十七章--高斯光束的物理特性
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换一种说法来讲，假如一束高斯光束从一个孔聚焦到束腰然后再扩散，在斑尺寸为 全部距离b可以表示为
b=2 = =confocal parameter(10)
共焦参数广泛用于描述高斯光束。，如图17.7所示，瑞利范围 ≡b/2在运用于大多数高斯光束有关的公式里。
准直高斯光束传播
在实际情况下，一束光的准直束腰区域在超过多少距离后扩大？为对这个问题得到更深的了解，我们可以设计高斯光束从一个直径为D的有微小汇聚的初始光圈传播出来，入图17.8所示，结果是光束在离开瑞利范围后缓慢的聚焦到束腰上，其尺寸为 ，然后又从新扩散到另一边的相同直径D（或者说相同聚焦界限）的瑞利范围上。例如，我们选择孔直径为πω或者是穿过总功率为99%原则，所以我们在每一个结尾选定D=π× 。
两倍的半角给出全角：
对于高斯光束，可以用更精确的公式化的表述，我们在第一章给出近似的关系Δθ≈λ/d。我们可以利用由有角的传输来定义圆锥相同的基础来定义高斯光束的立体角 ，或者
如之前记录一样，在远场中，这圆锥发散将包含光束总功率的86%。
猜想我们相同的1/e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径（忽略在束腰位置一个半径a= 的孔实际上在远场部分将产生大量的衍射效应）。在1/e定义下，有效圆孔面积 ≡π /2与有效远场立体角π 的乘积为
17章--高斯光束的物理特性
之前的章节建立了计算在真空中的光束特性的分析工具，然而，我们也需要对真实光束特性的物理的，直观的理解--下两节将尝试建立一个了解。
特别地，我们以前章节介绍的哈密顿-高斯和拉格拉日-高斯模型都是数学方面的，而且也为拥有有限直径反射镜的、稳定的、激光共振器的传输模型提供了好的近似。因此高斯或者类高斯光束在分析激光问题和有关光学系统的问题得到广泛的应用。高斯光束特性的物理和数学理解是特别重要的。在这章里我们回顾在真空中的理想高斯光束的大多数重要的物理特性。
曲率共焦
曲率的最小半径发现在从束腰开始的一段距离z= 的波前，半径值R=b=2 。波前的曲率中心点，坐落在z=+ ，反过来也一样在z=- 点，如图17.10所示。
某特定的间距根据可靠的共振器理论有一个特殊的意义，设想波前曲线R（z）在± 时
在两点安装配套的两个半径为R的镜子，它们之间的距离L=R=b=2 。这样一个半径为R的镜子的焦点坐落于f=R/2，两个镜子的焦点一致的在共振器的中心。这两个镜子叫做对称共焦谐振器，共焦因子为b≡2 ≡2π /λ。我们在接下来探索这样一个独特的，有趣特构造征的共振器。
参考文献
对于瑞利半径的更深层次了解能在J.F.Ramasy的”Tubular beams from radiating apertures”中查阅到，微波前沿章节，Vol.3,ed.by L.F.Young(Academic Press,New York,1968),p.127.
对相同的意见的更早期的理解可以参考Lord Rayleigh(J.W.strutt)本人的文献”On images formed with or without reflection or refraction,”Phil.mag.11,214-218(1881),和”On pinholephotography,”Phil.mag.31,87-89(1891.)
实际上，在光束直径增加到束腰时的 倍，或者是光斑面积加倍时，光Βιβλιοθήκη Baidu从束腰传播出来的距离由以下参数简单给定
术语瑞利半径有时候用于天线原理，描述准直的光束通过直径为d（假设d》λ）天线孔后开始剧烈的分散时的距离z≈ /λ。因此我们采用相同的术语命名 ≡π /λ。高斯光束从束腰传播出时，瑞利范围标记了在‘近场’（fresnel）和‘远场’（fraunhofer）区域的分解线。
有效直径和均匀的拥有相同峰值强度和相同总功率的柱状光束的面积作为一束柱状高斯光束将是：
如图17.2所示。
孔明显比所需的要大，然而，要穿过一个真正的光斑尺寸为ω的，没有减掉外沿的高斯光束。例如，光斑尺寸为ω的高斯光束通过集中在直径为2a的圆孔时有极小的的能量会转让掉，，如图17.3所示：
图中标出了圆孔半径a的圆孔对于光斑尺寸ω光的传输比值。半径a=ω的孔可以传输高斯光束86％的总功率。我们定义光衰减到86％或者 时为孔尺寸。
光圈传输
在分析真空中理想高斯光束传播特性前,我们可以简要的了解在任何真正的光学系统存在的有限尺寸光孔的渐晕效应.光斑尺寸半径ω之后，高斯光束的强度减弱是非常迅速的。
一个实际的光孔必须是多大才能使高斯光束上的截断效应之前能被忽略。
猜想我们定义一束光的总功率为P= dA，其中dA表示横截面的面积，在孔尺寸ω中高斯光束的辐射强度变化如下：
问题17.1
略
17.2高斯光束的聚焦
在平行高斯光束传播很远距离时，我们经常对将这样光束在聚焦到一个很小的斑很感兴趣，记录数据到影碟或者磁带上，或者在刀片上打洞，或者在激光显微镜下计数细胞核。（因为关于红宝石激光器强度规范的证明，通过仅仅使用一次激光射击就可以在一片或者多片的刀片上击出一个孔，脉冲激光器能量偶尔在“Gillettes”中被引用。）通过高斯光束的聚焦能获得什么种类的光斑尺寸和光强－或者是对任何结构完整的高斯光束产生的问题。
猜想我们相同的1e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径忽略在束腰位置一丧半径定义下有效圆孔面积a12对于有普遍天线理论的高斯光束来说这是一丧十分精确的公式表述如下在物理学斱面这丧定理说明假如我们测量平面波辐射从一丧矢量角斱向到达有效孔面积为a的一丧天线然后对所有可能角度测量面积迚行积分结果任何形式的无损天线大多数时候用于衡量波长
远场光束角：“礼帽”准则
接下来我们设想在远场情况下，当光束尺寸随距离变化线性变化时，如图17.9.在z>> 的远场下光束传播的角度是多少？
由高斯光束方程（17.1~17.5），在远场中从尺寸为 的束腰通过的高斯光束，它的1/e强度斑尺寸如下
ω（z）= = （z>> ）（12）
化简为
×ω（z）≈ （13）
然而过去记录里我们有更有用的归纳总结，当圆孔半径为a=（ ）ω或者直径为πω时，孔将通过高斯光束超过99％的总功率。我们经常运用这作为实际的设计准则来设计高斯光束的孔面积，趋向于取“d=πω”或者是99％准则。（当d=3ω时，我们可以很好的观察到光孔将传输98.9％的功率.）图17.4展示一些高斯光束重要的直径落在高斯光束轮廓上。
对于有普遍天线理论的高斯光束来说，这是一个十分精确的公式，表述如下
在物理学方面，这个定理说明，假如我们测量平面波辐射从一个矢量角Ω=（θ，φ）方向到达有效孔面积为A（Ω）的一个天线，然后对所有可能角度dΩ的测量面积进行积分，，结果（任何形式的无损天线）大多数时候用于衡量波长λ。结果是固定的，不管是对于任何天线，不管是任何的无线电波，微波或者是光学波长。
聚焦光斑尺寸
在通常情况下，高斯光束被一面焦距为f的棱镜聚焦，如图17.11所示，简化为像之前17.9所示远场光束问题。束腰区域现在变成了斑尺寸 的焦点，而且聚焦棱镜的焦距在远场中z≈±f。假设ω（f）为高斯光束在在透镜上的尺寸，我们能有如公式17.13相同的关系，但是是相反的联系，
在实际情况下以上公式有什么隐身意义？
为聚焦高斯光束的有效直径。
聚焦透镜的焦距f的值（也叫相对孔径或者透镜的感光度），定义为
≡ （26）
聚焦斑直径，我们总结出来的规则如下
选择一种能得到基本相同结果的非传统方法，我们能计算假如一束带着总能量P的高斯光束，然后我们用一面焦距为f的透镜聚焦，对透镜直径用相同的D=πω准则。接下来在光束聚焦的中间峰强度如下
源光圈尺寸（在束腰）和远场立体角传播的叉乘为为λ平方，尽管精确的数字基于我们选择的面积和立体角，在将来我们将看到更多细节。
远场光束角：1/e准则
另一个也是可能更合理的远场束角的定义用到光束直径的1/e或者86%准则，这样通过
在电场中巨大距离z里相应1/e强度的点的宽度定义的远场半角。
由以上定义得，在远场中，光束通过1/e强度的点组成半角 ，如图17.9所示：
光圈衍射效应
然而，光学设计中应该注意到，与圆孔不一样的是方形边缘的孔，即使他们之削弱了一束光总功率中很小的一部分，也会产生光圈衍射效应如图17.5，这将致使传输光束在近场（fresnel）和远场（Fraunhofer）辐射图形产生剧烈的变形。
我们将在接下来的章节里介绍，例如，理想高斯光束在通过光斑尺寸为d=πω且有锐利边缘的圆孔时产生的衍射效应导致强度变化ΔI/I≈±17％的近场衍射涟漪，同样在远场轴向的峰强度大约17%的衰减。我们必须放大有锐利边缘的孔的尺寸d≈4.6ω来减少1%的衍射涟漪效应的影响。
然后准直光束距离和传输孔尺寸之间的关系用公式表达为
Collimated range=2 = ≈ . (11)
图17.8和表17.1展示了两束不同波长激光准直范围的典型的数据。一束可见光通过1cm的光孔能投射出有几毫米的有效直径的光束，它在传播50米后者更远距离后没有严重的衍射。
这样的光束能用于例如在建设项目中做准直的‘无重力的弦’。在光电池列阵的辅助下，能很容易的发现这样一束光的中心，而且在整个传输距离里准确性好于ω/20，或者一毫米的小部分。
光束的准直：瑞利半径和共焦参数
另外一个重要的问题是理想高斯光束从束腰区域传播出来时衍射分散扩大的速度有多少，后者，实际上，我们要知道一束准直的高斯光束开始很大的分散之前的距离是多少？
光斑尺寸ω随距离的变化由方程17.5给出，图17.6展示了两个不同的束腰半径 和 > ，随着传输的距离剧烈的扩大。主要点是当入射光斑在束腰的尺寸 越小，光束由于衍射分散得越迅速；再近场内保持准直一段比较短的距离；在远场分散一个大的束角。
如图17.1所示：
在另外平面z的高斯光束的归一场方向图将有以下方程
复合的曲率半径与光斑的尺寸和曲率半径在任意z平面都有以下定义关系：
在真空中参数遵守传输定理：
有初始值
记在这些方程里的λ的值为光束在这些介质中传输的放射波长。
高斯光束所有重要的性质都能用束腰尺寸 和 比值用以下方程联系：
换句话说，沿场方向的整个高斯光束以在束腰上的单一的因素 （或者 ，或者 ）为特点，还有在介质传输的波长λ。
我们介绍的准则中没有一个可以定义有效孔尺寸和极其精确的有效立体角，以上准则中我们选择哪一个取决于针对什么样的目标。
曲率半径
我们接下来来看高斯光束曲率半径随距离的变化。高斯光束曲率半径R（z）随距离变化规律如下：
在图17.10中标出沿法线方向的变化。
在束腰上波前是平坦的或者是平面时，相当于曲率半径R（0）=∞。然而，随着光束向外传播，波前变得弯曲，曲率半径的值非常迅速的减少（图17.10）。在超过瑞利范围适当距离R（z）≈z时再次增加，换言之，高斯光束的光束束腰基本上变成球形波的中心。在物理方面为波前曲线的中心开始于-∞到波前恰好落在光束束腰上，然后单调向这束腰，直到波前移到z→+∞。
将束腰的光斑尺寸和远场联系起来。高斯光束在远场中呈角度传播能用几种方法联系近场光束尺寸后者孔面积，这基于我们的要求。
例如，远场沿轴向的光束强度如下
因此，在轴向与总功率相同的光束强度分散到面积π （2）/2= /2π 。在远场中相等的‘礼帽’分散的立体角 (z)，由下给出
与此同时，由17.7给出的方程 =π /2为‘相同大礼帽’的柱状光束面积。这两个参数的乘积为
能看出在实际聚焦问题中，入射的高斯光束应该填满聚焦透镜的最大面积，来保证高斯光束通过有限孔径的透镜时没有一丝能量的丧失，（同时也没有边缘衍射效应）。在实际设计中一个合理的准则，我们可以采用聚透镜的直径d为D=πω（f）或者99%准则，所以我们将在透镜中损失小于1%的能量，同时我们也可以采用1/e或者d=2 准则来选择聚焦斑点的有效直径，因为这个直径可以通过86%的能量，和在功率强度已经减少峰值的1/ ≈14%的边缘。结合上面准则有
17.1高斯光束特性
在本节中我们首先观察低阶高斯光束物理的性质，包含光圈传输，平行光距离，远场角光束传播和高斯光束传播的其他的实际方面。
解析表达式
让我们总结低阶高斯光束的特点在一斑点尺寸 和在横向尺寸的平面波前 =∞情况下，在一个简化的参考平面，我们令z=0.从今以后，这个平面将被显而易见的原因证明为束腰。
远场光束角：守恒准则
最后，一个更为保守的方法来表示所有的点，我们可以用d=πω或者99%原则代替1/e原则来定义有效来源光圈尺寸和有效远场立体角。然后我们可以知道初始的斑尺寸 从直径d=π 源孔传输将产生含能量99%的远场光束，其锥形的分散角2 =πω（z）/z。在此基础之上，我们来源光圈面积 为π /4和光束远场立体角 =π ；这些可以用更保守的方式联系起来
b=2 = =confocal parameter(10)
共焦参数广泛用于描述高斯光束。，如图17.7所示，瑞利范围 ≡b/2在运用于大多数高斯光束有关的公式里。
准直高斯光束传播
在实际情况下，一束光的准直束腰区域在超过多少距离后扩大？为对这个问题得到更深的了解，我们可以设计高斯光束从一个直径为D的有微小汇聚的初始光圈传播出来，入图17.8所示，结果是光束在离开瑞利范围后缓慢的聚焦到束腰上，其尺寸为 ，然后又从新扩散到另一边的相同直径D（或者说相同聚焦界限）的瑞利范围上。例如，我们选择孔直径为πω或者是穿过总功率为99%原则，所以我们在每一个结尾选定D=π× 。
两倍的半角给出全角：
对于高斯光束，可以用更精确的公式化的表述，我们在第一章给出近似的关系Δθ≈λ/d。我们可以利用由有角的传输来定义圆锥相同的基础来定义高斯光束的立体角 ，或者
如之前记录一样，在远场中，这圆锥发散将包含光束总功率的86%。
猜想我们相同的1/e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径（忽略在束腰位置一个半径a= 的孔实际上在远场部分将产生大量的衍射效应）。在1/e定义下，有效圆孔面积 ≡π /2与有效远场立体角π 的乘积为
17章--高斯光束的物理特性
之前的章节建立了计算在真空中的光束特性的分析工具，然而，我们也需要对真实光束特性的物理的，直观的理解--下两节将尝试建立一个了解。
特别地，我们以前章节介绍的哈密顿-高斯和拉格拉日-高斯模型都是数学方面的，而且也为拥有有限直径反射镜的、稳定的、激光共振器的传输模型提供了好的近似。因此高斯或者类高斯光束在分析激光问题和有关光学系统的问题得到广泛的应用。高斯光束特性的物理和数学理解是特别重要的。在这章里我们回顾在真空中的理想高斯光束的大多数重要的物理特性。
曲率共焦
曲率的最小半径发现在从束腰开始的一段距离z= 的波前，半径值R=b=2 。波前的曲率中心点，坐落在z=+ ，反过来也一样在z=- 点，如图17.10所示。
某特定的间距根据可靠的共振器理论有一个特殊的意义，设想波前曲线R（z）在± 时
在两点安装配套的两个半径为R的镜子，它们之间的距离L=R=b=2 。这样一个半径为R的镜子的焦点坐落于f=R/2，两个镜子的焦点一致的在共振器的中心。这两个镜子叫做对称共焦谐振器，共焦因子为b≡2 ≡2π /λ。我们在接下来探索这样一个独特的，有趣特构造征的共振器。
参考文献
对于瑞利半径的更深层次了解能在J.F.Ramasy的”Tubular beams from radiating apertures”中查阅到，微波前沿章节，Vol.3,ed.by L.F.Young(Academic Press,New York,1968),p.127.
对相同的意见的更早期的理解可以参考Lord Rayleigh(J.W.strutt)本人的文献”On images formed with or without reflection or refraction,”Phil.mag.11,214-218(1881),和”On pinholephotography,”Phil.mag.31,87-89(1891.)
实际上，在光束直径增加到束腰时的 倍，或者是光斑面积加倍时，光Βιβλιοθήκη Baidu从束腰传播出来的距离由以下参数简单给定
术语瑞利半径有时候用于天线原理，描述准直的光束通过直径为d（假设d》λ）天线孔后开始剧烈的分散时的距离z≈ /λ。因此我们采用相同的术语命名 ≡π /λ。高斯光束从束腰传播出时，瑞利范围标记了在‘近场’（fresnel）和‘远场’（fraunhofer）区域的分解线。
有效直径和均匀的拥有相同峰值强度和相同总功率的柱状光束的面积作为一束柱状高斯光束将是：
如图17.2所示。
孔明显比所需的要大，然而，要穿过一个真正的光斑尺寸为ω的，没有减掉外沿的高斯光束。例如，光斑尺寸为ω的高斯光束通过集中在直径为2a的圆孔时有极小的的能量会转让掉，，如图17.3所示：
图中标出了圆孔半径a的圆孔对于光斑尺寸ω光的传输比值。半径a=ω的孔可以传输高斯光束86％的总功率。我们定义光衰减到86％或者 时为孔尺寸。
光圈传输
在分析真空中理想高斯光束传播特性前,我们可以简要的了解在任何真正的光学系统存在的有限尺寸光孔的渐晕效应.光斑尺寸半径ω之后，高斯光束的强度减弱是非常迅速的。
一个实际的光孔必须是多大才能使高斯光束上的截断效应之前能被忽略。
猜想我们定义一束光的总功率为P= dA，其中dA表示横截面的面积，在孔尺寸ω中高斯光束的辐射强度变化如下：
问题17.1
略
17.2高斯光束的聚焦
在平行高斯光束传播很远距离时，我们经常对将这样光束在聚焦到一个很小的斑很感兴趣，记录数据到影碟或者磁带上，或者在刀片上打洞，或者在激光显微镜下计数细胞核。（因为关于红宝石激光器强度规范的证明，通过仅仅使用一次激光射击就可以在一片或者多片的刀片上击出一个孔，脉冲激光器能量偶尔在“Gillettes”中被引用。）通过高斯光束的聚焦能获得什么种类的光斑尺寸和光强－或者是对任何结构完整的高斯光束产生的问题。
猜想我们相同的1e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径忽略在束腰位置一丧半径定义下有效圆孔面积a12对于有普遍天线理论的高斯光束来说这是一丧十分精确的公式表述如下在物理学斱面这丧定理说明假如我们测量平面波辐射从一丧矢量角斱向到达有效孔面积为a的一丧天线然后对所有可能角度测量面积迚行积分结果任何形式的无损天线大多数时候用于衡量波长
远场光束角：“礼帽”准则
接下来我们设想在远场情况下，当光束尺寸随距离变化线性变化时，如图17.9.在z>> 的远场下光束传播的角度是多少？
由高斯光束方程（17.1~17.5），在远场中从尺寸为 的束腰通过的高斯光束，它的1/e强度斑尺寸如下
ω（z）= = （z>> ）（12）
化简为
×ω（z）≈ （13）
然而过去记录里我们有更有用的归纳总结，当圆孔半径为a=（ ）ω或者直径为πω时，孔将通过高斯光束超过99％的总功率。我们经常运用这作为实际的设计准则来设计高斯光束的孔面积，趋向于取“d=πω”或者是99％准则。（当d=3ω时，我们可以很好的观察到光孔将传输98.9％的功率.）图17.4展示一些高斯光束重要的直径落在高斯光束轮廓上。
对于有普遍天线理论的高斯光束来说，这是一个十分精确的公式，表述如下
在物理学方面，这个定理说明，假如我们测量平面波辐射从一个矢量角Ω=（θ，φ）方向到达有效孔面积为A（Ω）的一个天线，然后对所有可能角度dΩ的测量面积进行积分，，结果（任何形式的无损天线）大多数时候用于衡量波长λ。结果是固定的，不管是对于任何天线，不管是任何的无线电波，微波或者是光学波长。
聚焦光斑尺寸
在通常情况下，高斯光束被一面焦距为f的棱镜聚焦，如图17.11所示，简化为像之前17.9所示远场光束问题。束腰区域现在变成了斑尺寸 的焦点，而且聚焦棱镜的焦距在远场中z≈±f。假设ω（f）为高斯光束在在透镜上的尺寸，我们能有如公式17.13相同的关系，但是是相反的联系，
在实际情况下以上公式有什么隐身意义？
为聚焦高斯光束的有效直径。
聚焦透镜的焦距f的值（也叫相对孔径或者透镜的感光度），定义为
≡ （26）
聚焦斑直径，我们总结出来的规则如下
选择一种能得到基本相同结果的非传统方法，我们能计算假如一束带着总能量P的高斯光束，然后我们用一面焦距为f的透镜聚焦，对透镜直径用相同的D=πω准则。接下来在光束聚焦的中间峰强度如下
源光圈尺寸（在束腰）和远场立体角传播的叉乘为为λ平方，尽管精确的数字基于我们选择的面积和立体角，在将来我们将看到更多细节。
远场光束角：1/e准则
另一个也是可能更合理的远场束角的定义用到光束直径的1/e或者86%准则，这样通过
在电场中巨大距离z里相应1/e强度的点的宽度定义的远场半角。
由以上定义得，在远场中，光束通过1/e强度的点组成半角 ，如图17.9所示：
光圈衍射效应
然而，光学设计中应该注意到，与圆孔不一样的是方形边缘的孔，即使他们之削弱了一束光总功率中很小的一部分，也会产生光圈衍射效应如图17.5，这将致使传输光束在近场（fresnel）和远场（Fraunhofer）辐射图形产生剧烈的变形。
我们将在接下来的章节里介绍，例如，理想高斯光束在通过光斑尺寸为d=πω且有锐利边缘的圆孔时产生的衍射效应导致强度变化ΔI/I≈±17％的近场衍射涟漪，同样在远场轴向的峰强度大约17%的衰减。我们必须放大有锐利边缘的孔的尺寸d≈4.6ω来减少1%的衍射涟漪效应的影响。
然后准直光束距离和传输孔尺寸之间的关系用公式表达为
Collimated range=2 = ≈ . (11)
图17.8和表17.1展示了两束不同波长激光准直范围的典型的数据。一束可见光通过1cm的光孔能投射出有几毫米的有效直径的光束，它在传播50米后者更远距离后没有严重的衍射。
这样的光束能用于例如在建设项目中做准直的‘无重力的弦’。在光电池列阵的辅助下，能很容易的发现这样一束光的中心，而且在整个传输距离里准确性好于ω/20，或者一毫米的小部分。
光束的准直：瑞利半径和共焦参数
另外一个重要的问题是理想高斯光束从束腰区域传播出来时衍射分散扩大的速度有多少，后者，实际上，我们要知道一束准直的高斯光束开始很大的分散之前的距离是多少？
光斑尺寸ω随距离的变化由方程17.5给出，图17.6展示了两个不同的束腰半径 和 > ，随着传输的距离剧烈的扩大。主要点是当入射光斑在束腰的尺寸 越小，光束由于衍射分散得越迅速；再近场内保持准直一段比较短的距离；在远场分散一个大的束角。
如图17.1所示：
在另外平面z的高斯光束的归一场方向图将有以下方程
复合的曲率半径与光斑的尺寸和曲率半径在任意z平面都有以下定义关系：
在真空中参数遵守传输定理：
有初始值
记在这些方程里的λ的值为光束在这些介质中传输的放射波长。
高斯光束所有重要的性质都能用束腰尺寸 和 比值用以下方程联系：
换句话说，沿场方向的整个高斯光束以在束腰上的单一的因素 （或者 ，或者 ）为特点，还有在介质传输的波长λ。
我们介绍的准则中没有一个可以定义有效孔尺寸和极其精确的有效立体角，以上准则中我们选择哪一个取决于针对什么样的目标。
曲率半径
我们接下来来看高斯光束曲率半径随距离的变化。高斯光束曲率半径R（z）随距离变化规律如下：
在图17.10中标出沿法线方向的变化。
在束腰上波前是平坦的或者是平面时，相当于曲率半径R（0）=∞。然而，随着光束向外传播，波前变得弯曲，曲率半径的值非常迅速的减少（图17.10）。在超过瑞利范围适当距离R（z）≈z时再次增加，换言之，高斯光束的光束束腰基本上变成球形波的中心。在物理方面为波前曲线的中心开始于-∞到波前恰好落在光束束腰上，然后单调向这束腰，直到波前移到z→+∞。
将束腰的光斑尺寸和远场联系起来。高斯光束在远场中呈角度传播能用几种方法联系近场光束尺寸后者孔面积，这基于我们的要求。
例如，远场沿轴向的光束强度如下
因此，在轴向与总功率相同的光束强度分散到面积π （2）/2= /2π 。在远场中相等的‘礼帽’分散的立体角 (z)，由下给出
与此同时，由17.7给出的方程 =π /2为‘相同大礼帽’的柱状光束面积。这两个参数的乘积为
能看出在实际聚焦问题中，入射的高斯光束应该填满聚焦透镜的最大面积，来保证高斯光束通过有限孔径的透镜时没有一丝能量的丧失，（同时也没有边缘衍射效应）。在实际设计中一个合理的准则，我们可以采用聚透镜的直径d为D=πω（f）或者99%准则，所以我们将在透镜中损失小于1%的能量，同时我们也可以采用1/e或者d=2 准则来选择聚焦斑点的有效直径，因为这个直径可以通过86%的能量，和在功率强度已经减少峰值的1/ ≈14%的边缘。结合上面准则有
17.1高斯光束特性
在本节中我们首先观察低阶高斯光束物理的性质，包含光圈传输，平行光距离，远场角光束传播和高斯光束传播的其他的实际方面。
解析表达式
让我们总结低阶高斯光束的特点在一斑点尺寸 和在横向尺寸的平面波前 =∞情况下，在一个简化的参考平面，我们令z=0.从今以后，这个平面将被显而易见的原因证明为束腰。
远场光束角：守恒准则
最后，一个更为保守的方法来表示所有的点，我们可以用d=πω或者99%原则代替1/e原则来定义有效来源光圈尺寸和有效远场立体角。然后我们可以知道初始的斑尺寸 从直径d=π 源孔传输将产生含能量99%的远场光束，其锥形的分散角2 =πω（z）/z。在此基础之上，我们来源光圈面积 为π /4和光束远场立体角 =π ；这些可以用更保守的方式联系起来