2.1.1椭圆及其标准方程(第一课时)

练习6：写出适合下列条件的椭圆的标 准方程： 2 x y2 1 （1）a=4,b=1, 焦点在x轴上 16 （2）a=4,c= 15 , 焦点在y轴上 （3）a+b=10, c= 2 5
y 2 x 1 16
2
x2 y2 y2 x2 1或 1 36 16 36 16
作 业
2 2
4 则（1） a=____,b=_____,c=______; 3 7 y （2）焦点在____轴上，其焦点坐标 为__________,焦距为_________。 2 7 (0, 7)
练习3：
x y 1 上一点P到两 （1）椭圆 13 12
2
2
个焦点的距离和为
2 2
2 13
x y 1 上一点P到一 （2）椭圆 25 9
课本：
P49 A组2 预习椭圆第二课时内容
共同点
2
2
Biblioteka Baidu
2
2
c a b
2 2
2
基础练习：
x y 练习1：已知椭圆的方程为 25 16 1
2 2
5 4 则（1） a=____,b=_____,c=______; 3 x （2）焦点在____轴上，其焦点坐标 ( 3, 0) 6 为__________,焦距为_________。
x y 练习2：已知椭圆的方程为 1 9 16
由椭圆的定义知：
x y 2 1 (a b 0) 2 a b
5 3 2 5 3 2 2 2 2a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 10 2 2 2 2 b 2＝a 2－c 2＝6 x2 y2 所以标准方程为： 10 6 1 a 10, 又c＝2
1 2
椭圆的标准方程及其推导：
y
M
两焦点坐标分别为
F1（-c,0）, F2( c ,0) （c＞0）
O
F1
c
c
F2
x
设M与F1,F2的距离和等于2a . 则由椭圆定义，椭圆就是集合：
P { M || MF1 | | MF2 | 2a}
椭圆的标准方程及其推导： 因为 | MF1 | ( x c )2 y 2 ,| MF2 | ( x c )2 y 2 所以 所以
练习5：已知椭圆的两个焦点的坐
标分别是（－2，0），（2，0），
5 3 并且经过点 ( , ) ，求它的标准 2 2
方程.
求椭圆方程的步骤：
1.确定焦点位置 2.设椭圆方程 3.依题意列等式，求 a,b值
a
4.把 a 、b的值代入方程
解：由题意可知椭圆的焦点在X轴 上，可设标准方程为： 2 2
个焦点的距离为4，则P到另一个焦点
的距离为 6
x y 1 (3)椭圆 25 169
2
2
的焦点坐
标为 （0，12）和（0,－12）
(4)椭圆
2+3y2=12 2x
的两个焦
点之间的距离为 2 2
练习4：
x y 1 (1)已知椭圆的方程为 16 m
2 2
焦点在x轴上，则m的范围是 0<m<16
2
2
这个叫做椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程及其推导：
y
y
M
F1
M
F1
O
F2
x
O
x
F2
椭圆的标准方程：
y x x y 2 1 ＋ 2 ＝1 2 2 a b a b (a b 0)
2 2
2
2
列表比较：
定 义 图 象
P M MF1 MF2 2a ,2a F1F2


y x x y 标准方程 2 2 1 (a>b>0) 2 2 1 (a>b>0) a b a b 焦 点 （0 , ±c） （±c , 0）
椭圆的标准方程及其推导：
左右平方： 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a - 2a cx c x a x - 2a cx a c a y 整理得到：
（a - c ）x a y a（a - c ） 整理得到：
2 2 2 2 2 2 2 2
x y ＋ 2 2 ＝1 2 a （a - c ）
2
2
(1)
椭圆的标准方程及其推导：
y
P
若点M运动到y轴上方P时：
| PF1 | ＝ | PF2 | a
c
F1
cO
| OF1 | ＝ | OF2 | c
F2
x
| PO | ＝ a c
2
2
令b | PO | ＝ a 2 c 2 , 那么上述 1 就是：
x y ＋ 2 ＝1 2 a b
2
( x c ) y ＋ ( x c ) y ＝2a
2 2 2 2
( x c ) y ＝2a－ ( x c ) y
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
左右平方：
( x c ) y ＝4a 4a ( x c ) y ( x c ) y
整理得到： 2 -cx =a ( x c )2 y 2 a
（第一课时）
给出定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2 的距离和等于常数（大于∣F1F2∣） 的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫 椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆 的焦距。 注意: 若记常数为2 a ，焦距为2c, 则有: 2 a >2c
a
椭圆的标准方程及其推导：
根据椭圆的定义，我们如何来求椭 圆的方程？ ①如图，建立 y M 直角坐标系， ②M( x,y)是 O F x 椭圆上任意一 F 点，F1,F2为椭 圆焦点。