哈工大 有限元大作业2-刚度矩阵的推导

H,(R,S,T)在节点1以外的其它节点上均为0,在节点1上其值为1.所以，分别在节点4、
(8)
(R+S)O-THR+S+T+2) [ (R+S)(1-T) <R+S+T+2) ]<一 I, 一 I, 一 I> 1 = — <R+S)(l — T)(R+S+T+2) 4 类似可以求得其它形函数，从而得出五面体15节点单元的形函数： 1 H,(R,S,T)= 一 (R+S)O+T.T)(R+S-T汀+2) (i= 1,4) 4 H,(R,S,T)=— O+RHI+T,THR+T,T-1) 4 1 H,(R,S,T)=— O+S)O+T.THS+T,T-1) 4 1 H,(R,S,T)=-一O+R)(l+T,T)(R+S) 2 1 H,(R,S,T)= 一 (1+R)(l+T,T)(l+S) 2 Ci=2,5) (i=3,6) (i=l0,13) (i=ll,14) (i=12,15)
“
(14)
W(R;,S;,T;)=W,
由几何关系得： [E]=[B]'[8]' 其中 [E]=[E平平•,Yz:,, Yz:,, Yz:,] 必切如山 初初 叔叔， 必 ＝［ 十 忑勹汀 云丙＇忑为飞，云 是应变矩阵； [8]'=[玑V,,W1,焊V29W29 … ,U凡,,,,v 凡:,, ,wN,,.]
N
L台 ， ．． x x
占 t N 占入l
N
N
aHaR － 玑否
玑乔
艺二笘 艺 ， ． ，
鳖 恐 罚
x
i
器 婴
,
• . ' y
Zi Zi Z
I N 守台 寺]
[J]=
(21)
• . ＇ y
N
N
叽乔
y
.
单元变形能： U,=1-[8JT[ K]'[8]' 2 ： 度矩阵 单元刚 [B]'r[D][B]'du [K]'=
哈尔滨工业大学有限单元法大作业二 推导五面体(15节点)单元刚度矩阵
专业：机械电子工程 学号：15S008121 姓名：汪藏海
角边长为队棱长为2的三棱柱，如图1所示．
4 IS
对于空间任意曲面五面体，通过 一 定的坐标变换，可以变为局部坐标R.S.T中底面两直
6
乙 9
3
2
X
其坐标变换式为：
N,,,
•-1
0,
o.
o.
1-2µ 2(1-沁
(25)
{:}享
H.(R心 rf
'.
J
<2J
在局部坐标R.S.T下，单元的上、下底面方程为：
(3) (4)
其侧面方程分别为： 节点1 、 3 、 6、4所在平面： R=-1
节点1 、 2 、 5 、 4所在平面：S=-1 节点2、3、6、5所在平面： R+S=O 根据形函数的特点： H,(R.,S.,T.)=l { . S1 ,T1 )=0 H1 (R1 ,
因而能保证解答是收敛的． (b) 单元的刚度矩阵
(15) (16) (17) (18)
ay•
是节点位移阵： [B]'=([B 1 ], [Bz], ... ,[B;], ... ,[B ,., J)
篡
是几何阵．
JH, a工 ， 0,
O,
aH, ay ，
O,
。 。
[B;]叶
—
0,
0,
aH, cJy •
(5)
(6)
节点为例推导如下：
可以构造出五面体单元的形函数式中R.,S,,'.几R1 ,S1 ,T1 分别是节点i 、 1的局部坐标值，以15
(i-=/=j)
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(?)
5、6所在平面及节点2、3、5、6所在平面、节点7、10、12所在平面上满足： H 1 (R,S,T)=O 从而有： H 1 <R,S,T)=
;-J j=I .t=I N1 N2 N1
权系数． 其中N,,Nz, 凡分别为R 、 S 、 T方向的Gauss积分阶数1W;,W;,W.t为积分加 这祥，就建立了五面体单元的刚度矩阵．
如合
I
寺台
(22) (23)
瓜
µ I-µ ， 0,
0,
1
I 0,
0,
1-2µ 2(1 一 µ)'
0, . 0,
(24) 1-2µ (1 2 一 µ)'
图1
整体坐标和局部坐标下的五面体单元
X=� 且(R,S,T)X, Y=�H.(R.S,T)Y,
i=I N,,,
(1)
式中X,,Y1,Z1为节点坐标； NXYz为坐标变换所选取的节点数；凡为形函数．对于等参单元，位 移模式为：
Z=�H.(R,S,T)Z1 ，一J
其中U芯W, 为节点位移值 (a) 形函数的构造 T=士1
(9)
(10)
其中T, 是节点i在T方向的坐标值． 容易验证，对于上述五面体单元，位移模式满足：
1 H9 (R,S,T)=-O+S)(l-T2 ) 2
1 H8 (R,S,T)=— O+R)(l-产） 2
1 H 1 (R,S,T)= 一 (R+S)(T2 -1) 2
1 H,(R,S,T)=-一(1+S)(1+T,T)(R+S) 2
aH,
aH, 况
ax ，
。
(19)
aH, ＇ ＂＇ － 况
而
一 ·aH; O, 况＇ (i = 1 ,2, • • • ,Nz:,r) aH. r aH. aH. aH. 一I aH. aH. — —— 社'Jy'况 y =[./] [JR'ck'打 J
aH, Jy aH, 心
[
-
——
(20)
(i = 1, 2, ···, N zy•)
其中忆是单元体积；[DJ是弹性矩阵： 1 µ l 一 µ， µ — l -µ , 0,
0, 0,
E(I-µ) [DJ = 0+µ)0-2沁 I
E为Young模量；µ 为Poisson比． 由于(23)式积分较复杂，形成单元刚度矩阵时，采用Gauss积分： [K]'=���[B环[D][B]切J厄W;W;W.t
R=�H.(R,S,T)R,
,-1
S=� 凡(R,S,T)S,
,-1
T= 区 H;(R,S ,T)T,
i=I
.,.
(12)
及
即在局部坐标下满足 常应变准则 ．同时，也满足连续性要求及位移插值条件；
互访， (R,S ,T)=l
i-1
(13)
”
飞 ｛罚:::!::;:::
(i=l,2, …,NXYz)