导数公式及导数的运算法则

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x ) g ( x ) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x)g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
一、复习
1. 导数的几何意义 导数的物理物理意义 2.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f ( x x) f ( x);
说明:上面的方 (2)求函数的增量与自变量的增量的比值 :
y f ( x x) f ( x) ; x x
法中把x换x0 即为求函数在 点x0处的 导数.
y 1 1 所以 y' lim lim 2 2. x 0 x x 0 x x x x
探究
1 画出函数 y x 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并
求出曲线在点(1,1)处的切线方程.y
2
1
-2
-1 -1 -2
1
2
x
5.函数 y = f (x) = x 的导数
-2 -1 -1 -2 2 1
y=4x y=3x y=2x y=x
1
2
x
函数 y= f (x)= kx 的导数
y f x x f x 因为 x x k x x kx x
kx kx kx k， x y 所以 y ' lim lim k k . x 0 x x 0
2
练习:求下列函数的导数:
1 2 答案: (1) y 1 4 ; (1) y 2 ; x2 x3 x x 2 1 x x (2) y ; 2 2 (2) y ; (1 x ) 2 1 x 1 ( 3) y ; (3) y tan x; 2
cos x
1 2 y ( x 2) 2 2ln 2
例4.已知y cos x，求曲线在点 5 x 处的切线方程. 6 3 1 5π
y (x ) 2 2 6
例5：求下列函数的导数 1 ' 5 y 4 x (1). y 4 ; x 1 3 ' (2). y x x. y x2
y=x
O
x
y=1表示函数y=x图象上每 一点处的切线斜率都为1. 从物理的角度理解： 若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某 物体做瞬时速度为1的匀速运动.
探究
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图 象,并根据导数定义,求它们的导数. y (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最 快?哪一个增加得最慢? (3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快 慢与什么有关?
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公 式及导数的运算法则
二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1. 函数y=f(x)=c (c为常数)
2. y f ( x) x
3. y f ( x) x 2
x x x
，
小结
1.若 f (x)=c（c为常数）, 则f (x)=0 ；
2.若 f (x)=x, 则f (x)=1 ；
3.若 f (x)=x2 ,则f (x)=2x ；
1 1 4.若f x , 则f ' x 2 ； x x 1 5.若f x x , 则f ' x . 2 x
1 7.若f(x)=logax，则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx，则f(x)= x
'
练习：1 求下列幂函数的导数
（1）y x 1 ( 2) y 2 x 3 (3) y x
3
5
( 4) y x
5
2:
(1)已知y x x
2
, 求f (1).
3
(2)已知y 2 x , 求f (2).
100 x
1.已知曲线C：f(x)=x3
求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程
1 2.求过点（2,0）与曲线 y 相切的切线 x 方程
3.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线 y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线 y=x2的切线方程。
看几个例子:
例3.已知y log 2 x，求曲线在点 x 2处的切线方程.
O
x
从几何的角度理解：
y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x 表明: 当x<0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢; 当x>0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.
从物理的角度理解：
x x

1
(是常数)
推广:
y f ( x) x ( Q )


y x
/
1
这个公式称为幂函数的导数公式. 事实上 可以是任意实数.
基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c，则f(x)=0 ' n-1 2.若f(x)=x n，则f(x)=nx (n R) ' 3.若f(x)=sinx，则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx ' x 5.若f(x)=ax，则f(x)=a ln a ' x 6.若f(x)=ex，则f(x)=e
y y=c
O
x
从几何的角度理解： y=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0. 从物理的角度理解： 若y=c表示路程关于时间的函数,则y=0则为某物体的 瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.
2.函数 y= f (x)=x 的导数
y f x x f x x x x 因为 1， y x x x y 所以 y ' lim lim 1 1. x 0 x x 0 从几何的角度理解：
若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可 以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速 度为2x.
4.函数 y = f (x) =
1 x
的导数
1 1 y f x x f x x x x 因为 x x x
x x x 1 2 ， xx x x x x x
推论:
cf ( x)
/
cf ( x)
/
例. 求函数y=x3-2x2+3的导数.
例6.日常生活中的饮用水通常是经过净化的, 随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用 (元): c( x) 5284 (80 x 100)
求净化到下列纯净度时所需净化费用的瞬时 变化率:(1)90%,(2)98%.
y f x x f x 因为 x x


x x x x x x x x x x
1

x x x x


y 1 1 所以 y' lim lim . x 0 x x 0 x x x 2 x
四、小结:
知识点: 基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 能力要求：
（1）熟记这些公式、法则；
（2）会求简单函数的导数； （3）会求曲线在某点处的切线方程。
课后思考:
如何求函数
y 2x sin(2x 5) 的导数?
Hale Waihona Puke Baidu
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
3.函数 y = f (x) = x2 的导数
y f x x f x x x x 因为 x x x
2 2
y y=x2
x 2 x x x x x
2 2
2
2 x x
所以 y y ' lim lim 2 x x 2 x. x 0 x x 0
4. y f ( x) x 3
1 5. y f ( x ) x
6. y f ( x) x
1.函数 y = f (x) =c 的导数
y f x x f x c c 因 0， x x x 所以 y y ' lim lim 0 0. x 0 x x 0