恒成立、恒有解问题综述

(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
e 2 (x>0)． x
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已知函数f(x)=4x+m· 2x+1有且仅有一个零点，求 m的取值范 围，并求出该零点.
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已知a是实数, 函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f(x)在 区间[-1, 1]上有零点,求a的取值范围.
解:当a=0时，f(x)=2x-3.
令2x-3=0, 得 x 3 [1,1].
2
∴ f(x)在[-1, 1]上无零点, 故a≠0.
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1 . (2) 当a>0时，f(x)=2ax2+2x-3-a的对称轴为 x 2 a 1 1 ①当 2 ≤ 1, 即 0< a ≤ 时， a 2 f (1) ≤ 0, a ≤ 5, 必须 ,即 f (1) ≥ 0 a ≥ 1.
• 不等式恒成立求最值 • 不等式存在与恒成立所求最值相反 • 方程有解求值域 • 方程有几个解用图像
• 变量相同要移项，变量不同不能移
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1 2 当0 t 时，不等式 3t ct 1 0恒成立, 2
求c的取值范围.
y
1 0 2
t -1
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已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋
∴ a 的解集为 ø.
1 0 , 即 a 1 时， ②当 1 2 2 a
1 1 f ( 2a ) ≤ 0 2a 3 a ≤ 0 即 . f (1) ≥ 0 a ≥ 1
解得a≥1, ∴a的取值范围是[1, +∞).
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(3)当a<0时,
1 1 ①当0< 2a ≤1,即a≤ 时， 2 a≤5 f ( 1) ≤ 0 , 必须有 , 即 1 1 3a≥0 f ( ) ≥ 0 2a 2a 解得 : a ≤ 3 7 或 3 7 ≤ a ≤ 5. 又 a ≤ 1 , 2 2 2 3 7 ]. ( ， 所以a 的取值范围是 2 1 1 ②当 2a >1,即 2 < a <0时， f (1) ≤ 0, a ≤ 5, 必有 , 即 所以 a 的解集为∅. f (1) ≥ 0 a ≥ 1.
] (4)任意 x [0,2] 总存在 x [0,2 使得 成立，求 c 的取值范围
0
1
f (x ) g(x )
0 1
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不等式恒成立问题
k f ( x) k f ( x)
k f ( x) k f ( x)
不等式存在问题
max
min
k f ( x) k f ( x)
已知 f ( x) 4 x c , g ( x) x 2 x 3 (1) 任意 x [0,2] ，恒有 f ( x) g ( x 成立，求实数 ) 的取值范围。 c (2)存在 x [0,2，使得 f ( x) g ( x成立，求实数 ) ] 的取值范围。 c
f ( x0 ) g ( x ) ] (3)任意 x0 , x1 [0,2恒有 成立，求 的取 c 1 值范围
f (x ) g(x ) f (x )
1 2 1
max
g(x )
2
min
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已知 f ( x )
(5)存在 x [0,2] 使 f ( x) g ( x,)求实数
1 2 , x c g ( x) x x 3 4
c 的取值范围 ;
f (x ) g( ,x )
k f ( x) k f ( x)
min
max
f ( x) g ( x)须转化为一个函数
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) 若，形如 f ( x ) g ( x 呢？
1 2
任意 x1 A, x2 B ，恒有
1 2
f (x ) g(x ) f (x ) g(x )
1 min 2
max
存在 x1 A, x2 B ，使得
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a 2 已知函数f ( x) x 2x 1, g ( x) x (a R) 4 3
2
若任意的 x0 [0,2] ,在 [0,2 上总存在两个不同的 ] 围.
) a ,使得 f ( xi ) g ( x成立，求实数 的范 x (i 1,2) 0
i
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小结：首先考虑用参变分离
1 i
(6)任意 x1 [0,2],总存在 xi [0,2 ,使得 ] 求实数 c 的取值范围;
(7)任意 x [0,2],总存在两个 xi [2,4] ,使得
1
f (x ) g(x , )求实数 c 的取值范围.
1 i
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等式 k f ( x) 有解（求值域）
f ( x) g ( x)存在多解（用图像）
3 7 ] [1, ). ( , 综上所述, a的取值范围是 2
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解法二
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