切线的性质定理和判定定理
(完整)圆切线证明的方法
切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。
圆的切线的性质及判定定理 课件
【典例训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cB的关系为( )
(A)相切
(B)相离
(C)相交
(D)无法判断
2.如图所示，CB为⊙O的直径，P是CB的延
长线上一点，且OB=BP，∠AOC=120°，
则PA与⊙O的位置关系是_____.
圆的切线的性质
圆的切线的性质 (1)已知一条直线是圆的切线时,常作出过切点的半径,则该半 径垂直于切线,从而出现了直角. (2)从圆外一点引圆的两条切线,这点与圆心的连线平分这两条 切线的夹角,这点到切点的切线长相等. (3)连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径.
【典例训练】 1.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知 ∠D=46°，则∠A=_____.
DO AD
AD
2.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上的一点，AC是 半圆O的切线，D为切点，BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则 AE=_______.
【解析】1.如图所示，连接OB，OC，
则OB⊥BD，OC⊥CD，
则∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°，
则四边形OBDC内接于一个圆，
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°，
【解析】连接OC，∵OA=OB,AC=CB,OC=OC, ∴△OAC≌△OBC, ∴∠OCA=∠OCB=90°, ∴直线AB与⊙O相切. 答案：相切
1.圆的切线的其他相关性质 (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半径; (3)过圆心且过切点的直线与过该点的切线垂直.
2.切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径外 端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是 圆的切线，如图①②中的例子就不同时满足这两个条件，所以 都不是圆的切线.
圆的切线性质定理
圆的切线的判定与性质【知识点精析】1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。
这条直线叫圆的切线。
2. 圆的切线的判定与性质：（1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径（2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。
例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。
3. 切线长定理：（1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。
圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。
（2）切线长性质从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。
例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12求圆半径（3）三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到三角形三边的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点【解题方法指导】一切线长定理的计算例1. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径BC2 在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。
二等腰三角形在证明切线中的巧用例3、如图7-53，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ．4已知：AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，D 为AB 上一点，过D 点作AB 的垂线DE 交AC 于F ，EF=EC 。
切线的性质定理和判定定理
直线与圆有唯一公共点时，直线与圆 相切。通过证明直线与圆的交点唯一 ，可以判定直线与圆相切。
判定定理2
圆心到直线的距离等于半径时，直线 与圆相切。利用点到直线的距离公式 ，可以计算出圆心到直线的距离，进 而判定直线与圆的位置关系。
结合多种方法解决复杂问题
在解决复杂问题时，可以结合切线性质定理和判定定理，以及其他数学知识如三角函数、相似三角形等，建立方程或不等式 组，逐步求解。
VS
利用直线与圆的公共点的个数来判断。 若直线与圆只有一个公共点，则该直 线为切线；若有两个公共点，则为割 线。
04 判定定理三：切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线
切线的定义
从圆外一点引到圆上的线段 ，如果它的端点在圆上，则 这条线段叫做圆的切线。
切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半 径。
切线长的定义
从圆外一点引圆的两条切线 ，它们的切线长分别是从该 点到切点的线段的长度。
它们的切线长相等
切线长定理的表述
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
切线长定理的证明
由于两条切线都垂直于过切点的半径，因此它们与半径构成的直角三角形全等，从而得出切线长相等。
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
01
公共点的存在表明割线与圆有交点， 是判定割线与圆位置关系的重要依据。
割线长度大于切线长度
从圆外一点引两条线，一条是切线，一条是割线，则切线长小于割线长。
切线长是指从圆外一点引到圆上的切线段的长度，而割线长则是指从同一点引到圆上的割线段的长度 。
割线与圆相切判定方法
利用圆心到直线的距离等于半径来判 断。若圆心到直线的距离等于半径， 则该直线为切线；若距离大于半径， 则为割线。
三圆的切线的性质及判定定理2
证明: 连接OD， BD CD,OA OB OD是ABC的中位线, OD // AC, AED EDO 180 0, AED 900 EDO 900
又 D在圆周上 DE是圆O的切线.
C
D E
B
O
A
例2 如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过点C 的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分DAB.
证明: 连接OC， CD是圆O的切线， OC CD,
又 AD CD, OC // AD,
CAD ACO OA OC
ACO CAO
CAD CAO. 故AC平分DAB.
D C
B
A
O
小结
1、圆的切线的性质定理 2、圆的切线的判定定理
M A
因此，l与OA一定垂直.
l
O
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径． A
推论１
l
O
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论 2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
已知：如图，点 A是圆O与直线l的公共点且 l OA. 求证：直线 l是圆O的切线.
证明：在直线l上任取异于点A的点B，连接OB，
则有，ABO是直角三角形，
OB OA. 因此，点B在圆外.
由点B的任意性，可知
B A
直线与圆只有一个交点， l
因此，l是圆的切线.
O
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线．
例1 如图，AB是圆O的直径，圆 O过BC的中点D，DE AC . 求证： DE 是圆O的切线.
知识回顾
直线与圆的位置关系：
相交 相切 相离
有两个公共点 有一个公共点 没有公共点
切线的判定和性质
（打印3份）圆----切线的性质和判定（11月12）A、知识点、方法归纳总结知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“连半径，证垂直。
”知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
记为“见切线，连半径，得垂直。
”中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。
B、证明圆的切线方法及例题一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900.⌒ ⌒即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 变式练习： 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.例3 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形. ∴∠CBO=600. OB=BC. ∵OB=BD ， ∴BC=BD.∴∠CDO=300∴∠OCD=180°-300-600=900. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.变式练习：如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例4 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线变式练习： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.C 、作业部分1、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°2、O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .3、如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.4、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．求证：BC与⊙O相切；6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，求CD ：DE 的值7、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．EB8、如图，⊙ O经过点B、D、E，BD是⊙ O的直径，∠C＝90°，BE 平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙ O的切线；(2)当AE＝4，AD＝2时，求⊙ O的半径及BC的长．9、如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB 与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F ,连接OC、(1）求证：CE是⊙O的切线。
3.4.3圆的切线性质定理
练习与巩固：
1、如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°， 则∠BAC等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10°
O B A
（1）
A E
C
O B
（3）
B
D
（2）
C
A
2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于 点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于___ _度. 3、如图,在△OAB中,OB：AB=3：2 , 0B=6，⊙O与AB相切 于点A, 则⊙O的直径为 。
4、如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠APB=50°, 点C是优弧上的一点,则∠ACB=___.
A
C
C
O B
P
A
O
B
P
（4）
（5）
5、如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线 PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（ ）
A.
5 3 3
B.
5 3 6
C. 10
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
3.4 直线和圆的位置关系(3) 切线的性质定理
切线的作法：
(1)连接半径；
(2)过半径的外端点作半径的垂线。 切线的判定：
1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。
3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
D. 5
辅助线的作法：作过切点的半径
6、在△ABC中，AB=2，以A为圆心，1为半径的圆与边BC 相切于点D ，则BD的长为 。
变式一：在△ABC中，AB=2，AC= 半径的圆与边BC相切 ，则BC的长为 ，以A为圆心，1为 。
关于圆的切线的各种定理
切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵l l ⊥⊥OA OA，，点A 在⊙O 上∴直线l 是⊙O 的切线（切线判定定理）切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径几何语言：∵OA 是⊙O 的半径，直线l 切⊙切⊙O O 于点A∴l l ⊥⊥OA OA（切线性质定理）（切线性质定理）推论1 1 经过圆心且垂直于切经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点推论2 2 经过切点且垂经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何语言：∵直线PA PA、、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点∴PA=PB PA=PB，∠，∠，∠APO=APO=APO=∠∠BPO BPO（切线长定理）（切线长定理）证明：连结OA OA、、OB∵直线PA PA、、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点∴OA OA⊥⊥AP AP、、OB OB⊥⊥PB∴∠OAP=OAP=∠∠OBP=90OBP=90°°在△OPA和△OPB中：中：OAP=∠∠OBP∠OAP=OP=OPOA=OB=rHL））（HL∴△OPAOPB（OPA≌△≌△OPB∠BPOAPO=∠∴PA=PBPA=PB，∠，∠APO=弦切角概念顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；所在的射线；（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。
它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可准，三者缺一不可 （4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．弦切角定理对的圆周角等于所夹的AC)对的圆周角等于所夹弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角很完整，图中没有连结OC]几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC弦切角定理） ∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等，弧MN =MN =弧弧PQPQ ，弧，∠2所夹的是PQ几何语言：∵∠1所夹的是弧MNMN ，∠2∴∠1=∠2AD⊥EC证明：作AD⊥ECADC=90°∵∠ADC=90°ACD+∠CAD=90°∴∠ACD+∠CAD=90°∵ED与⊙O切于点CED∴OC⊥ED∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°∴∠OCA=∠CAD OCA=∠CAD∵OC=OA=r OC=OA=r∴∠OCA=∠OAC OCA=∠OAC∴∠COA=180°COA=180°--∠OCA OCA--∠OAC=180°OAC=180°--2∠CAD 2∠CAD又∵∠ACD=90°ACD=90°--∠CAD ∠CAD∴∠ACDC=1/2∠COA ACDC=1/2∠COA∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA COA=1/2=1/2弧AC 的度数的度数切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线的性质
切线必须同时满足两条：①经过半径 外端；②垂直于这条半径．
如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A， 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A
O
l A
∴ l ⊥OA
切线的性质定理：圆的
切线垂直于过切点的半径。
数学语言：
O l A
∵ l是⊙O的切线，切点为A
∴ l ⊥OA
A P
C B
O
如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一 点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，切AC 与点D。求证：DE∥OC
C 证明：连接ＢＤ． ∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径 ∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线 ∵ＡC是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点 ∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２ ∴ＯＣ⊥ＢＤ ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径 ∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ ∴ＤＥ∥ＯＣ A E D O
勾股（逆）定理 切 线 判 定
∴C(-2,0), P(0,-4) 数据“放入”图中。猜想直线 又∵ D(0,1) OC=2, OP=4 ,OD=1, DP=5 PC 与⊙ D∴ 相切。怎么证？联 又∵在Rt△COD中, CD2=OC2+OD2=4+1=5 想证明切线的两种方法。点 在Rt△COP中, CP2=OC2+OP2=4+16=20 C 在圆上，即证：∠ DCP=90° 在△ CPD中, CD2+CP2=5+20=25, DP2=25 2 2 2 ∴ CD +CP =DP 利用勾股及逆定理可得。
即：△CDP为直角三角形,且∠DCP=90° ∴PC为⊙D的切线.
已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点,交x轴负 半轴于C点,过C点的直线:y=－2x－4与y轴交于P. ⑵判断在直线PC上是否存在点E，使得S△EOC= 4S△CDO,若存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
切线的性质定理
O
A
L
B
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
例题3
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm) 则有 x＋y＝9 y＋z＝14 x＋z＝13 x＝4 解得 y＝5 z＝9
A F D O
·
B
C E 由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD
设AD= x , BE= y ,CE＝ r x＋r＝4 则有 y＋r＝3 解得 r＝1 ∴ Rt△ABC的内切圆的 半径为1。 x＋y＝5
（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、 AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC A 为正方形。
A
C D B
P
OA=OB=OD=OE, PA=PB, AC=BC, AE=BE
例题1
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是 A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交 PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的 周长。 易证EQ=EA, FQ=FB, PA=PB
A E Q P B F O
切线的性质
复习回顾
经过半径的外端并且垂直于这条 1.切线的判定定理 半径的直线是圆的切线
2.切线的判定方法：
（１）定义 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和
圆相切。
( 2 ) d=r
直线与圆相切
（３）切线的判定定理. 已知直线过圆上一点： (连半径，证垂直）
圆的切线的性质及判定定理 课件
如图 2－3－2 所示，已知
AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切 于点 C，AC 平分∠DAB，AD⊥CD.
(1)求证：OC∥AD；
(2)若 AD＝2，AC＝ 5，求 AB 的长． 图 2－3－2
【思路探究】 (1)要证 OC∥AD，只需证明 OC⊥CD.
(2)利用△ADC∽△ACB 可求得．
1．利用圆的切线的性质来证明或进行有关运算时，常 用连接圆心与切点的半径与切线垂直这一理论产生垂直关 系．
2．常作的辅助线： (1)连接切点与圆心的半径． (2)构造直径所对的圆周角．
如图 2－3－3，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交 BC 于 D，过 D 作⊙O 的切线交 AC 于 E.求证：DE⊥ AC.
1．“以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的 直径”这句话对吗？为什么？
【提示】 正确．如图 AB、CD 分别切⊙O 于 E、F， 连接 EO 并延长交 CD 于 F′，∵AB 是⊙O 的切线，∴OE
⊥AB.∵AB∥CD，∴OF′⊥CD，∴F′为切点，∴F′与 F
重合，即 EF 是⊙O 的直径．
图 2－3－3
【证明】 如图，连接 OD、AD. ∵AB 为⊙O 直径，∴AD⊥BC. ∵AB＝AC，即△ABC 为等腰三角形， ∴AD 为 BC 边上的中线， 即 BD＝DC.又 OA＝OB， ∴OD 为△ABC 的中位线．
∴OD∥AC.
∵DE 切⊙O 于 D，∴OD⊥DE. ∴DE⊥AC.
如图 2－3－4，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠ BAF 交⊙O 于点 E，过 E 作直线与 AF 垂直，交 AF 的延长线 于点 D，且交 AB 的延长线于点 C.求证：CD 是⊙O 的切线．
切线的判定和性质定理_课件
提示：连接AO，DO，作 OE⊥AC 于点E．
E
总结：看到切线，就要连接切点和圆心，利用切线性质．
AB 是 ⊙O 的直径，AE 平分∠BAC 交 ⊙O 于点E，过点 E 作⊙O 的切线交AC 于点D，试判断△AED 的形状，并说明理 由提．示：连接OE．
答案：△AED是直角三角形． 总结：看到切线，就要连接切点和圆心，利用切线性质．
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法? 有以下三种方法： 1．定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线． 2．数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆 的切线． 3．判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线．
生活中的切线
1．当你在下雨天快速转
2．砂轮打磨零件时
知识回顾 直线和圆的位置关系
相交
图形
公共点个数 公共点名称 直线名称 距离d与半径r的关系
2个 交点 割线 d＜r
相切
相离
1个 切点 切线 d=r
0个 —— —— d＞r
思考
如图，在 ⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA， 则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和 ⊙O 有什么位置关 系？
圆的切线垂直于过切点的半径．
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径．
几何表述： ∵ l 与 ⊙O 相切于点 A ∴ OA⊥l
切线的性质定理的证明
证明切线性质定理需要用到反证法：
假设OA与 l 不垂直，
过点O 作OM⊥l，垂足为M．
M
根据垂线段最短的性质，有OM＜OA，
这说明圆心 O 到直线l的距离小于半径OA．
提示：连接OD，证明三角形全等.
补充题
切线的判定与性质课件
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作 圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. （难点）
切线的判定与性质
1
导入新课
情境引入
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是 否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
切线的判定与性质
19
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，C
O
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中，
则PA与☉O的位置关系是相切 .
A
D C
P
O
PA O
B
第2题
第3题
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，
∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，
则∠ADP的度数为（ C ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
切线的判定与性质
23
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
A
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
切线的判定与性质
O
C
B
8
例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点， ⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
中考复习切线的判定和性质
中考复习专题切线的判定和性质知识点与对应习题知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法有两种：（1）当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“点已知，连半径，证垂直。
”应用的是切线的判定定理。
（2）当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d ）等于半径(r)，记为“点未知，作垂直，证半径”。
应用的是切线的识别方法（2）。
知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
记为“见切线，连半径，得垂直。
” 中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。
对应习题一、填空（1）如图1，PA 是⊙O 切线,切点为A ，PA=2√3，∠APO=30°,则⊙O 半径为°＿＿。
（2）如图2，已知直线AB 是⊙O 切线，A 为切点，∠OBA=52°,则∠AOB=＿. （3）如图3，点A 、B 、D 在⊙O 上，∠A=25°，OD 的延长线交直线BC 于点C,且∠OCB=40°,直线BC 与⊙O 的位置关系为＿＿。
(图1) （图2） （图3）(4)已知⊙O 直径为8cm ，直线L 到圆心O 的距离为4 cm ，则直线L 与⊙O 的位置关系为＿＿。
二、选择（5）如图4，CA 、CB 分别切⊙O 于A 、B ，∠C=76°，∠A=( )°PCA 152°B 104°C 76°D 52°(6) CA 、CB 分别切⊙O 于A 、B,P 为⊙O 上不同于点A 、B 的一点，∠C=70°，则∠APB=( )°A 25°B 55°C 125°D 55°或125°（7）如图5，已知⊙O 直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P,则 ∠P=( )°A 15°B 20°C 25°D 30°（图4） （图5）8)如图6，⊿ABE 中，AE=BE,以AB 为直径的⊙O 交BE 于C,CD 切⊙O 于C 并交AE 于D,若C D ⊥AE,则∠A 的度数为（ ）。
人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定与性质课件(共24张PPT)
知识回顾
直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一
个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆
心与直线的距离等于该圆的半径时，直 线与圆相切.
O
l
O d=r
l
新知探究
知识点1 切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA. （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
l
∴OA⊥l
ห้องสมุดไป่ตู้ 反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相 C 矛盾；
A MD
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂直，证半径.
随堂练习
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，
d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已 知 ： 直 线 AB 经 过 ⊙ O 上 的 点 C ， 并 且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.
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例5、如图：点O为∠ABC平分 线上一点，OD⊥AB于D，以O
为圆心，OD为半径作圆。 求证：BC与作⊙O相切。
作OE⊥BC于E
当已知条件中没有明确 直线与圆是否有公共点时
辅助线：是过圆心作这条 直线的垂线段。
A
D
Ｏ B
C
E
再证明这条垂线段的长等于半径。
⑵∠O=68.5°,∠A=21°30′
B
O
A
B
2、如图，AB是⊙O的直径，
AT=AB，∠ABT=45°。
O
求证：AT是⊙O的切线
T
A
做一做：
ＡO B
如图ＡＢ是⊙Ｏ的直径，请分别过Ａ，Ｂ作⊙Ｏ的切线．
例1.已知:如图A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B 在圆上,且AB=BC,∠A=30°.求证:直线AB是⊙O的切线
证明：连结OB
∵OB=OC，AB=BC，∠A=30°
B
∴∠OBC=∠C=∠A=30°
∴∵一的∠∠AA般切BOOB情线==1∠况，8C0+°下它∠-O（，过B∠C要半A=O6证径B0+°明外∠A）一端C 条（直即O线一为点圆已 A 在圆上==）1980°0是°已-（6知0°给+出30°时），只需证明 ∴直AB线⊥垂OB直于这条半径。
●O
⊙O有什么位置关系?
αd ┓α
• 你能写出一个命题来表述这个事实吗?C
A
D
切线的判定定理
• 定理 经过半径的外端点,并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线.
B
如图
∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A
点,且CD⊥OA,
●O
∴ CD是⊙O的切线.
C
A
D
切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据 ;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)若∠C=30°,
Ｃ
CD=10cm,求⊙Ｏ的半径．
Ｄ
Ｅ
Ａ
O
Ｂ
4、如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，
过D作DC⊥AC ，
求证：DC是⊙O的切线。
A
O
B
D C
切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 这个定理不仅可以用来判定圆的切线,还可以依据它来画切线.
切线的性质定理和判定定理
直线与圆的位置关系量化揭密
r ●O ┐d
相交
• 直线和圆相交
直线和圆相切 直线和圆相离
r ●O
r ●O
d
d
┐
相切
┐
相离d < r;d源自= r;d > r;
切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径. 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
C
D
切线的性质定理的应用
• 已知BE为圆的切线， AB垂直于BE， ∠A=25°，求∠ABC的 度数？
B
300
30°
C
200
P
100
0 100 200 300 400 500 600 700
X(km)
2.如图,OP是⊙O的半 径,∠POT=60°,
OT交⊙O于S点.
(1)过点P作⊙O的切线.
(2)过点P的切线交OT于Q,判 断S是不是OQ的中点,并说明 理由.
T
Q S
O
P
３.证明题：
如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且 DE⊥AC.
经过半径外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
判断下图中的l 是否为⊙O的切线
O A
O
A
A O
证明一条直线为圆的切线时，必须
两个⑴半条径件缺一不⑵可外：端①过半⑶径垂外直端
②垂直于这条半径。
1、如图，已知点B在⊙O 上。根据下列条件，能否判 定直线AB和⊙O相切？
⑴OB=7,AO=12,AB=6
• 直线EF和⊙O相切， AC为直径，求证：
∠FAB= ∠D
直线何时变为切线
• 如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角 为∠α,当CD绕点A旋转时,
1.随着∠α的变化,点O到CD的距离
如何变化?直线CD与⊙O的位置关系如
B
何变化?
2.当∠α等于多少度时,点O到CD 的距离等于半径?此时,直线CD与
∴AB为⊙O的切线
例2.如图,台风P(100,200)沿北偏东30°方向移动,受台 风影响区域的半径为200km,那么下列城市 A(200,380),B(600,480),C(550,300),D(370,540) 中,哪些受到这次台风的影响,哪些不受到台风的影响?
y(km)
600
D
500
400
A