向量与线性方程组

1 1 0，，， 2 01 0， ，， ， n 0，0， ，1 ，0， 0 ， 0 ， 0，
证明 设
k11 k2 2 kn n o k1 k2 kn 0
0， 0） 则 （k1，k2， ，kn）（0，，
所以
所以向量组
1， 2， ， n
线性无关。
称向量组 1， 2， ， n 为n维向量空间的单位坐标向量组。
任何一个n维向量
a1, a2 ,, an
都可由向量组
1， 2， ， n 线性表示， a11 a2 2 an n
例4 讨论向量组
k1 2k3 k4 0 k1 2k2 k4 0 则 2k1 k2 3k3 0 2 k 5k k 4 k 0 2 3 4 1 k1 k2 3k3 k4 0 利用矩阵的初等变换，可求得
齐次线性方程组
x11 x22 xnn 0
1 , 2 ,3 线性表示，且表示
方法唯一？ 解 设 x11 x22 x33
1 x1 x2 x3 1 则有 x 1 x x （*） 1 2 3 x1 x2 1 x3 2 因为 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示方法唯一
全为零时， 11 k22 knn O 才成立，则称向量组 k
1，2， ，n 线性无关。
●显然：含有零向量的向量组是线性相关的。
因为
1 O 0 1 0 2 0 n O
●两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。
例3
证明下列向量组线性无关。
解得
k1 k2 k3 0
所以向量组
1 2，2 3，3 1 线性无关。
例6 设 1 , 2 , 3 线性无关，又 1 1 2 23 , 2 2 3 , 3 21 2 33 ，试证明 1, 2 , 3 线性相关 证明 设 k11 k2 2 k3 3 0 则有
●几个概念
1、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。 2、相等向量：如果向量 与 是同维向量，而且对应
的分量相等，则称向量 与
相等。
3、零向量：分量都是0的向量称为零向量，记作O。 4、负向量：称向量 a1, a2 ,, an 为向量
的负向量，记作 。
a1, a2 ,, an
2k1 2k3 0 k 3k 4k 0 1 2 3 k1 2k2 3k3 0 k1 k3 0
则有
因为 k1 1, k2 1, k3 1 是方程组的一组非零解 所以 1 , 2 , 3 线性相关
例5 已知向量组 1， 2，3 线性无关，证明：向量组
（1）
a1 j a2 j ( j 1, 2, , n) 若记 j a j 即为系数矩阵的第 j 列 mj
则方程组有向量形式
x11 x22 xnn b
● 向量的线性关系
线性组合的概念：设有同维向量 一组数 k1 , k2 ,, kn ，使得 k11 k22 kn n 成立，
第二章
向量与线性方程组
向量的线性相关性
线性方程组的解的结构 线性方程组的求解
●向量与线性方程组
引例 一个方程对应一组数 矩阵的一行对应一组数 线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。 ●向量的定义 由n个数 a1 , a2 ,, an 组成的有序数组 (a1 , a2 ,, an ) 称为一个 n 维行向量，记作 (a1 , a2 ,, an ) ，其中 的第i个分量（或坐标）。
5、向量组：如果n个向量 1 , 2 ,, n 是同维向量，则称为 向量组 1 , 2 ,, n
●向量的线性运算
1、向量的加减法
设
a1, a2 ,, an , = b1, b2 ,, bn ，则称向量
a1 b1, a2 b2 ,, an bn 为向量 与向量 的和向 量，记作 ，称向量 a1 b , a2 b2 ,, an bn 1
有非零解
k1 2, k2 k3 1, k4 0 注：有无穷多组解
所以向量组
1,2 ,3 ,4 线性相关。
练习 判断向量组的线性相关性
1 2,1, 1, 1 ,2 0,3, 2,0 ,3 2,4, 3, 1
解 设
k11 k22 k33 0
练习：已知 3,5,7,9 , 1,5,2,0 , ，求
解
4,0, 5, 9
●线性方程组的向量表达式
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
1 ,2 ,,n ,
，如果存在
则称向量 可由向量组
判断向量 能否由向量组 1， 2 线性表示？如果可以，求出 表达式。 小结： 解 设 k11 k22
是向量组 1 1 2， 2 （，1 ）， （2,3,6）, =（5,8,13）， 例2 设
1 , 2 ,, n 线性表示，或称向量 1 , 2 ,, n 的线性组合。
线性相关
所以存在一组不全为零的数
k11 k2 2 km m k 0
则
k1 , k2 ,, km ，使得
k 0 否则，若 k 0 则由 1 , 2 ,, m 线性无关，
线性无关
k1 k2 km 0 于是向量组 1，2， ， m，
由于
所以
1, 2 ,, m
ki li k
线性无关，
(i 1,2, , m)
所以 可由向量组
1，2， ，m
பைடு நூலகம்
且表示方法唯一 线性表示，
定理 向量组
1 , 2 ,, n
线性相关的充分必要条件
是该向量组中至少有一个向量可由其余的向量组线性
表示。
证明 因为向量组
1 , 2 ,, n 线性相关
l22 l33 lmm 1 0 所以 1 , 2 ,, n 线性相关
1 1 ,1,1 , 2 1,1 ,1 , 3 1,1,1 , 1, , 2 例7 设
试问

为何值时， 可由
a1x1 a2 x2 an xn b a1, a2 ,, an , b
ai 称为向量
实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。
a1 a2 如果将有序数组写成一列的形式，则称向量 a 为列向量。 n
交换律 结合律
(5) 1 (6) ( ) ( ) ( ) (7) ）= （
(8) ( )
分配律
例1 解
设向量 2，1 0） 11， （ ， ， （ ，3），求3 4
3 4 3 2， 1， 4 11， 0 ，3 6， 3， 4，12 0 4， 10， 7， 12
则
所以
可由向量组1，2， ，n k1 2k2 5 k1 1 2k1 3k2 8 线性表示 线性方程组 k2 2 k 6k 13 2 1 有解
1 2 2
x11 x22 xnn
所以 1 , 2 , 3 线性相关
事实上，可取
k1 2, k2 1, k3 1
定理
若向量组 ，
1
2， ， m
线性无关，而向量组
1，2， ， m， 线性相关，则向量 可由向量组 1，2， ，m线性表示，而且表示方法惟一。
证明 因为向量组
1，2， ， m，
为向量 与向量 的差向量，记作 2、数乘向量 设向量 (a1 , a2 ,, an ),
。
R,
则称向量 (a1 , a2 ,, an )
为数 与向量 的数称向量，记作
向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。
●向量线性运算的运算律
（） 1 （2） ） ） （ （ （3） O (4) ( ) O
1 2，2 3，3 1 线性无关。
证明 设
k1 1 2 k2 2 3 k3 3 1 0
（ （ 则 （k1 k3）1 k1 k2）2 k2 k3）3 0
因为 1， 2，3 线性无关
k1 k3 0 所以有 k1 k 2 0 k k 0 2 3
(k1 2k3 )1 (k1 k2 k3 )2 (2k1 k2 3k3 )3 0 因为 1 , 2 , 3 线性无关
k1 2k3 0 所以有 k1 k2 k3 0 2k k 3k 0 3 1 2 1 0 2 由于 所以 k , k , k 不全为零 1 1 1 0 1 2 3 2 1 3
1 11，21 2 0， ， 1， ，2， ，， 215， ，
的线性相关性
3 2，3，13 4 11，4，1 0， ，， ， ， 0
解 设
k11 k22 k33 k44 0
可见，向量组 1 , 2 ,, n 线性相关
●线性相关、线性无关的概念
设有向量组1，2， ， n ，如果存在一组不全为零的数
k1 , k2 ,, kn ，使得 k11 k22 knn o 成立，则称 向量组 1，2， ， n 线性相关，否则，称向量组
1，2， ，n 线性无关。即当且仅当 k1, k2 ,, kn
可推得 这与已知矛盾，所以
k 0
于是
1 (k11 k2 2 km m ) k
1，2， ，m
线性表示。
所以 可由向量组
假设另有表达式
l11 l22 lmm
km k1 k2 则可得 (l1 )1 (l2 ) 2 (lm ) m 0 k k k
使得
所以存在不全为零的数 不妨设 k1 0
k1 , k2 ,, kn k11 k22 knn 0
1 于是有 1 (k2 2 k3 3 kn n ) k1
反过来，若有 则有
1 可由 2 ,3 ,, n 线性表示 1 l22 l33 lmm