第三章-参数曲面

或表示为一个Βιβλιοθήκη Baidu元函数 z F ( x, y ) 的图像，其中
z F ( x, y ) z f ( x, y ), g ( x, y ) .
上式也被称为曲面片 S |U 的 Monge 形式
参数变换
参数曲面的参数选择不是唯一的。 参数变换(transformation of parameter)
| ru rv | f (v) f 2 (v ) g 2 (v ) ，
当 C 是正则曲线，并且 f (v) 0 时， S 是正则曲面.
正螺面(hericoid)
设两条直线 L1 和 L2 垂直相交. 将直线 L1 一方面绕 L2 作匀 速转动， 同时沿 L2 作匀速滑动，L1 的运动轨迹叫做正螺面(螺 旋面). 取初始位置的直线 L1 为 x 轴，L2 为 z 轴，建立右手直 角坐标系. 则正螺面的参数方程为 z 2 r (u, v) u cos v, u sin v, av ， (u, v) . 由 ru cos v,sin v,0 ，rv u sin v, u cos v, a ，
Lu : r (v ; u) a (u) vl (u) .
让 u 在区间 (a, b) 内变动， 所有这些直线就拼成一个 曲面 S ，称为直纹面. 它的参数方程为
r r (u, v) a (u) vl (u) ，
(u, v) (a, b)
.
曲线 C 称为该直纹面的准线(directrix)，而这 个单参数直线族中的每一条直线 Lu 都称为直纹面 的一条直母线(generating line)， 也就是直纹面 S 的 v -曲线.
0 0 0 0
线性无关，即
( y, z ) ( z, x) ( x, y) ru rv |(u0 ,v0 ) , , 0 (u, v) (u, v) (u, v) 则称 (u0 , v0 ) 是 S 的正则点(regular point).
正则参数曲面: 如果 S 上每一点都是正则点，则称 S 是正则参 数曲面.
(u, v) .
v
(u0 , v0 )
r
v v0
r (u0 , v0 )
z
u u0
D
u
图 3.1
x
y
直观上， 参数曲面 S 就是将平面中的区域 D 经 过伸缩、扭曲等连续变形后放到欧氏空间 E 3 中的 结果. (u, v) 可以看成曲面 S 点的坐标，称为曲纹坐 标（纹理坐标） 。
r ( , ) (a cos cos , a cos sin , a sin )
( , ) (0,2 ) ( 2 , 2)
2
.
其中 a 0 .
N
z
r ( , )


x
y
S
旋转面(revolution surface)
C : x f (v), z g (v) (v (a, b)) 是 xOz 平面上一条曲, f (v ) 0 .
第三章 曲面的第一基本形式
The first fundamental form of a surface
曲面的第一基本形式
本章内容：曲面的定义，参数曲线网，切平 面，单位法向量，第一基本形式，正交参数网， 等距对应和共形对应，可展曲面 难点：正交参数网的存在性，等距对应和共 形对应
正则参数曲面
Regular parameterized surface 从平面 映射
u u(u, v), v v(u, v)
满足： (1) u(u, v), v(u, v) 3 次以上连续可微 (2)
(u , v) (u, v ) 处处不为零.
由于
ru rv (u, v) (ru rv ) 0 (u, v )
在经过上述变换之后，得到的仍然是正则曲面。 这样的参数变换称为可允许的(compatible)参数变 换.
ru rv a sin v, a cos v, u 0
可知正螺面是正则曲面.
x
y
直纹面(ruled surface) 由单参数直线族 lu | u (a, b) 构成的曲面.
a (u )
a (u )
直纹面(ruled surface) 设 C : a a (u) ( u (a, b) )是一条空间正则曲线. 在 C 上对应于参数 u (a, b) 的每一点有一条直线 Lu ，其 方向向量为 l (u) . 这条直线的参数方程可以写成
圆柱面(cylinder)
x2 y2 a2 r (u, v) (a cos u, a sin u, v) ， (u, v) D
z
2
.
r (u, v )
v u x
图 3.2
y
球面(sphere)
S 2 ( x, y, z ) | x 2 y 2 z 2 a 2 参数方程为
将 C 绕 z 轴旋转得到的旋转面 S 参数方程为
r (u, v) f (v)cos u, f (v)sin u, g (v)
(u, v) (0,2 ) (a, b)
2
z
.
x f ( v ), z g (v ).
f (v )
r (u, v )
u
x
图 3.4
使得 r (u, v) 是 E 3 中一个正则参数曲面 r ( D) ，则称 S 是 E 3 中的一张正则曲面（流形 manifold） 。
正则曲面
上述的邻域 U 和同胚 r 的逆映射 r 合在一 起，将 (U , ) 称为该曲面的一个局部参数化(local parameterization)，或坐标卡(coordinate chart).
正则曲面
定义 1.1 设 S 是 E 3 3 的一个子集，具有相对 拓扑. 如果对任意一点 p S ，存在 p 在 S 中的一个 邻域 U ( U V S ，其中 V 是 p 在 E 3 中的邻域)，和 2 中的一个区域 D ，以及同胚
r : D U : (u, v) r (u, v) x(u, v), y(u, v ), z(u, v )
Texture mapping example
Parameterization and Texture Mapping
正则点: 设 S : r r (u, v) 为 E 中的参数曲面 . 如果 在 (u0 , v0 ) 点，两条参数曲线的切向量
ru (u0 , v0 )
3
r r |(u ,v ) , rv (u0 , v0 ) |(u ,v ) u v
1
如果两个局部参数化 (U1 ,1 ) ，(U2 ,2 ) 满足 U U ， 那么正则参数曲面 U U 就有两个参数表示 r1 (u1 , v1 ) 和 r2 (u2 , v2 ) . 由此自然产生了参数变换 2 r1 : 1 (U1 U2 ) 2 (U1 U2 ) : (u1 , v1 ) (u2 , v2 ) .
正则参数曲面
显式方程:
( x, y) 不妨设 (u, v) |(u ,v ) 0 ，则在 (u0 , v0 ) 的某个邻域 U
0 0
内存在 x(u, v), y (u, v) 的反函数 u u( x, y), v v( x, y) ， 则原曲面方程可表示为
r ( x, y ) r u( x, y ), v( x, y ) x, y, z( f ( x, y ), g ( x, y ))
曲 面 的 定 向 (orientation) ： 对 于 曲 面 S : r r (u, v) ，规定 ru rv 所指的一侧为 S 的正侧. 当
( u, v ) 0 时，称为保持定向 (preserve (u , v )
the
orientation)的参数变换.
正则曲面
正则参数曲面在具体应用总是十分方便， 十分广 泛的. 但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面 来表示，例如球面.
1 2
1
2
U1
U1 U 2
U2
r1
1
r2
2
2 r1
D1
1 (U1 U2 )
r21 (U1 U 2 )
D2
直观上看， 正则曲面 S 是由一些正则参数曲面 “粘合”而成的. 只有那些与参数的选择无关的 量才是曲面本身的几何量.
可定向的正则曲面
如果一个正则曲面有一族保持定向的局部参 数化 (U , ) | A ( A 为指标集)， 使得 U | A 构成 S 的开覆盖，则称该曲面是可定向的(orientable).
2
的一个区域 D 到 E 3 中的一个连续
r : D S r ( D) E 3
3 的 象 集 S r ( D) 称 为 E 中 的 一 个 参 数 曲 面 (parameterized surface).
在 E 3 中取定正交标架 {O ; i , j , k } ， 建立笛卡尔右 手直角坐标系. 则参数曲面 S 可以通过参数 (parameter) (u, v ) 表示成参数方程
y
旋转面 S 上的 u-曲线称为纬线圆，v-曲线称为经线. 因为
ru f (v) sin u,cos u,0 ，
rv f (v )cos u, f (v )sin u, g (v ) ，
ru rv f (v) g (v )cos u, g (v )sin u, f (v ) ，
直纹面(ruled surface) 1. 当 l (u) c 为常向量时， 所有的直母线互相平 行，直纹面 S 称为柱面(cylindrical surface). 2. 当所有的直母线都经过一个定点时，直纹 面 S 称为锥面(cone). 3. 当 l (u) // a(u) 时 ， S 称 为 切 线 曲 面 (tangent surface)，由准线 C : a a (u) 的所有切线构成. 作业：2，6，7
x x (u, v ), y y (u, v ), z z (u, v ),
(u , v ) D
2
，
向量参数方程
r r (u, v) x(u, v)i y(u, v) j z(u, v)k x(u, v), y(u, v), z(u, v)