3.3垂径定理(1)解析
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创设情境,引入新课
复习提问: （１）什么是轴对称图形
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能 完全重合，这个图形就是轴对称图形。
（2）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对 称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
合作交流,探究新知
一自主探究 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
解：点A与点B重合，ＡＥ与ＢＥ重合， A
A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D．
CE O
D
２.请你用命题的形式表述你的结论.
B
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的弧．
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
３.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明．
解 已知：如图，ＣＤ是⊙O的直径，ＡＢ是⊙O的一
弦长AB 2 r 2 d 2 .
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
弧∴ADE和A=弧EBBD，重合A⌒．C= B⌒C， A⌒D=B⌒D．OC平分AB吗？
４.圆的性质（垂径定理）
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
C
A
O
C
B
例1 已知弧⌒AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧 的中点．(先介绍弧中点的概念）
分分析一:条要弧平成分相A⌒B等,只的要两画条垂弧直的于点弦,A叫B做的这直条径弧.而的这中点. 条 垂直直平径分应线在就弦能AB把的A⌒垂B直平平分分. 线上.因此画AB的
结论：
C
O
D
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调：
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. （2）圆的对称轴有无数条.
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ X ）
二 合作学习
１.在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦 AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸 折叠,你发现哪些点、线互相重合?如果把能够重合的圆 弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等？
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少?
解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8. 由勾股定理得:
OC OB2 BC2 102 82 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
10 C 88 D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
条弦，ＣＤ⊥AB，且交ＡＢ于点Ｅ．
求证： EA=EB，
⌒
AC=
B⌒C，
A⌒D=B⌒D．
证明：如果把⊙O沿着直径ＣＤ
A
对折，那么被ＣＤ分成的两个
半圆互相重合. ∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
CE O
来自百度文库
D
∴线段EA与线段EB重合.
B
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，思考：你能利用等腰
三角形的性质，说明
作法： C
⒈ 连结AB.
E
⒉ 作AB的垂直平分线
A
B
CD，交弧AB于点E.
D
点E就是所求弧AB的中点．
１.如图，过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦 的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点．
E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
复习提问: （１）什么是轴对称图形
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能 完全重合，这个图形就是轴对称图形。
（2）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对 称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
合作交流,探究新知
一自主探究 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
解：点A与点B重合，ＡＥ与ＢＥ重合， A
A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D．
CE O
D
２.请你用命题的形式表述你的结论.
B
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的弧．
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
３.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明．
解 已知：如图，ＣＤ是⊙O的直径，ＡＢ是⊙O的一
弦长AB 2 r 2 d 2 .
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
弧∴ADE和A=弧EBBD，重合A⌒．C= B⌒C， A⌒D=B⌒D．OC平分AB吗？
４.圆的性质（垂径定理）
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
C
A
O
C
B
例1 已知弧⌒AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧 的中点．(先介绍弧中点的概念）
分分析一:条要弧平成分相A⌒B等,只的要两画条垂弧直的于点弦,A叫B做的这直条径弧.而的这中点. 条 垂直直平径分应线在就弦能AB把的A⌒垂B直平平分分. 线上.因此画AB的
结论：
C
O
D
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调：
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. （2）圆的对称轴有无数条.
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ X ）
二 合作学习
１.在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦 AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸 折叠,你发现哪些点、线互相重合?如果把能够重合的圆 弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等？
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少?
解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8. 由勾股定理得:
OC OB2 BC2 102 82 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
10 C 88 D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
条弦，ＣＤ⊥AB，且交ＡＢ于点Ｅ．
求证： EA=EB，
⌒
AC=
B⌒C，
A⌒D=B⌒D．
证明：如果把⊙O沿着直径ＣＤ
A
对折，那么被ＣＤ分成的两个
半圆互相重合. ∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
CE O
来自百度文库
D
∴线段EA与线段EB重合.
B
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，思考：你能利用等腰
三角形的性质，说明
作法： C
⒈ 连结AB.
E
⒉ 作AB的垂直平分线
A
B
CD，交弧AB于点E.
D
点E就是所求弧AB的中点．
１.如图，过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦 的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点．
E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半