圆与圆的位置关系和圆系方程

例2、求圆心为 ( 2 , 1 ) 且与已知圆 x 2 + y 2 － 3x = 0 的公共弦所在直线经过点 ( 5 , －2 ) 的 圆方程。
解：设所求圆为 x 2 + y 2 －4x －2y + F = 0 则公共弦方程： x + 2y －F = 0 过 ( 5 , －2 )
∴ F=1 故 所求圆方程为 x 2 + y 2 －4x －2y + 1 = 0
x2 y2 2x8y80 ① x2 y2 4x4y20 ②
联立方程组
①-②得
x2y10 ③
消去二次项
把上式代入①
x22x30 ④
( 2 )24 1( 3 )1 6
消元得一元 二次方程
所以方程④有两个不相等的实根用x1，Δ判x2 断两 把x1，x2代入方程③得到y1，y2 圆的位置关 所以圆C1与圆C2有两个不同的交点 系
(3)C1:x2y22x8y80 C2:x2y24x4y20
几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
反思
代数方法
圆心距d （两点间距离公式）
比较d和r1，r2的 大小，下结论
？
判断C1和C2的位置关系
C1:x2y22x8y80 C2:x2y24x4y20
判断C1和C2的位置关系
• 解：联立两个方程组得
2. 过 圆 C ： x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 直 线 l:Ax+By+C=0 的 交 点 的 圆 的 方 程 ： x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0
例1、求过两圆 x 2 + y 2 －4x + 2y = 0 和 x 2 + y 2 －2y －4 = 0 的交点，且圆心在直线 2x + 4y = 1 上的圆方程。
• 1.求半径为 3 2 ，且与圆 x2y210x10y0 • 切于原点的圆的方程。
y
A Ox CB
圆系方程 1. 过 圆 C1 ： x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与 圆 C2 ：
x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的 交 点 的 圆 的 方 程 ： (λ≠-1) x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 当(λ=-1)时， 表示两圆的公共弦所在的直线方程
几何方法
外离 d>R+r
两圆心坐标及半径 （配方法）
圆心距d （两点间距离公式）
外切 d=R+r
内切 d=R-r 内含 0≤d<R-r 相交 R-r<d<R+r
比较d和r1，r2的 大小，下结论
结合图形记忆
限时训练（5分钟）
• 判断C1和C2的位置关系
( 1 ) C 1 : ( x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 4 9 C 2 : ( x 4 ) 2 ( y 2 ) 2 9
解：C1(2,2) r1 7
C2 (4, 2) r2 3
d (24)2222 6 r1r2dr1r2 相 交
( 2 ) C 1 :x 2 y 2 9C 2 :( x 2 ) 2 y 2 1
解：C1(0,0) r1 3
C2(2,0) r2 1
d 22 02 2 d r1 r2 内 切
圆和圆的五种位置关系
Rr
O1
O2
外离
|O1O2|>|R+r|
Rr
O1
O2
外切
Hale Waihona Puke Baidu|O1O2|=|R+r|
Rr O1 O2
相交
|R-r|<|O1O2|<|R+r|
R
O1
O
r
2
内切
|O1O2|=|R-r|
R
O1
O
r
2
内含
0≤|O1O2|<|R-r|
R
O1
O
r
2
同心圆 (一种特殊的内含)
|O1O2|=0
判断两圆位置关系
A(x1,y1),B(x2,y2)
小结：判断两圆位置关系
几何方法
代数方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
圆心距d （两点间距离公式）
比较d和r1，r2的 大小，下结论
(x(xaa21))22((yybb21))22rr2122 消去y（或x）
px2qxr0
0:相交
0
:内切
或外切
0
:
相离或内含
问题探究
解：设所求圆方程为
x 2 + y 2 + 2x －4y + ( 2x + y + 4 ) = 0
r 1 (2 2)2 ( 4)2 4(4 1)
2
1
1
52 16 16
5(
8 )2
16
2
2
55
当 8时, S 4
5
min
5
故 所求圆为 5x 2 + 5y 2 + 26x －12y + 37 = 0
解：设所求圆方程为 x 2 + y 2 －4x + 2y + ( x 2 + y 2 －2y －4 ) = 0
由圆心( 2 , 1)代入2x 4 y 1 1 1 1
3
∴ x 2 + y 2 －3x + y －1 = 0
例3、过直线 2x + y + 4 = 0 和圆 x 2 + y 2 + 2x －4y + 1 = 0 的交点，面积最小的圆方程