幂函数练习题及答案解析

1．下列幂函数为偶函数的是( ) A ．y =x 错误! B ．ｙ=错误!

C ．ｙ＝x ２ D.y ＝x -１

解析：选C.y ＝ｘ2,定义域为R ,ｆ（-x ）＝f (x )＝ｘ2．

2．若a <0，则０．5a,５ａ,5-ａ的大小关系是( )

Ａ.5－a <5ａ＜０.5ａ ﻩB ．5a <0.5ａ<5－a

C ．0.5a ＜5-a ＜５ａ

D ．5ａ<5－a <0．5a

解析：选Ｂ.５－a =(错误!)a ,因为ａ＜0时y =x a 单调递减，且错误!＜0.5<5,所以5ａ＜０．5a

＜5-ａ.

3.设α∈｛－1,1，＼f(1,2)，３}，则使函数y ＝x α的定义域为R ,且为奇函数的所有α值为( )

A ．１,3 ﻩB.－1,1

Ｃ.－1,3 D ．-1,1,3

解析:选A.在函数y =x -1，y =x ,y ＝x 12,y =x ３

中，只有函数y ＝x 和y ＝ｘ3的定义域是Ｒ，且是奇函数,故α＝1,３.

4．已知ｎ∈{-2,－1,0,1,2,3}，若(－错误!)ｎ>(-错误!)ｎ，则ｎ＝＿_____＿_.

解析：∵－错误!<－错误!,且(-错误!)n >(-错误!)n ,

∴y =ｘn 在(-∞，０)上为减函数．

又ｎ∈{－2，-1,０，１,2,3},

∴n ＝-１或n =2.

答案:－1或2

１．函数y =(x ＋４)2的递减区间是( )

A.（-∞，-４） ﻩＢ．(-４，＋∞)

C.(４，+∞)

D.(-∞,4)

解析：选A.y ＝(x ＋4)２开口向上,关于ｘ=－4对称，在(-∞,－４）递减.

2．幂函数的图象过点(2,错误!),则它的单调递增区间是( ）

A.（0,+∞）

B.[0，+∞）

Ｃ．(-∞,0) Ｄ．(－∞,＋∞)

解析：选C.

幂函数为ｙ=ｘ-2=错误!,偶函数图象如图．

3.给出四个说法：

①当ｎ=０时，ｙ＝x n 的图象是一个点;

②幂函数的图象都经过点（0,0),(1,1);

③幂函数的图象不可能出现在第四象限;

④幂函数y =x ｎ

在第一象限为减函数，则n ＜0．

其中正确的说法个数是（ ）

A ．1 Ｂ．2

Ｃ．3 ﻩD ．4

解析：选B.显然①错误；②中如y =x -错误!的图象就不过点(0，0).根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B.

4．设α∈｛－2，－1，-错误!,错误!,错误!,1，２,3}，则使f (x ）=ｘα为奇函数且在(０，+∞）上单调递减的α的值的个数是( )

A.1 B ．2

C ．3 ﻩＤ．4

解析:选A.∵f （x )=ｘα为奇函数，

∴α=－1，错误!，１，3．

又∵f (ｘ）在(0，+∞）上为减函数,

∴α=－１．

5.使（3-2x －x 2)－＼f(3,4)有意义的x 的取值范围是( ）

A.R

B.x ≠1且ｘ≠3

Ｃ．－3＜x ＜1 D.ｘ<－３或x >1

解析:选Ｃ．(3-2x -ｘ2)－34

=错误!， ∴要使上式有意义,需３－2x －x 2＞０，

解得-3

6.函数f (x )＝（ｍ2－m －1)x m ２－2m －3是幂函数,且在x ∈(0，+∞)上是减函数，则实数m ＝

( )

A ．2 B.3

C.４ ﻩD ．5

解析：选A.m 2－m －１＝１，得ｍ＝－1或m =２,再把m =-1和m =2分别代入m 2－2m －3<0，经检验得ｍ=2．

７.关于ｘ的函数y =(x －1)α（其中α的取值范围可以是１,2,３，-１,错误!)的图象恒过点________．

解析：当x －1＝1,即x =2时，无论α取何值,均有1α=１,

∴函数y =(x -1)α恒过点(2,1)．

答案：（2,1)

8．已知２.4α>2．5α,则α的取值范围是___＿＿_＿_．

解析:∵０＜2．4<２．5,而2.4α＞2．5α,∴ｙ=ｘα在(０,＋∞)为减函数．

答案：α<０ 9.把(错误!)-错误!，（错误!）错误!,(错误!)错误!,(错误!）0按从小到大的顺序排列_____＿_＿_＿___＿___＿＿_． 解析:(错误!)0＝1,（错误!）-错误!＞(错误!）0=1，

(35

)错误!<1,(错误!)错误!＜１, ∵y ＝x 错误!为增函数, ∴(错误!)错误!<(错误!）错误!<(错误!)０<(错误!)－错误!. 答案:（＼f(２,5))错误!＜(错误!)错误!＜(错误!)0＜（错误!)-错误!

1０.求函数y =(x -1)-＼ｆ(2，3)的单调区间.

解:y =（x -1)－23＝错误!=错误!，定义域为x ≠１.令ｔ＝x -1,则y ＝t -错误!,t ≠０为偶函数．

因为α＝－错误!<0,所以y ＝t －错误!在（0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增．又t =x -1单调递增，故y =(ｘ-1)-错误!在(1,+∞)上单调递减，在(-∞,１)上单调递增.

11．已知(m ＋4）-12<(3－2m )-错误!,求ｍ的取值范围．

解:∵ｙ＝x －＼f(1，

2)的定义域为(０，+∞），且为减函数．

∴原不等式化为错误!,

解得－错误!＜m ＜错误!.

∴m 的取值范围是（-＼f(1，3）,错误!).

1２．已知幂函数y ＝x ｍ2+2m －3（m ∈Ｚ)在(0，+∞)上是减函数，求y 的解析式,并讨论此

函数的单调性和奇偶性.

解：由幂函数的性质可知

ｍ2＋2m -3<0⇒(m －1)(ｍ＋3)<0⇒-３＜m <1,

又∵m ∈Z ，∴ｍ=－2,－1,0.

当m =0或ｍ＝－2时，y ＝x -3,

定义域是（－∞，0)∪（0,＋∞)．

∵-３＜0，

∴y ＝ｘ-3在(－∞，0)和(0,＋∞)上都是减函数，

又∵f (－x )＝（-ｘ)-３=－x －3=－f (x )，

∴y =x －3是奇函数．

当m =-１时，y =x -4，定义域是(－∞,０)∪(０，＋∞).

∵f (－x ）＝(-x )－4=错误!=错误!＝x -４=f (x ）,

∴函数ｙ=x -4是偶函数.

∵－４＜0,∴y ＝x －４在（0，＋∞)上是减函数,

又∵y ＝ｘ－４是偶函数，

∴y ＝ｘ－４在(－∞,０)上是增函数．

1.下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．y ＝x 错误! ﻩＢ．y =x -错误!

Ｃ．ｙ＝x ５3 ﻩＤ.y =x 错误!

解析:选D.y ＝x 错误!=错误!，其定义域为R ，值域为［0，＋∞)，故定义域与值域不同.

２.如图，图中曲线是幂函数y =x α

在第一象限的大致图象.已知α取－2,－错误!,错误!,２四个值,则相应于曲线C 1，C 2，Ｃ3,C ４的α的值依次为（ )

A ．－2,－错误!，错误!,2 B.2，错误!，－错误!，－2

C ．－12，-2,２,12

D ．2,错误!,-2，－错误!