4）； ③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ， 由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-， ∴OC ＝54 ， ∴C （0，54 ）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0, 4? ? ???． 【点睛】
本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 2．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长 _________ . 【答案】3 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明 CAI?BAJ，求出° 7830 ∠=∠=，然后求出 1 2 IF FJ AF ==，，通过设FJ x =求出x，即可求出AF的长. 【详解】 解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中 AC AB CAE BAD AE AD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴CAE?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形） ∴° 120 CFD ∠= 在CAI和BAJ中
全等三角形经典培优题型(含答案)
全等三角形的提高拓展训练 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等. 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3) 有公共边的，公共边常是对应边. (4) 有公共角的，公共角常是对应角. (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角. (6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或 最小角)是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS :两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑵角边角定理(ASA:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS :三边对应相等的两个三角形全等. (4) 角角边定理(AAS :两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证 明的过程中，注意有时会添加辅助线. 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系. 而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础. 全等三角形证明经典题 1已知：AB=4, AC=2 D是BC中点，AD是整数，求AD
C F D
3 已知：/ 仁/ 2, CD=DE EF//AB，求证：EF=AC 4 已知：AD平分/ BAC AC=AB+BD 求证：/ B=2/ C A 5 已知：AC平分/ BAD CE±AB, / B+Z D=180°，求证：AE=AD+BE 6如图，四边形ABCD中, AB// DC BE、CE分别平分Z ABC / BCD且点E在AD上。求证: BC=AB+DC
全等三角形证明题培优提高经典例题练习题
全等三角形证明题专练 1、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 2、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 3、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 A E D C B A B C D E F O
4、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 5、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。 （１） 请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。 你添加的条件是：________ ___ （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： ______________（不再添加其他线段，不再标注或使用 其他字母，不必写出证明过程） 6、已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 F E D C A B G H A B C D E F
7、已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A’B’C’。 8、已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F 。求证：OE=OF 。 A B C D E F O 9、已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。 O B A C D E A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4
(完整word版)三角形提高题 培优卷
1 、如图，三角形ABC 内任一点P ，连接PA 、PB 、PC ， 求证：1/2（AB+BC+AC ）
8、如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠ C ＝60°，求∠DAC 及∠BOA ． 9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。 （1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小，并 说明理由。 C B A P 图① （2）将（1）中点P 移至△ABC 内，得图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 图② （3）将（2）中点P 变为两个点P 1、P 2得图③，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 1P 2 图③ （4）将（3）中的点P 1、P 2移至△ABC 外，并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧，且∠P 1BC ＜∠ABC ，∠P 2CB ＜∠ACB ，得图④，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 图④ C B A P 1P 2
全等三角形培优讲义
全等三角形培优讲义 The final edition was revised on December 14th, 2020.
全等三角形常见辅助线作法 【知识导图】 【导学】全等三角形 第一部分：知识点回顾 常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三 角形，可作底边上的高，利用“三线合 一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式 是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换 中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是 将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 第二部分：例题剖析 精准诊查 概念 三边之和大于等于第三边稳定性 与三角形有关的线段 高 中线角平分线 与三角形有关的角 三角形内角和定理三角形的外角 直角三角形 性质判定 多边形及其内角和 三角形
D C B A E D F C B A E D C B A D C B A O E D C B A 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小. 例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝ AC+BD 3、如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=， 040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A 5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 应用： 三、平移变换 例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD
全等三角形专题培优[带答案]
全等三角形专题培优 考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟 卷I（选择题） 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） ? 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. ? 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 ? 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. ? 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. ? 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. ? 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；?②；?③；?④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 ? 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 ? 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. ? 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. ? 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定 卷II（非选择题） 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） ?
北师大八年级下三角形的证明练习题培优训练
北师大八年级下三角形的证明练习题培优训练 Revised by Chen Zhen in 2021
第一章 培优训练 1．在△ABC 中，∠BAC=130°，若PM 、QN 分别垂直平分AB 和AC ，那么∠PAQ= 度． 2．在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 是BC 上一点，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE+DF= ． 3．如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A 与B 重合，∠B=30°，AC=3，则折痕DE 等于 ． 4．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DE 于F ，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠E=105° ∠DAC=10°则∠DFB= ． (3题图) (4题图) 5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度 6、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一 些钢管EF 、FG 、GH …… 添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根。 7．两个三角形如果具有下列条件： ①三边对应相等；②两边和其中一边上的中线对应相等；③两边和第三边上的高对应相等；④三个角对应相等；⑤两边和一个角对应相等；其中一定全等的有 ( )个 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (1题图) (2题图) (5题图) E D (B) B C A
8．在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，∠CMD=35°，则∠MAB 是多少度”大家经过了一翻热烈的讨论交流之后，小雨第一个得出了正确结论，你知道他说的是( ) A ．20° B ．35° C ．55° D ．70° 9．从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为( ) A ．23 B ．32 C ．2 D ．22 10．如图，在等边三角形ABC 的三边上有三点D 、E 、F ，且△DEF 也是等边三角形，其中BD=3，CF=1，则△ABC 的高等于( ) A ．3 B ． 23 C ．10 D ．4 11．在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝ 21（AB ＋AD ），求∠ABC ＋∠ADC 的度数． （11题图） 12. 如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o ， （1）在图1中，AC 与BD 相等吗请说明理由（4分） （2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC 与BD 还相等吗为什么（8分） 13.在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与 ∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF A B C E D A B C D E F A B C D M (10题图)
八年级全等三角形单元培优测试卷
八年级全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误． 【详解】 ∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ， ∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ， 故①正确； 若∠EBC=∠C ，则∠C= 12 ∠ABC ， ∵∠BAC=90°， 那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°， 故②错误； ∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线， ∴∠ABF=∠EBD ， ∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ， 又∵∠BAD=∠C ， ∴∠AFE=∠AEF ， ∴AF=AE ， 故③正确；
全等三角形培优经典题
全等三角形培优经典题
全等三角形培优习题 1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）直接写出线段EG与CG的数量关系； （2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ A D E G 图1 F A D C G 图2 F A E 图3 D
2、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E是边BC的中点．90 AEF ∠=o，且EF交正方 形外角DCG ∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的 中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A D F C G E 图A D F C G E 图 A D F C G E B 图
(学生版)八下第一章《三角形证明》培优提高(三)
（学生版）八下第一章《三角形证明》培优提高 （三） 八下第一章《三角形证明》培优提高（三） 3、（2012?广州）在 Rt △ AB 中, △ C=90°AC=9, BC=12,则点 C 到 AB 的距离是（ B . 12 25 B . 2 ; 7、（ 2012?贵阳）如图，在RtA AB C 中，/ ACB=90°,AB 的垂直平分线 DE 交于BC 的延长线于 F,若/ F=30 °, DE=1，则EF 的长是（ ） 一、选择题: 1、已知△ ABC 中，AB = AC, 则^ ABC 的腰和底边长分别为 AB 的垂直平分线交 AC 于D,A ABC 和^ DBC 的周长分别是 60 cm 和38 cm , （ ） A . 24 cm 和 12 cm B . 16 cm 和 22 cm C. 20 cm 和 16 cm D . 22 cm 和 16 cm 2、（2013?郴州）如图，在 Rt△XCB 中，ZACB=90 °, △\=25 °, D 是 AB 上一点.将 使B 点落在AC 边上的B 处，则△XDB 等于（ ） Rt △KBC 沿CD 折叠, A . 25 C . 35° D . 40 C. 9 4 4、（2011?恩施州）如图， AD 是△KBC 分别为 50和39,则ZEDF 的面积为（ 的角平分线，DF△XB ，垂足为F , ） DE=DG , ZADG 和 △KED 的面积 （2012?广安） 已知等腰^ ABC 中，AD 丄BC 于点D, 且 AD =2BC ， 则^ ABC 底角的度数为（ A . 45 B . 75 C . 45 或 75 D . 60 （2012?毕节地区）如图.在 接CD,若BD=1,则AC 的长是（ RtA ABC 中，/ ） A=30 °, DE 垂直平分斜边 AC ,交AB 于D , E 是垂足，连 D . A . 11 B . 第4题 第6题 C . 7 D . 3.
北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高
三角形的证明单元检测卷 1．(4分)（２0１3?钦州)等腰三角形的一个角是8０°,则它顶角的度数是( ）Ａ．80°B．80°或20°C．80°或5０°Ｄ. 20° 2.（４分）下列命题的逆命题是真命题的是（） A．如果a＞0，ｂ＞0,则a+b>０B．直角都相等 C．两直线平行,同位角相等D．若a=6，则|a|=｜b| ３.△AＢＣ中,∠A:∠B:∠C＝1:２：３,最小边BC=4cm,最长边AB的长是A．5cm B. ６cm Ｃ. 7cm D. 8cｍ 4.(4分）如图，已知AE=CF,∠AFＤ=∠CＥB,那么添加下列 一个条件后,仍无法判定△AＤF≌△ＣBE的是（) Ａ. ∠A=∠ＣB．A D＝CＢC．ＢE=DF D．ＡD∥BC ５．(4分）如图，在△ＡBＣ中,∠B=30°,BC的垂直平分线 交ＡＢ于E,垂足为Ｄ．若EＤ=５，则CE的长为（） A. 1０ B. ８Ｃ．5D．2．5 ６.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，ＢE⊥ ＣD,垂足为Ｄ，交AC于点Ｅ,∠A=∠ABE．若AC= ５,BC＝3,则BD的长为( ） A．２.5 B．1．5 C．2 D. 1 7.(４分)如图，AＢ=AC,BE⊥AC于点Ｅ,ＣF⊥AB于点F,B Ｅ、CF相交于点D，则①△ABE≌△ＡCF； ②△BDF≌△CDE;③点Ｄ在∠BAC的平分线上.以上结 论正确的是() A. ① B. ②C．①② D. ①②③8．（４分)如图所示,AＢ⊥BC，ＤＣ⊥ＢC,E是BC上一点， ∠BAE=∠ＤEＣ=６０°，AB=3，ＣＥ＝4,则AD等于（）A．10 B. 12 C. 24 Ｄ．48 9．如图所示，在△AＢC中,ＡB=AＣ,D、Ｅ是△ＡBC内两点,ＡD平分 ∠BAC．∠EBC=∠E＝60°，若BE=６,DE＝2,则ＢＣ的长度是（) A．６Ｂ. 8 C．9 D．１0 10.(４分)(2013?遂宁)如图，在△ABＣ中，∠C=９０°，∠B=3 ０°，以A为圆心,任意长为半径画弧分别交ＡB、ＡC于点M 和N，再分别以M 、Ｎ为圆心，大于MN的长为半径画弧， 两弧交于点P,连结AＰ并延长交BC于点Ｄ,则下列说法中正确 的个数是（) ①AD是∠BＡC的平分线;②∠ADC=6０°；③点D在AＢ的 中垂线上；④S△DAＣ:S△ABC＝1:3. A. 1 Ｂ．2C．3 D. 4 1２.（4分）如图,在平面直角坐标系xOy中,Ａ(0，２),B（0， ６）,动点Ｃ在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角 形是等腰三角形，则点Ｃ的个数是(） Ａ. 2 B．３ C. 4 D. 5 1３.(4分)如图，在等腰Rｔ△ABＣ中，∠Ｃ=90°，ＡC=8,F是AB边上的中点,点Ｄ，E分别在ＡC,BC边上运动,且保持AD=CE．连接ＤE,DF，EF.在此运动变化的过程中,下列结论: ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFＥ不可能为正方形, ③DE长度的最小值为4; ④四边形CDFE的面积保持不变; ⑤△ＣＤE面积的最大值为８． 其中正确的结论是（)
人教版八年级上册数学 全等三角形单元培优测试卷
人教版八年级上册数学全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长 _________ . 【答案】3 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明 CAI?BAJ，求出° 7830 ∠=∠=，然后求出 1 2 IF FJ AF ==，，通过设FJ x =求出x，即可求出AF的长. 【详解】 解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中 AC AB CAE BAD AE AD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴CAE?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形） ∴° 120 CFD ∠= 在CAI和BAJ中
°90 ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=? ∴CAI ?BAJ ,AI AJ CI BJ == ∴°60CFA AFJ ∠=∠= ∴°30FAI FAE ∠=∠= 在RtAIF 和RtAJF 中 °30FAI FAE ∠=∠= ∴12 IF FJ AF == 设FJ x = 7,4CF BF == 则47x x +=- 3 2x ∴= 2AF FJ = AF ∴= 3 【点睛】 此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点. 2．如图，在ABC ?中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧， ,82,38BD BC BAC DBC =∠=?∠=?，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．
全等三角形培优(含答案)
三角形培优练习题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C A D B C A B C D E F 2 1 B A C D F 2 1 E
5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°， 求证：AE=AD+BE 6 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 7已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 10．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求 证：AD +BC =AB ． 11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 12如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 P D A C B F A E D C B P E D C B A D C B A 求证：AM 是△ABC 的中线。 13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。 求证：BE =CD ． 14在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立， 请给出证明；若不成立，说明理由. 15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF M F E C B A A C B D E F 八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm． - 【答案】10310 【解析】 解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP -； 最小，最小值为10310 ③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； -（cm）． 综上所述，PA的最小值为10310 -． 故答案为：10310 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD， 全等三角形 全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形 ABCDE ≌五边形 A'B'C'D' E' ． 全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示： 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形． 点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为 “≌ ”． 全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等， 对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3) 有公共边的，公共边常是对应边． (4) 有公共角的，公共角常是对应角． (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理 ( AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理 ( HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 判定三角形全等的基本思路： 找夹角 SAS 已知两边 找直角 HL 找另一边 SSS 能够相互重合的顶 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于． E D 全等三角形培优习题 1、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系； （2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o ，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ 2 1 E 是边BC 的 EF DCG ，求证：AE =EF ． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除 B ， C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖 的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． F B D 图1 B D 图2 B 图3 D 1．下列命题中正确的是（） A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等 C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等 2.下列说法正确的是（） A.周长相等的两个三角形全等 B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形 AB=BE，BC=DB。 CE=DE 求证：EDC EBC∠ = ∠。 7.已知如图，E.F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相平分. 8.如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．猜想线段AC与EF的关系，并证明你的结论. 9如图ABD ?和ACE ?均为等边三角形，求证： A D F C G E B 图1 A D F C G E B 图2 A D F C G E B 图3 A B E O F D C 八年级上册全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长 _________ . 【答案】3 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明 CAI?BAJ，求出° 7830 ∠=∠=，然后求出 1 2 IF FJ AF ==，，通过设FJ x =求出x，即可求出AF的长. 【详解】 解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中 AC AB CAE BAD AE AD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴CAE?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形） ∴° 120 CFD ∠= 在CAI和BAJ中 °90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=? ∴CAI ?BAJ ,AI AJ CI BJ == ∴°60CFA AFJ ∠=∠= ∴°30FAI FAE ∠=∠= 在RtAIF 和RtAJF 中 °30FAI FAE ∠=∠= ∴1 2 IF FJ AF == 设FJ x = 7,4CF BF == 则47x x +=- 32x ∴= 2AF FJ = AF ∴= 3 【点睛】 此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点. 2．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=?， 92AEB ∠=?，则EBD ∠的度数为 ________ ．八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)
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