平稳时间序列模型及其特征

平稳时间序列模型及其特征

第一章平稳时间序列模型及其特征

第一节模型类型及其表示

一、自回归模型（AR）

由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：

X t=φX t-1+εt（2.1.1）常记作AR(1)。其中｛X t｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为X t对X t－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。

如果X t 与过去时期直到X t-p的取值相关，则需要使用包含X t－

X t-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。P阶自回归模型的一1 ，……

般形式为：

X t=φ1 X t－1+φ2 X t－2+…+φp X t－p+εt（2.1.2）为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。设B 为滞后算子，即BX t=X t-1, 则B(B k-1X t)=B k X t=X t-k B(C)=C(C为常数)。利用这些记号，（2.1.2）式可化为：

X t=φ1BX t+φ2B2X t+φ3B3X t+……+φp B p X t+εt

从而有：

（1-φ1B-φ2B2-……-φp B p）X t=εt

记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φp B P）,则模型可以表

示成

φ（B）X t=εt (2.1.3) 例如，二阶自回归模型X t=0.7X t-1+0.3X t-2+0.3X t-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）X t=εt

二、滑动平均模型（MA）

有时，序列X t的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，X t可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即

X t=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.4) 此模型常称为序列X t的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。相应的序列X t称为滑动平均序列。

使用滞后算子记号，（2.1.4）可写成

X t=（1-θ1B-θ2B2-……- θq B q）q t=θ(B)εt (2.1.5) 三、自回归滑动平均模型

如果序列｛X t｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：

X t=φ1X t-1+φ2X t-2+……+φp X t-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q

(2.1.6) 简记为ARMA(p, q)。利用滞后算子，此模型可写为

φ（B）X t=θ(B)εt（2.1.7）

第二节 线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性

首先介绍两个概念。

① 序列的传递形式：设｛Y t ｝为随机序列，｛εt ｝为白噪声，若｛Y t ｝可表示为：

Y t =εt +G 1εt-1+G 2εt-2+……+G k εt-k +……=G(B) εt

且∞<∑∞

1k G ，则称｛Y t ｝具有传递形式，此时｛Y t ｝是平稳的。

系数｛G k ｝称为格林函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。

② 序列的逆转形式：若｛Y t ｝可表示为：

εt = Y t -π1 Y t-1-π2 Y t-2-……-πk Y t-k -……=π(B) Y t 且∞<∑∞

1k π，则称｛Y t ｝具有逆转形式（或可逆形式）。

一、 MA 模型

1. MA 模型本身就是传递形式。

2. MA(q)总是平稳的（由上一章的例），MA （∞）在系数级数绝对收敛的条件下平稳。

3. MA(q)模型的可逆性条件。

先以MA （1）(Y t =εt -θ1εt-1)为例进行分析。

MA(1)的可逆性条件为：11<θ。如果引入滞后算子表示MA(1)，

则Y t =（1-θ1B ）εt ，可逆条件11<θ等价于θ(B)=1-θ1B=0的根全在单位圆外。

对于一般的MA(q)模型，利用滞后算子表示有： Y t =（1-θ1B-θ2B 2-……- θq B q ）εt = θ(B)εt

其可逆的充要条件是：θ(B) =0的根全在单位圆外（证明见Box-Jenkins ，P79）。

在可逆的情况下，服从MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的AR 模型：

θ-1(B)Y t =εt

MA(q)的可逆域：使θ(B) =0的根全在单位圆之外的系数向量（θ

1

，θ2，……，θq ）所形成的集合。

例：求MA(2)的可逆域。

解：由2211----=t t t t Y εθεθε，其特征方程为：

01)(221=--=B B B θθθ

该方程的两个根为：

2

2

211124θθθθλ+--=

2

2

211224θθθθλ++-=

由二次方程根与系数的关系，有

2

1

212

21,1

θθλλθλλ-

=+-

= 当MA （2）平稳时，根的模21λλ与都必须大于1，因此必有：

11

2

12<=

λλθ

由根与系数的关系，可以推出如下式子：

)1

1)(1

1(12

1

12λλθθ-

-

-=+

)1

1)(1

1(12

1

12λλθθ+

+

-=-

由于21θθ、是实数，21λλ与必同为实数或共轭复数。又因为1>i λ，因此

01

1>i

λμ

故

=±12θθ1)1

1)(1

1(12

1

<-λλμ

μ

反之，如果12<θ，且112<±θθ。那么从11

2

12<=λλθ可以推出至

少有一个1>i λ，例如，假设11>λ，则根据1)1

1)(1

1(12

1

<-λλμ

μ

可推出

0)1

1)(11(21>λλμ

μ

，由01

11>λμ

可以推出01

12

>λμ

，从而12>λ。因此，

01)(221=--=B B B θθθ的根在单位圆之外。（平稳域为一三角形）。

二、 AR 模型

1. AR(P)模型本身就是一种逆转形式。

2. 平稳性。

先以AR(1)( Y t =ϕ1Y t-1+εt ),进行分析。