§9-5 刚架的整体刚度矩阵

1（1,2,3）
（4,5,6） 2
①
②
4
（0,0,0）
（4,5,7）
3
x
③
5
（0,0,0）
解：1）编号、建立坐标
2）整体坐标下的单元刚度矩阵
（坐标变换过程略写）
1
2
3
4
5
y
6
k
300 1 0 ① 0 4× 10 -300 0 2 0
0 0 -300 0 0 12 30 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ -12 30 30 100 0 -30 50 0 0 300 0 0 -12 -30 0 12 -30 30 50 0 -30 100
4 5 7 0 0
单元③
k 104
③
×
12 0 -30 -12 0 -30 0 300 0 0 -300 0 -30 0 100 30 0 50 -12 0 30 12 0 30 0 -300 0 0 300 0 -30 0 50 30 0 100
3) 拼装整体刚度矩阵
1 1 300+12 2 0 3 0-30 K 4 -300 10 4×5 0 6 0 7 0
§9-5 刚架的整体刚度矩阵
1.刚架的整体刚度矩阵形成步骤
(整体分析)
（与连续梁的基本相同，但要复杂。）
（1）单元、结点、结点位移编号，建立坐标；
（2）写出局部坐标下的单元刚度矩阵 k （6×6）； （3）写出各单元的定位向量（6×1）；
（4）把局部坐标系的单元刚度矩阵 k 转换成整体坐标系 k ； [k ]e [T ]T [k ]e[T ]
（1）整体刚度系数（kij）的意义 —— 当第j 个方向的结点位移分量Δj =1（其它结点位移 分量均锁固为零）时,所产生的第i 个方向结点力Fi ； （2）整体刚度是对称矩阵； （反力互等定理）
（3）整体刚度矩阵是满秩非奇异矩阵；
（先处理法，已考虑约束条件）
（4）整体刚度矩阵的元素呈带状、稀疏分布。
（0,0,0）
1（1,2,3）
3 ①
x
（0,0,4）
②
k
①
0 0 300 0 0 300 0 12 30 0 12 30 0 30 100 0 30 50 300 0 0 300 0 0 0 12 30 0 12 30 30 50 0 30 100 0
1 2 3 0 0 0
k
①
（单刚）
k
②
1 2 3 0 0 4 0 0 300 0 0 300 0 12 30 0 12 30 0 30 100 0 30 50 104 × 300 0 0 300 0 0 0 12 30 0 12 30 0 30 50 0 30 100
（非零元素都分布在以主对角线为中心的倾斜带状区城内， 远离对角线的区域为零元素） （此特点在大型狭长结构的整体刚度矩阵中显著，见下面例）
下面内容: 结构整体结点荷载
k
②
3）写出各单元的定位向量
1（1,2,3） ①
3 x
（0,0,4）
1 2 3 0 0 4
①
T
1 2 3 0 0 0
②
T
② 2 y
（0,0,0）
4）整体坐标下的单刚 单元① （整体与局部坐标一致）
k
①
0 0 300 0 0 300 12 30 0 12 30 1 0 0 30 100 0 30 50 104 × 300 0 0 300 0 0 12 30 3 0 12 30 0 30 50 0 30 100 0
1 2 3 0 0 4
1 2 3 0 0 0 0 30 12 0 30 1 12 0 300 0 0 300 0 2 30 0 100 30 0 50 3 104 × 0 30 12 0 30 0 12 0 300 0 0 300 0 0 0 50 30 0 100 0 30
1
2
3
0
0
4
1 2 3 0 0 4
k
①
1
3
单元②
900
k
②
T
T
k T
②
0 1 0 T
1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0
0 0 1
1 2 3 0 0 0 0 30 12 0 30 12 300 0 0 300 0 1 0 ② 30 0 100 30 0 50 4× k 10 0 30 12 0 30 12 2 0 300 0 0 300 0 0 50 30 0 100 30 2 1
1 2
1 2 3 4 5 6
单元①
1
单元②
2
3
0
0
0
1 2 3 0 0 0 0 4 5 7 0 0 0
k
②
12 0 -30 -12 0 -30 0 300 0 0 -300 0 -30 0 100 30 0 50 4× 10 -12 0 30 12 0 30 0 -300 0 0 300 0 -30 0 50 30 0 100
e
e
e
（5）把单元定位向量标在整体坐标系的单元刚度矩阵边上， 并划去已知支座位移等于零的行和列；
（6）按照定位向量号，“对号入座”集合成整体刚度矩阵。
2.刚架例题 [例1] 求图示结构各单元的整体 刚度矩阵，杆长5m，A=0.5m2, I=1/24m4, E=3×104Mpa。 解：1）编号、建立坐标如图所示。 2）写出各单元局部坐标下的 刚度矩阵 2 y
2 0 12+300 30 0 -12 30 0
3 4 5 0-30 -300 0 30 0 -12 100+100 0 -30 0 300+12 0 -30 0 12+300 50 0 -30 0 -30 0
6 7 0 0 30 0 50 0 0 -30 -30 0 100 0 0 100
3.整体刚度矩阵的特点
5) 拼装整体刚度矩阵
1
2
3
4
1 2 3 4
K
300+12 0 0 -30 0 0 12 +300 30 30 10 4× 0 -30 30 100 +100 50 0 30 50 100
[例2]求有中间铰刚架的整体刚度矩阵。 杆长5m, A=0.5m2, I=1/24m4, E=3×104Mpa。
第9章 矩阵位移法
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5 §9-6 §9-7 ▲ §9-8 §9-9 概述 单元刚度矩阵（局部坐标系） 单元刚度矩阵（整体坐标系） 连续梁的整体刚度矩阵 刚架的整体刚度矩阵 结构整体结点荷载 计算步骤和算例 竖向杆件坐标变换的简化技巧 忽略轴向变形时刚架的整体分析 桁架及组合结构的整体分析