农夫分牛

农夫分牛问题·巧智隐藏的数学思维

这是著名的农夫分牛问题。在许多趣味数学书中有收录，但是都没有给出具体解题的思路和背后隐藏的数学问题。

农夫养牛17头，临死前要把这17头牛分给自己的3个儿子。遗嘱是这样的：老大得1/2，老二得1/3，老三得1/9。既不能把牛杀死，也不能卖了分钱。农夫死后，兄弟3人怎么也想不出办法。兄弟3人只好向邻居请教。邻居想了想说：我借给你们一头牛，就好分了。这样，老大得到18的1/2为9头，老二得到1/3为6头，老三得到1/9为2头，合计刚好为17头，剩下1头牛还给邻居。

农夫的问题得到解决，邻居的聪明才智令人赞扬。

我们再细细思考一下，这样分牛合理吗？也就说，老大、老二和老三得到的牛数是否真的农夫的遗嘱丝毫不差？

我们来计算一下这个问题。

第一次分后，老大得到17×1/2头牛，老二得到17×1/3头牛，老三得到17×1/9头牛。

由于牛不能分割，分数的分法在这里不起作用。这就是农夫儿子想不出办法的原因。

为什么会出现分数而不是整数呢？问题就出在这里，按照农夫的遗嘱，第一次分后牛不能够把17头牛完全分完，还剩下17/18头牛。

每个人必须按照遗嘱继续分掉剩下的牛。

第二次分后，牛也没有分完，还剩下牛17/182。每个人按照遗嘱继续分牛。

继续分下去，这是一个收敛的无穷级数。

也就是说，老大得到的牛头数为

17×1/2＋17/18×1/2＋17/182×1/2＋7/183×1/2＋……

老二得到的牛头数为

17×1/3＋17/18×1/3＋17/182×1/3＋7/183×1/3＋……

老三得到的牛头数为

17×1/9＋17/18×1/9＋17/182×1/9＋7/183×1/9＋……

计算级数1/18＋1/182＋1/183＋……=1/17

我们看到，经过级数计算的结果与邻居分牛方法完全一致。

怎样理解、分析和解答“分牛问题”

例1一位老人写了一份遗嘱，谈到他的遗产17头牛如何分配给三个儿子：“大儿子分得；二儿子分得；小儿子分得”。如何根据遗嘱进行遗产的分割呢？

这就是“分牛问题”。分牛问题的一种流行的解法是：先向邻居借一头牛，连同17头牛的遗产，一共是18头牛。然后将18头牛的，和分给三个儿子：

（头）；（头）；（头）。

三个儿子各分得9，6和2（头）牛。9+6+2=17（头）。剩下的一头牛还给邻居。

这样的计算方法似乎“巧妙”，但是却不合常规和缺乏根据。

首先，遗嘱里所说的，和究竟以什么数量作为单位“1”？遗嘱没有明说。需要我们先把它推算出来？

其次，为什么要向邻居借牛？为什么只借一头牛？道理也没有说清楚。下面的解题方法也许更为合理。

（1）首先推算单位“1”。按遗嘱分遗产应该是分配全部遗产。单位“1”的

应该相当于全部遗产，即相当于17头牛。所以单位“1”是

（头牛）

（2）有了单位“1”，就可以根据遗嘱规定的分率计算三个儿子应分得的遗产各是几头牛。

弄清了上述数量关系和计算过程，我们可以编出更多的与此类似的“分牛问题”。

例2一位老人的遗嘱规定他的全部遗产13头牛，这样分配给三个儿子：大儿子分得；二儿子分得；小儿子分得。三个儿子各应分得几头牛？。

（头），（头），（头），

答：三个儿子各应分得6，4和3（头）牛。

事实上，本题也可以作为按比例分配问题来解决。即将13头牛按（即6∶4∶3）

分配。