量子力学波函数与波动方程
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2 2 2
i t )e
描述
I12 h1 h2 h1 h2 (h1h* h*h2 ) 2 1
I1 I2 2 I1I2 cos
h1 h1 ei1 h 2 h 2 ei2
1 2
2 I1I2 cos
即为干涉项
电子的干涉现象与这完全相似，但两者的 含意是本质不同的，前者是强度，后者是接收到 的电子多少。 这启发我们，电子的双缝干涉中的现象也 可用 1, 2 函数来描述（它们一般应是复函数）
当然也不能用经典粒子和经典波来描述。
§2.1 波粒两象性：想像一个实验实验事实：
a．每次接收到的是一个电子，即电子确 是以一个整体出现； b. 电子数的强度 P1,P2，但
P1 P2 P12；
c．电子枪发射稀疏到，任何时刻空间至多 一个电子，但足够长的时间后，也有同样结果
因此，我们可得到下面的结论： a´. 不能认为，波是电子将自己以一定的 密度分布于空间形成的（因接收到的是一个个 电子），也不是大量电子分布形成的（稀疏时， 也有同样的现象）；
我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体 系去测量发现粒子可能就处于 x1 ，只测得一个 值。 但可想像有很多很多同样的体系，对体系 进行同时，完全相同的测量，测得的结果发现
n1次 x1 x1 dx
n2次 nm次
P(r, t)dr (r, t) 2 dr
（ P(r, t)dr 1 ）
说明两点： ① (r, t) 不是对物理量的波动描述。它有意 义的是，在体积元 r r dr 中发现粒子的概率 2 (r, t) dr ，所以它不代表物理实体，仅是 为 一概率波；
② 粒子是由波函数 (x, t) 来描述，但波函 数并不能告诉你，t0 时刻测量时，粒子在什么位 置。粒子位置可能在 x1 ，可能在 x 2 , 2 (x , t ) ，而 1 0 dx 在 x1 x1 dx 中发现粒子的概率为 也就是说， (x, t0 ) 2 在某 x 处越大，则在 t 0 时刻测 量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我 们讲的是能预言到什么，但我们不能说出测量的 结果）。
b´. 不能想像，电子通过 1,2 时，能像经典 电子（有轨道）那样来描述，因
P1 P2 P12
c´. 不能认为衍射可能是通过缝后，电 子相互作用所导致（稀疏时，也有同样现 象）。
总之， 电子（量子粒子）不能看作经典粒子 也不能用经典波来描述（经典波是物理 量在空间的分布）。
百度文库
双缝干涉
双缝干涉
10 平常粒子的波长 10 Å，
微观粒子，如电子 1 Å 将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来， 这在经典物理学中看来是不可能的
经典粒子 经典波 √原子性（整体性） 实在物理量的空间分布 轨道 √干涉，衍射 这两者是不相容的。 描述微观粒子既不能用经典粒子 也不能用经典波
这种干涉现象在经典中有类似现象，如水 波通过二个缝后，在接收器上的强度分布
为 I1 ，I2 ，I12 ，I1 I2 I12 。
通过缝 1 时， 水波以 h1e it 描述； i t 2 描述； 通过缝 时，水波以 h 2e 强度 I1 h1
2
2 I h ，2 2
通过 1 ，2 时， 则以 (h1 h 2
量子力学波函数与波动方程
辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么， 如何理解这两属性呢？经典物理的观念是无法 回答的，必须被修改。主要表现：
a. 波粒两象性
P
E
（粒子）
（波） E h （ P l a n c k 假设） E i n s t e n i 关系
（de Broglie假设） de Broglie关系 具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述
P(x) (x)
2
是电子出现在 x 附近的概率密（如 P(x)dx 1 ） 电子通过双缝的描述，尽管类似水波那样 用 一波函数来描述 。但本质是不同的。
(r, t)
是描述一个电子的概率幅。
玻恩概率解释：如果在时刻 t ，对以波函数 (r, t) 描述的粒子进行位置测量， 测得的结果可 以是不同的，而在一小区域 r r dr 中发现该 粒子的概率为
P k
（
h
P
，k
2
）
Aei(krt) Ai(Pr Et)
b. 物理量取值不一定是连续的 辐射体辐射的能量取值
h
E nh
(n 0,1,2,)
氢原子的能量
En e2 2a0n 2 4 0
4 0 8 a0 0 . 529 10 cm 2 mee2
P1 1
2
P2 2
2
P12 1 2 2 1 2 2 2 ( 1* * )
2 1 2
P1 P2 2 P1P cos 1 2 1, 2 称为波函数（描述粒子波动性的函数
称为波函数），也就是说，接收器上某位置电子 2 数的多少，将由波函数的模的平方 来表征。
P(x)dx (x) dx
的大小有关；
2
② 当发射电子稀疏到一定程度时，接收器 上接收到的电子几乎是“杂乱无章”的，但当时 间足够长时，接收到的电子数分布为 P(x) 。 这表明，电子出现在接收器上的各个位置 是具有一定的概率的。
当足够多的电子被接收后。在接收器上的电 子分布正显示了这一概率分布（电子到接收器上 是一个个的，但分布又类似波，即概率波）。
空间若有两个波，强度则应由波函数1 2
的模的平方来描述。
但是， 电子是一个个出现的；
空间电子稀疏时，但时间足够长后，干 涉花纹照样出现。
§2.2 波函数的玻恩（Max Born,1926年） 概率诠释—概率波
Max Born 真正将量子粒子的微粒性和波动性 统一起来。 如电子用一波函数 (x) 来描述，则 ① 从上面分析可以看到，在 x x dx 范围 内，接收到电子多少是与
i t )e
描述
I12 h1 h2 h1 h2 (h1h* h*h2 ) 2 1
I1 I2 2 I1I2 cos
h1 h1 ei1 h 2 h 2 ei2
1 2
2 I1I2 cos
即为干涉项
电子的干涉现象与这完全相似，但两者的 含意是本质不同的，前者是强度，后者是接收到 的电子多少。 这启发我们，电子的双缝干涉中的现象也 可用 1, 2 函数来描述（它们一般应是复函数）
当然也不能用经典粒子和经典波来描述。
§2.1 波粒两象性：想像一个实验实验事实：
a．每次接收到的是一个电子，即电子确 是以一个整体出现； b. 电子数的强度 P1,P2，但
P1 P2 P12；
c．电子枪发射稀疏到，任何时刻空间至多 一个电子，但足够长的时间后，也有同样结果
因此，我们可得到下面的结论： a´. 不能认为，波是电子将自己以一定的 密度分布于空间形成的（因接收到的是一个个 电子），也不是大量电子分布形成的（稀疏时， 也有同样的现象）；
我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体 系去测量发现粒子可能就处于 x1 ，只测得一个 值。 但可想像有很多很多同样的体系，对体系 进行同时，完全相同的测量，测得的结果发现
n1次 x1 x1 dx
n2次 nm次
P(r, t)dr (r, t) 2 dr
（ P(r, t)dr 1 ）
说明两点： ① (r, t) 不是对物理量的波动描述。它有意 义的是，在体积元 r r dr 中发现粒子的概率 2 (r, t) dr ，所以它不代表物理实体，仅是 为 一概率波；
② 粒子是由波函数 (x, t) 来描述，但波函 数并不能告诉你，t0 时刻测量时，粒子在什么位 置。粒子位置可能在 x1 ，可能在 x 2 , 2 (x , t ) ，而 1 0 dx 在 x1 x1 dx 中发现粒子的概率为 也就是说， (x, t0 ) 2 在某 x 处越大，则在 t 0 时刻测 量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我 们讲的是能预言到什么，但我们不能说出测量的 结果）。
b´. 不能想像，电子通过 1,2 时，能像经典 电子（有轨道）那样来描述，因
P1 P2 P12
c´. 不能认为衍射可能是通过缝后，电 子相互作用所导致（稀疏时，也有同样现 象）。
总之， 电子（量子粒子）不能看作经典粒子 也不能用经典波来描述（经典波是物理 量在空间的分布）。
百度文库
双缝干涉
双缝干涉
10 平常粒子的波长 10 Å，
微观粒子，如电子 1 Å 将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来， 这在经典物理学中看来是不可能的
经典粒子 经典波 √原子性（整体性） 实在物理量的空间分布 轨道 √干涉，衍射 这两者是不相容的。 描述微观粒子既不能用经典粒子 也不能用经典波
这种干涉现象在经典中有类似现象，如水 波通过二个缝后，在接收器上的强度分布
为 I1 ，I2 ，I12 ，I1 I2 I12 。
通过缝 1 时， 水波以 h1e it 描述； i t 2 描述； 通过缝 时，水波以 h 2e 强度 I1 h1
2
2 I h ，2 2
通过 1 ，2 时， 则以 (h1 h 2
量子力学波函数与波动方程
辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么， 如何理解这两属性呢？经典物理的观念是无法 回答的，必须被修改。主要表现：
a. 波粒两象性
P
E
（粒子）
（波） E h （ P l a n c k 假设） E i n s t e n i 关系
（de Broglie假设） de Broglie关系 具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述
P(x) (x)
2
是电子出现在 x 附近的概率密（如 P(x)dx 1 ） 电子通过双缝的描述，尽管类似水波那样 用 一波函数来描述 。但本质是不同的。
(r, t)
是描述一个电子的概率幅。
玻恩概率解释：如果在时刻 t ，对以波函数 (r, t) 描述的粒子进行位置测量， 测得的结果可 以是不同的，而在一小区域 r r dr 中发现该 粒子的概率为
P k
（
h
P
，k
2
）
Aei(krt) Ai(Pr Et)
b. 物理量取值不一定是连续的 辐射体辐射的能量取值
h
E nh
(n 0,1,2,)
氢原子的能量
En e2 2a0n 2 4 0
4 0 8 a0 0 . 529 10 cm 2 mee2
P1 1
2
P2 2
2
P12 1 2 2 1 2 2 2 ( 1* * )
2 1 2
P1 P2 2 P1P cos 1 2 1, 2 称为波函数（描述粒子波动性的函数
称为波函数），也就是说，接收器上某位置电子 2 数的多少，将由波函数的模的平方 来表征。
P(x)dx (x) dx
的大小有关；
2
② 当发射电子稀疏到一定程度时，接收器 上接收到的电子几乎是“杂乱无章”的，但当时 间足够长时，接收到的电子数分布为 P(x) 。 这表明，电子出现在接收器上的各个位置 是具有一定的概率的。
当足够多的电子被接收后。在接收器上的电 子分布正显示了这一概率分布（电子到接收器上 是一个个的，但分布又类似波，即概率波）。
空间若有两个波，强度则应由波函数1 2
的模的平方来描述。
但是， 电子是一个个出现的；
空间电子稀疏时，但时间足够长后，干 涉花纹照样出现。
§2.2 波函数的玻恩（Max Born,1926年） 概率诠释—概率波
Max Born 真正将量子粒子的微粒性和波动性 统一起来。 如电子用一波函数 (x) 来描述，则 ① 从上面分析可以看到，在 x x dx 范围 内，接收到电子多少是与