沪科版八年级数学上册15.3：等腰三角形

辅导资料No.15

年级八年级教学内容等腰三角形与等边三角形

【知识归纳】

知识点一、【等腰三角形的性质】

1. 有关定理及其推论

定义：有两条边相等的三角形才是等腰三角形；

性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

性质定理2：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（简写成“三线合一”）

2. 定理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

【题型一：等腰三角形的角度问题】

等腰三角形有两个相等的底角，一个顶角，其取值范围必须满足下列关系0°<底角<90°，0<顶角<180°，所以必须注意分情况讨论

例1. 若等腰三角形中的一个角等于50°，则另外两个角的度数分别是（）

A. 65°，65°

B. 50°，80°

C. 50°，50°

D. 65°，65°或50°，80°

例2. 若等腰三角形中的其中一角为120°，则它的三个角的度数分别是。

例3. 已知一个等腰三角形的一个外角是135°，则它的底角为。

例 4. 已知一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的7倍，则它的三个角度数分别是。

例5. 已知一个等腰三角形的两个角分别是（2x-2）°，（3x-5）°，求这个等腰三角形各角的度数。

二、计算题：

1. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB求∠A的度数

设∠ABD为x,则∠A为2x由8x=180°得∠A=2x=45°

2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD求∠A的度数设∠A为x,由5x=180°得∠A=36°

3. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数

4. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上, ∠BAD=30°,在AC上取点E，使AE=AD,求∠EDC的度数

设∠ADE为x ∠EDC=∠AED－∠C=15°

【题型二：等腰三角形的边长问题】

等腰三角形有两条相等的边，称为等腰三角形的腰，还有一条底边，这三条边的数量关系必须满足两边之和大于第三边这个关系.

例1. 一个三角形的三边分别为4，x，7，那么x的取值范围是（）

A. 3

B. 4

C. x>3

D. -3

例2. 等腰三角形有两边长是3cm和4cm，则这个等腰三角形的周长为。

例3. 等腰三角形有两边长是4cm和9cm，则这个三角形的周长是（）

A. 17cm

B. 22cm

C. 18cm

D. 17cm或22cm

例 4. 已知三角形的三边长分别为7，x，13，若x为整数，那么这样的等腰三角形的周长为。

例5. 已知一个等腰三角形的三边长分别为x，2x，5x-3，求这个三角形的周长

例6. 已知等腰三角形的底边BC=6，且

3

=

-BC

AC

,那个腰AC的长为（）

A. 9

B. 6

C. 3

D. 9或者3

【题型三：无图需分情况讨论】

例1. 等腰三角形的一个角是70°，则一腰上的高与另一腰的顶角为（）

A. 20°

B. 20°或50°

C. 50°

D. 70°

例2. 若等腰三角形的底边长15，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差是8，则腰长是（）

A. 7

B. 23

C. 7或者23

D. 以上都不对

例3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）

A. 60°

B. 120°

C. 60°或150°

D. 60°或120°

练习巩固：

1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．

2、如图，已知△ABC中，AB=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC．求证：DE+DF=BG．

3、△ABC为非等腰三角形，分别以AB、AC为腰向△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且∠DAB=∠EAC=90°．求证：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD．

45、如图△ABC 中，AB =AC ，AD 、BE 是△ABC 的高，它们相交于H ，且AE=BE ．求证：AH =2BD ．

知识点二、【等腰三角形的判定】

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

典例分析：

例1、 已知：如图，OA 平分∠BAC ，∠1=∠2． 求证：△ABC 是等腰三角形．

例2、已知：如图，∠C=90°，BC=AC ，D 、E 分别在BC 和AC 上，且BD=CE ，M 是AB 的中点．求证：△MDE 是等腰三角形．

例3、如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，CD BA ⊥于D ，AE 平分BAC ∠交CD 于F ，交BC 于E ，求证：CEF ∆是等腰三角形．

例4、Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，O 为 AB 中点，若点M ．N 分别在线段AB ．AC 上移 动，且在移动过程中保持AN BM =，试判断 OMN ∆的形状，并证明你的结论．

例5、如图，D 是△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线交点，过D 作与BC 平行的直线，分别交AB 、AC 于E 、F ，求证：EB+FC=EF ．