第二章过程特性及其数学模型

混合建模——将机理建模与实验建模结合起来，称为混合建模。
混合建模是一种比较实用的方法，它先由机理分析的方法提出数学模型的结构形 式，把被研究的对象视为一个灰箱子，然后对其中某些未知的或不确定的参数利用实 验的方法给予确定。这种在已知模型结构的基础上，通过实测数据来确定数学表达式 中某些参数的方法，称为参数估计。
参量模型的微分方程的一般表达式：
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t) bmx(m) (t) b1x(t) b0x(t)
y(t)表示输出量，x(t)表示输入量，通常输出量的阶次不低与输入量的阶次(n≥m) 当n=m时，称对象是正则的；当n>m时，称对象是严格正则的；n<m的对象是不可 实现的。通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。

dh T dt h K qi
(T AR、K R)
（i ）
记
h qi
h0 qi
0hqi(h0、qi
为平衡状态的值）
0
由于有 h0 K qi0
dh0 0 dt
d h T dt h K qi
（ii）
(i)式是针对完全量的输入输出模型，(ii)式是针对变化量的输入输出模型，二者的结构形 式完全相同。由于在控制领域中，特性的分析往往是针对变化量而言的，为了书写方便在 以后的表达式中不写出变化量符号。
– 静态数学模型描述的是对象在稳定时（静态）的输入 与输出关系；
– 动态数学模型描述的是在输入量改变以后输出量跟随 变化的规律；
– 动态数学模型是更精确的模型，静态数学模型是动态 数学模型在对象达到平衡时的特例。
—过程特性及其数学模型—
数学模型的表示方法：
参量模型：通过数学方程式表示 常用的描述形式：微分方程(组)*、传递函数*、频率特性等
T大，反应慢，难以控制；T小，反应块。
—过程特性及其数学模型—
·二阶线性对象
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）。 解： 该对象的输入量为qi 被控变量为液位h2
qi
A1 h1
R1 q1
（同样利用物料平衡方程）
槽1：
A1
dh1 dt
qi q1
槽2：
A2
dh2 dt
q1 qo
( q1
R2 q0
若各特性参数不变，则二者的阶跃响应曲线示意图如下：
qi
h(t) / h2 (t)
响应曲线比较
a
单容
不相关 双容
t
相关双容
—过程特性及其数学模型—
·纯滞后一阶对象
qi
在工业过程中常有一些输送物料的中
间过程，如图所示，qi为操纵变量， 但需要经过导流槽才送入水箱。如果
qf
l/v
把水箱入口的进料量记为qf，并设：
因此，qi H qo，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最 终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。
右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如 果qi＞qo ，水位H将不断上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。
绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。
—过程特性及其数学模型—
qi

T
d h dt

h

K

qi
（ii）
Ah
对上式作拉氏变换： TsH (s) H (s) K Qi (s)
q0
对象的传递函数：
H(s) K Qi (s) Ts 1
这是最典型的一阶对象的传递函数
该对象的阶跃响应： 如果qi为幅值为A的阶跃输入，则
K
传递函数为： TsH (s) H (s) Ke sQi (s) H (s) K e s Qi (s) Ts 1
—过程特性及其数学模型—
·纯滞后对象（总结）
典型的微分方程
T
dh(t) dt

h(t)

K

qi
(t

)
典型的传递函数 H (s) K e s Qi (s) Ts 1
典型的阶跃响应函数
h2 (t)
Ka[1 T1 T2 T1
t
e T1
T2 T2 T1
t
e ] T2
典型的阶跃响应曲线
qi
a t
h2 (t)
不相关 双容
·二阶线性对象(相关和不相关）
qi
A1 h1
R1 q1
A2 h2
R2 q0
—过程特性及其数学模型—
qi
A1 h1
R1 q1
A2 h2
—过程特性及其数学模型—
第二章 调节对象的特性
§2.1 化工对象的特点及其描述方法
调节效果取决于调节对象（内因）和调节系统 （外因）两个方面。
‫۝‬外因只有通过内因起作用，内因是最终效果的 决定因素。
设计调节系统的前提是：正确掌握工艺系统调 节作用（输入）与调节结果（输出）之间的关 系——对象的特性。
—过程特性及其数学模型—
对象特性——是指对象输入量与输出量之间的关系(数学模型)
即对象受到输入作用后，被控变量是如何变化的、变化量为多少……
输入量？？ 控制变量＋各种各样的干扰变量
由对象的输入变量至输出变量的信号联系称为通道
控制变量至被控变量的信号联系通道称控制通道 干扰至被控变量的信号联系通道称干扰通道
qi
a
0.632h()
h()
t

T
—过程特性及其数学模型—
对象特性的实验建模 ——在被控对象上人为加入输入量，记录表征对象特
性的输出量随时间的变化规律。
输入量
阶跃信号 脉冲信号 伪随机信号
……
被控对象 输出量
A
表格数据
t0
响应曲线
系统辨识
……
A
t0
t1
对象模型
阶跃输入
矩形脉冲
加测试信号前，要求系统尽可能保持稳定状态，否则会影响测试结果； 输入量/输出量的起始时间是相同的，起始时间是输入量的加入时间，输出量的响应曲线可能滞后于
—过程特性及其数学模型—
·一阶线性对象（总结）
典型的微分方程
典型的传递函数
典型的阶跃响应函数
T
dh dt

h

K

qi
典型的阶跃响应曲线
qi
a
h(t)
t
0.632h()
h()
T
H(s) K Qi (s) Ts 1
t
h(t) Ka(1 e T )
0
h(0) Ka(1 e T ) 0
输入量的响应，其原因是纯滞后或容量滞后； 在测试过程中尽可能排除其它干扰的影响，以提高测量精度； 在相同条件下重复测试多次，以抽取其共性； 在测试和记录的过程中，应持续到输出量达到新的稳态值； 许多工业对象不是真正的线性对象，由于非线性关系，对象的放大倍数是可变的，所以作为测试对
象的工作点应该选择正常的工作状态（一般要求运行在额定负荷、正常干扰等条件下）。
A, h
导流槽长度l，流体平均速度v，流体
q0
流经导流槽所需的时间τ，所以当qi
发生改变以后，经过时间以后qf才 有变化： q f (t) qi (t )
对于qf与h来说，根据前面的推导，可知
：
T
dh(t) dt

h(t)

K
qi
(t

)
dh(t) T dt h(t) K qf (t)
K 对过渡过程的影响
阶跃输入作用下，对象输出达到新的稳定值时，输出变化量与输入变化量之比，称为静 态增益（输出静态变化量与输入静态变化量之比）。
对象特性的混合建模
—过程特性及其数学模型—
由于机理建模和实验建模各优特点，目前比较实用的方法是将 二者结合起来，成为混合建模。
混合建模的过程：先通过机理建模获取数学模型的结构形式， 通过实验建模（辨识）来求取（估计）模型的参数。
—过程特性及其数学模型—
对象特性对过渡过程的影响
对象模型由三个基本参数决定：K、T、τ
—过程特性及其数学模型—
对象机理数学模型的建立
问题：处于平衡状态的对象加入干扰以后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？
qi
qi
q0
q0
左图：假设初始为平衡状态qi=qo，水箱水位保持不变。 当发生变化时(qi＞qo)，此时水箱的水位开始升高
根据流体力学原理，水箱出口流量与H是存在一定的对应关系的：q0 H / R
问题：来自百度文库右图所示的对象模型（输入输出模型）。 解： 该对象的输入量为qi 被控变量为液位h
qi Ah
q0
根据物料平衡方程： 单位时间内水槽体积的改变＝输入流量 — 输出流量
dV dt

qi

qo
V Ah

A
dh dt

qi

qo
由于出口流量可以近似地表示为： qo

h R

dh
h
A dt qi R
Ka
H (s) Ts 1Qi (s) s(Ts 1)
a Qi (s) s

h(t) L1[H (s)] L1[ Ka ] s(Ts 1)
L1[ Ka KaT ] s Ts 1
Ka * L1[(1 T )] s Ts 1
t
Ka(1 e T )
从微分方程的解析解来看

h() Ka(1 e T ) Ka
h(T ) Ka(1 e1) 0.632h()
K――放大系数，在阶跃输入作用下，对象输出达到新的稳定值 时，输出变化量与输入变化量之比，也称静态增益。K越 大，表示输入量对输出量的影响越大。
T――时间常数，在阶跃输入作用下，对象输出达到最终稳态变 化量的63.2％所需要的时间，时间常数T是反映响应变化 快慢或响应滞后的重要参数。用T表示的响应滞后称阻容 滞后（容量滞后）。
干扰变量 控制变量
被控对象
干扰通道 控制通道
被控变量
对象输出为控制通道输出与各干扰通道输出之和
—过程特性及其数学模型—
对象特性的分类与研究方法
所谓研究对象的特性，就是用数学的方法来描述 出对象输入量与输出量之间的关系——数学建模。
– 对象的数学模型：对象特性的数学描述；
对象的数学模型可以分为静态数学模型和动态数 学模型。
非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。 特点：形象、清晰，缺乏数学方程的解析性质（必要时须进行数学处 理获得参量模型）。
—过程特性及其数学模型—
建模的方法：机理建模、实验建模、混合建模
机理建模——根据物料、能量平衡、化学反应、传热传质等基本方程，从理论上来推导建立数学 模型。
由于工业对象往往都非常复杂，物理、化学过程的机理一般不能被完全了解，而且线性的 并不多，再加上分布元件参数（即参数是时间与位置的函数）较多，一般很难完全掌握系统内 部的精确关系式。另外，在机理建模过程中，往往还需要引入恰当的简化、假设、近似、非线 性的线性化处理等，而且机理建模也仅适用于部分相对简单的系统。 实验建模——在所要研究的对象上，人为的施加一个输入作用，然后用仪表记录表征对象特性的
—过程特性及其数学模型—
§2.2 对象理论数学模型的建立
一阶对象： 系统输入、输出关系（动态特性）可以用
一阶微分方程来表示的控制对象。 积分对象
系统动态特性可以用一阶积分方程来表示 的控制对象。 二阶对象：
系统动态特性可以用二阶微分方程来表示 的控制对象。
—过程特性及其数学模型—
·一阶线性对象
传递函数：
H2(s)
K

K
Qi (s) T1T2s2 (T1 T2 )s 1 (T1s 1)(T2s 1)
—过程特性及其数学模型—
·二阶线性对象（总结）
典型的微分方程
T1T2
d 2h2 dt 2
(T1

T2
)
dh2 dt
h2

K
qi
(T1 A1R1 T2 A2 R2 K R2 )

h1 R1
)
(qo

h2 R2
)
A2 h2
R2 q0
联立方程求解：
A1 A2 R1R2
d 2h2 dt 2
(R1 A1

R2
A2
)
dh2 dt
h2

R2
qi
T1T2
d 2h2 dt 2
(T1

T2
)
dh2 dt
h2
K qi
(T1 A1R1 T2 A2R2
K R2 )
物理量随时间变化的规律，得到一系列实验数据或曲线。这些数据或曲线就可以用 来表示对象特性。 这种应用对象输入输出的实测数据来决定其模型的方法，通常称为系统辨识。其主要特点 是把被研究的对象视为一个黑箱子，不管其内部机理如何，完全从外部特性上来测试和描述对 象的动态特性。有时，为进一步分析对象特性，可对这些数据或曲线进行处理，使其转化为描 述对象特性的解析表达式。
典型的阶跃响应函数
h(t)

0
t<
t
Ka(1 e T ) t
典型的阶跃响应曲线
h
纯滞后产生的主要原因： 物料输送等中间过程产生纯滞后
（大时间常数表现出来的等效滞后）
由于纯滞后的出现，控制作用必 须经历一定的时间延迟（滞后）才能 在被控变量上得到体现，致使当被控 变量的反馈反映出控制作用时，可能 会输入过多的控制量，导致系统严重 超调甚至失稳。