有关功率谱分析的相关总结

有关功率谱分析的相关总结
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概
念功率谱的概念是针对功率有限信号的（能量有限信号可用能量谱分析，能量有限的信号通常为能量信号，他们的傅里叶变换是收敛的），所表现的是单位频带内信号功率随频率的
变换情况。

保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。

有两个重要区别：1。

功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的
功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier 变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。

（随机过程有频谱吗？）（随机的频域序列）2。

功率概念和幅度概念的差别。

此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶矩是否存在并且二阶矩的Fourier 变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier 变换是否收敛。

频谱和功率谱的区别在于：
（1）信号通常分为两类：能量信号和功率信号；
（2）一般来讲，能量信号其傅氏变换收敛（即存在），而功率信号傅氏变换通常不收敛，
当然，若信号存在周期性，可引入特殊数学函数（Delta）表征傅氏变换的这种非收敛性；
（3）信号是信息的搭载工具，而信息与随机性紧密相关，所以实际信号多为随机信号，这
类信号的特点是状态随机性随时间无限延伸，能量无限。

换句话说，随机信号大多属于功
率信号而非能量信号，它并不存在傅氏变换，亦即不存在频谱；
（4）若撇开搭载信息的有用与否，随机信号又称随机过程，很多噪声属于特殊的随机过程，
它们的某些统计特性具有平稳性，其均值和自相关函数具有平稳性。

对于这样的随机过程，自相关函数蜕化为一维确定函数，前人证明该确定相关函数存在傅氏变换；
（5）能量信号频谱通常既含有幅度也含有相位信息；幅度谱的平方（二次量纲）又叫能量谱，它描述了信号能量的频域分布；功率信号的功率谱描述了信号功率随频率的分布特点，也已证明，信号功率谱恰好是其自相关函数的傅氏变换；
（6）实际中我们获得的往往仅仅是信号的一段支撑，此时即使信号为功率信号，截断之后其傅氏变换收敛，但此变换结果严格来讲不属于任何“谱”；
（7）对于（6）中所述变换若取其幅度平方，可作为信号功率谱的近似，是为经典的“ 周期图法”；
（8）FFT是DFT的快速实现，DFT是DTFT的频域采样，DTFT是FT的频域延拓。

人们不得已才利用DFT近似完成本属于FT的任务。

若仅提FFT，是非常不专业的。

功率谱是个什么概念？它有单位吗? 随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。

一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。

功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。

功率谱具有单位频率的平均功率量纲。

所以标准叫法是功率谱密度。

通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。

像白噪声就是平行于w 轴，在w 轴上方的一条直线。

功率谱密度，从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域，通常指频域，密度，就是指观察对象在观察域上的分布情况。

一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。

可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。

一是用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度；二是用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度；三是
用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。

（对于平稳随机过程）三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周期分量并且均值为零，这样才能保证相关函数在时差趋向于无穷时衰减，光靠相关函数解决不了许多问题，要求太严格了；对于第二种方式，虽然一个平稳随机过程在无限时间上不能进行傅立叶变换，但是对于有限区间，傅立叶变换总是存在的，可以先架构有限时间区间上的变换，在对时间区间取极限，这个定义方式就是当前快速傅立叶变换（FFT）估计谱密度的依据；第三种方式是根据维纳的广义谐和分析理论：Generalized harmonic analysis, Acta Math, 55（1930）, 117-258,利用傅立叶-斯蒂吉斯积分，对均方连续的零均值平稳随机过程进行重构，在依靠正交性来建立的。

另外，对于非平稳随机过程，也有三种谱密度建立方法。

功率谱密度的单位是G 的平方/频率。

就是就是函数幅值的均方根值与频率之比。

是对随机振动进行分析的重要参数。

功率谱密度的国际单位是什么?
如果是加速度功率谱密度，加速度的单位是m/sT,
那么，加速度功率谱密度的单位就是（m/s^2）A2/H z,
而Hz的单位是1/s,经过换算得到加速度功率谱密度的单位是口幔怡铝.
同理，如果是位移功率谱密度，它的单位就是m^2*s,
如果是弯矩功率谱密度，单位就是（N*m）A2*s
位移功率谱——mA2*s 速度功率谱——mA2/s 加速度功率谱——mA2/sA3
在北理版信号与系统中，信号可以分成能量信号与功率信号，非周期能量信号具有能量谱密度，是傅立叶变换的平方，功率信号具有功率谱密度，其与自相关函数是一对傅立叶变换对，等于傅立叶变换的平方/区间长度。

不能混淆。

能量信号是没有功率谱的。

胡广书老师的书上找到这么一段话，“ 随机信号在时间上是无限的，在样本上也是无穷多，因此随机信号的能量是无限的，它应是功率信号。

功率信号不满足付里叶变换的绝对可积的条件，因此其付里叶变换是不存在的。

如确定性的正弦函数的付里叶变换是不存在，只有引入了冲激函数才求得其付里叶变换。

因此，对随机信号的频谱分析，不再简单的是频谱，而是功率谱。

”
周期信号是功率信号，但是周期信号可能是确定性信号，也可能是随机信号，但是周期信号是存在功率谱密度的。

对于持续时间无限长的随机信号来说，也是存在功率谱密度的。

一般来讲，对于随机信号，由于持续期时间无限长，不满足绝对可积与能量可积的条件，因此不存在傅立叶变换，所以我们只能研究其功率谱，因为样本函数的功率毕竟是有限哦。

对于确定性信号而言，里面存在能量信号，是没有功率谱密度的，也存在功率信号，是有
功率谱密度的。

所以信号的频谱与是否是确定性信号没有必然联系。

以下论点来源于研学论坛，我认为都存在一点问题，主要是表述上不是很准确！
频谱是信号的傅立叶变换。

它描述了信号在各个频率上的分布大小。

频谱的平方（当能量有限，平均功率为0 时称为能量谱）描述了信号能量在各个频率上的分布大小。

功率谱是针对随机信号而言，是随机信号的自相关函数的离散傅立叶变换（注意自相关函数是确定性序列，离散信号本身是不存在离散傅立叶变换的）。

它描述了随机信号的功率在各个频率上的分布大小，而不是
能量分布大小。

计算过程中，都是通过样本数据的快速傅立叶变换来计算。

但不同的是，信号的频谱是复数，包含幅频响应和相频响应，重复计算时的结果基本相同。

而随机信号的功率谱也可以对数据进行FFT,但必须计算模值的平方，因为功率谱是实数。

而且换一组样本后，计算的结果略有不同，因为随机信号的样本取值不同。

要得到真实的功率谱必须进行多次平均，次数越多越好。

功率谱可以从两方面来定义，一个是楼主说的自相关函数的傅立叶变换，另一个是时域信号傅氏变换模平方然后除以时间长度。

第一种定义就是常说的维纳辛钦定理，而第二种其实从能量谱密度来的。

根据parseval 定理，信号傅氏变换模平方被定义为能量谱，即单位频率范围内包含的信号能量。

自然，能量跟功率有一个时间平均的关系，所以，能量谱密度在时间上平均就得到了功率谱。

（这种说法不准确）
直接法又称周期图法，它是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接
计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)
真实功率谱的估计。

Matlab 代码：
clear;
Fs=1000; %采样频率
n=0:1/Fs:1;
%产生含有噪声的序列
xn=cos(2*pi*40* n)+3*cos(2*pi*100* n)+ra ndn (size( n));
win dow=boxcar(le ngth(x n)); % 矩形窗
nfft=1024;
[Pxx,f]=periodogram(x n,win dow ,n fft,Fs); % 直接法
plot(f,10*log10(Pxx));
改进的直接法：
对于直接法的功率谱估计，当数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，若N太小，谱的分辨率又不好，因此需要改进。

1. Bartlett 法
Bartlett平均周期图的方法是将N点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均。

Matlab 代码：
clear;
Fs=1000;
xn=cos(2*pi*40* n)+3*cos(2*pi*100* n)+ra ndn (size( n)); nfft=1024;
window=boxcar(length(n)); %矩形窗
noverlap=0; %数据无重叠
p=0.9; %置信概率
[Pxx,Pxxc]=psd(x n,n fft,Fs,w indow,no verlap,p);
in dex=0:rou nd( nfft/2-1);
k=in dex*Fs/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(i ndex+1)); plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(i ndex+1));
figure(1)
plot(k,plot_Pxx);
pause;
figure(2)
plot(k,[plot_Pxx plot_Pxx-plot_Pxxc plot_Pxx+plot_Pxxc]);
2. Welch 法
Welch法对Bartlett法进行了两方面的修正，一是选择适当的窗函数w(n),并再周期图计算
前直接加进去，加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负。

二是在分段时，可使各段之间有重叠，这样会使方差减小。

Matlab 代码：
clear;
Fs=1000;
n=0:1/Fs:1;
xn=cos(2*pi*40* n)+3*cos(2*pi*100* n)+ra ndn (size( n)); nfft=1024;
window=boxcar(100); %矩形窗
window仁hamming(1OO); %汉明窗
window2=blackman(100); %blackman 窗noverlap=20; %数据无重叠
range='half; %频率间隔为[0 Fs/2]，只计算一半的频率[Pxx,f]=pwelch(x n, wi ndow, no verlap, nfft,Fs,ra nge); [Pxx1,f]=pwelch(x n,wi ndow1, no verlap, nfft,Fs,ra nge); [Pxx2,f]=pwelch(x n,win dow2, no verlap ,n fft,Fs,ra nge); plot_Pxx=10*log10(Pxx);
plot_Pxx 仁10*log10(Pxx1); plot_Pxx2=10*log10(Pxx2);
figure(1)
plot(f,plot_Pxx);
pause;
figure(2)
plot(f,plot_Pxx1);
pause;
figure(3)
plot(f,plot_Pxx2);
n。