2.1数列的概念与简单表示法

n
1 或 an 1
n 2k 1, k N n 2k , k N
3、数列的通项公式不一定是一个式子,也可以是分段函数.
4、数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项。
例1、 写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数：
4)1, 3,5, 7,9,
2 1 3 2 4 3 5 4 5) , , , , 1 3 5 7
2 2 2 2
an 2 n 1
an 1
n1
2n 1
2
an
n 1
n
2n 1
6)7,77,777,7777,
7 an 10n 1 9
（） 1 2, 4, 6, 8;
an 2n
2
（ 2 ）， 4 9， 16， 25； an (n 1) 1 1 1 n1 1 an ( 1) (3)1 ， ，， ； n 2 3 4 n1 （）， 4 2 0， 2， 0。 an 1 (1)
观察数列通项公式的关键是探求第n项an与 项数n的关系 练习：P31 1, 4
1.相同的一组数按不同的顺序排列时,是否为同一数列?
如： 数列（4）
10，9，8，7，6，5，4 。
数列（4′） 4，5，6，7，8，9，10。
2.一个数列的数可以重复吗?
如：数列（5） －1，1，－1，1，· · · 。
3、数列的一般形式
a1,a2,a3, …an,… 上面数列可简记为{an}，其中an是数列的第n项
n n
小结： 本节课学习的主要内容有：
1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数 2、数列的一般形式: a1, a2 , a3 ,an ,, 简记为an
3、数列与函数：数列实质是特殊的函数（离散函数）；
4、数列的分类: 有穷数列、无穷数列;递增数列、递减 数列、常数列、摆动数列。 5、数列的表示方法： （1）解析式法（通项公式法、递推公式法） （2）列表法 （3）图象法(一群孤立的点)
1，1.4，1.41，1.414， · · · . 10，9，8，7，6，5，4. －1，1，－1，1， · · ·. 3，3，3，3.
思考2：这些数的共同特点是什么? 按照一定顺序排列的一列数
1、数列定义
按照一定顺序排列的一列数叫数列。
2、数列的项：
数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的每一项都和它的序号有关， 排第一位的数称为这个数列的第1项（首项）， 排第二位的数称为这个数列的第2项，· · · · · · ， 排第n位的数称为这个数列的第n项.
如数列1，3，6，10的递推公式可表示为 a1=1,an=an-1+n(n>1)
递推公式也是数列的一种表示方法。
8、数列的表示方法
1.通项公式 2.递推公式
解析式法 列表法 图象法 一群孤立的点
a1 1 1 例3 、设数列 an 满足 an 1 a n 1 写出这个数列的前5项。
数列
2，4，6，8，10，……
其通项公式是： an
2n
an
10 9 8
图象为：
列表为:
n an
1
2
2
4
3
6
…
k
… 7 … 6
5 4
… 2k
图象为直线上的无数个孤立点
3
2
0
1
2
3
4
5
n
例2、图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三 角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次 构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项 公式，并在直角坐标系中画出它的图象。
观察下列图形：
三角形数 1, 3, 6, 10, .…..
正方形数 1, 4, 9, 思考1：这些数有什么规律吗？ 16, ……
1，2，3，4，5，· · ·n， · · · .
1 1 1 1 1 1， ， ， ， ，· · · ，· · · . 2 3 4 5 n
（1）
（2） （3） （4） （5） （6）
n
根据下面数列 an 的通项公式，写出 它的前4项：
(1)
n an n 1
(2)
an 1 n
n
关于数列的通项公式
1、不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列5）
1，1.4,1.41,1.414,…
2、数列的通项公式不唯一 如： 1, 1, 1, 1, …
可写成
an ( 1)
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列（an1 an ） 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列（an an1 ）
序号n
1
2
3
4
5
…
项 an
1 1 1 1 1 ， ，， ，， 2 3 4 5
这说明：数列的项an是序号n的函数.
5、数列与函数的关系
所以：数列可以看成以正整数集N*（或它的有 限子集{1，2，3，4，…,n}）为定义域的函数 an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时， 所对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如 果f(i) (i=1,2,3,…)有意义，那可得到一个数列 f(1),f(2),f(3),…f(n),… 即数列是一种特殊的函数。
4、数列的分类
练习
P28
观察
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列. 例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列. 例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
常数数列：各项相等的数列。 （an an1 ） 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列
an 30 27 24 21 18 15
an 3
n 1
图象为曲线 上的无数个 孤立点
12
9 6 3
o
1
2
3
4
5
n
Biblioteka Baidu
1,
3,
6,
10,
.…..
提问：这些数有什么规律吗？
首项为1,从第2项起,第n项等于第n-1项加上n. 也就是a1=1,an=an-1+n(n>1)
7、数列的递推公式
已知数列{an}的首项（或前几项），且 任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的 关系可用一个式子来表示，那么这个式子就 叫做这个数列的递推公式。
(1)书面作业(做在课本)
课本P33 习题2.1 A组 2、3
(2)课时作业本:必做P11 1、2、3、4、5 选做P11 6
补充2：求以下各数列的通项公式
1)1,4,9,16,25,
1 9 25 2) , 2, ,8, , 2 2 2
an n n2 an 2
2
3)1,3,5,7,9,
6、数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以 用一个公式来表示，那么这个公式就叫做 这个数列的通项公式。
1 1 1 1 如数列：1， ， ， ， ，· · · . 通项公式为 2 3 4 5 1 an n 又如数列：－1，1，－1，1， · · ·.通项公式为
an （ 1 ）
1 1 1 51, , , , 2 3 4
21,1,1,1, 41,2,3,4,
1 1 1 61, , , , 2 3 4
72,0,2,0, 89,99,999,9999, 1 nnn 111 n 1 8 5 a n n 6 a 1 4 1 a n 7 a a 10 11 a 3 1 a 1 2 a 1 n n n n n n n 1
n 1
解：由题意可知 a1 1
1 3 a3 1 a2 2 1 8 a5 1 a4 5
1 a2 1 2 a1 1 5 a4 1 a3 3
练习：P31 练习T2
补充1：写出下列数列的一个通项公式
11,2,3,4, 3 1,1,1,1,