01第一章质点运动学
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第 29 页
加速度在直角坐标系中的解析表示：
dv dv x (t ) ˆ dv y (t ) ˆ dv z (t ) ˆ d 2 x (t ) ˆ d 2 y (t ) ˆ d 2 z (t ) ˆ a i j k i j k 2 2 2 dt dt dt dt dt dt dt
dv x (t ) d 2 x (t ) a x dt dt 2 dv y (t ) d 2 y (t ) a y 2 d t d t dvz (t ) d 2 z (t ) a z dt dt 2
第一章 质点运动学 Chap.1 Kinematics
本章要点
矢量及其运算 位矢、位移、速度、加速度的定义 曲线运动的自然坐标系描述 运动学的两类问题
第2页
第一节 矢量( Vector )
一、矢量的定义和表示方法
矢量：既有大小又有方向的量，如速度、力、位移等 标量：仅有大小而与空间方向无关的量，由单一的数和单 位描写，如质量、密度等 矢量的表示：
消去时间 参数（t）
轨道方程（ Track Equation ）：
第 24 页
第三节 质点的位移、速度、加速度
一、位移（Displacement）
设质点作曲线运动
z
A r r(t)
s
B
t 时刻位于A点，位矢 r (t )
tt时刻位于B点，位矢 r (t t )
r(t＋t)
o x
cos Ax A
o
Ax
cos Ay A
y
Ay
cos Az A cos2 cos2 cos2 1
x
第 14 页
因此，一个矢量可以表示为三个分矢量之和；也可以由其 大小和三个方向角决定（四个变量？）。可以写为：
A Ax i Ay j Az k ( Ax , Ay , Az )
B cos(A, B)
A
3）两个矢量平行、反平行时，标积 最大、最小。
第 11 页
矢量的叉乘（Vector Product）： A×B=C 为一矢量，叫做矢量的矢积或叉乘
A B C AB sin( A, B)
两个矢量的矢积是一个矢量，其大小是第一个矢量 的大小与第二个矢量的大小以及两矢量夹角的正弦 值，这三者的乘积，方向按右手螺旋法则确定。C 矢量与A、B矢量构成的平面永远垂直！它的几何 意义是A、B矢量构成的平行四边形的有向面积。
矢量加法（减法）的解析表示：
A Ax i Ay j Az k
B Bx i B y j Bz k
A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i By j Bz k ) ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
矢量叉乘的解析表示： 同样因为有如下关系：
ii j j kk 0 i j k , j k i, k i j
A B ( Axi Ay j Azk) (Bxi By j Bz k) ( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k
在t 时间内发生位移 r
dr dt
A r
B'' B' B r(t) r(t＋t)
瞬时速度：刻画t 时刻速度的即时变化率
r dr v lim dt t 0 t
o
显然，v 和 r(t) 曲线的斜率有一一对应关系！
第 26 页
平均速率： 在t 时间内，质点所经过路程s对时间的变化率
dx ( t ) d y ( t ) d z ( t ) v v v v t t t d d d
2 x 2 y 2 z
第 28 页
2
2
2
三、加速度（Acceleration）
t1时刻，质点位于A处，速度为v(t) t2时刻，质点位于A处，速度为v(t+t)
s v t
瞬时速率：
s A o
r
B
s ds v lim dt t 0 t
r s， v v 一般情况：
r dr , s ds, dr ds, v v 当t0时：
第 27 页
速度在直角坐标系中的解析表示：
A B A ( B) D
B D B A D -B A
第8页
三、矢量的乘法
矢量和标量乘： 结果是一个矢量。（大小、方向？）
矢量和矢量乘：
点乘：结果是一个标量。（大小？） 叉乘：结果是一个矢量。（大小、方向？）
第9页
矢量的点乘（Scalar Product）： A · B=A B cos (A, B) 叫做矢量的标积或点乘。
参考系（Reference Frame） ： 确定一个物体的位置总是相对于某一物体或某一物体系来确定，那 么这—物体或物体系就作为描述物体位置的基准，称为参考系。 坐标系（Coordinates） ： 确定了参考系后，为了能够定量地描 述一个物体的运动，必需在选定的参 考系上建立一个合适的坐标系 。常见 的坐标系有直角坐标系、自然坐标系、 球坐标系、柱坐标系、极坐标系等。
“自然坐标系”就是直接选取沿着轨道 曲线的坐标系。选定该曲线上一个定 点为坐标原点o，以曲线上某点到原 点o之间的曲线长度也即弧长s为坐标 参量，并规定自原点向质点运动方向 的一侧s为正，另一侧s为负。
P s o s
ˆ n
ˆ
Q
ˆ n
2 d v ( t ) dv x (t ) y dv z (t ) 2 2 a ax a2 a y z dt dt dt 2 2
第 30 页
第四节 质点的曲线运动
一、平面自然坐标系（Natural System of Coordinates）
i
利用行列式，可表达为：
j
k
A B Ax Ay Az Bx By Bz
第 17 页
五、矢量的导数
dA A(t t ) A(t ) lim dt t 0 t
一个矢量源自文库有大小又有方向
ˆ A AA
ˆ dA dA ˆ dA 因此： A A dt dt dt
dAy dAz dA dAx j k i dt dt dt dt
第 19 页
A Ax i Ay j Az k
使用类似的方法可以处理矢量函数的积分。如矢量函数 A(t) 对 t 的积分：
Ax (t )dt i Ay (t )dt j Az (t )dt k A ( t )d t
A
v(t)
B r(t) r(t＋t) o
v(t
+ t)
t时间内，速度增量为：
v＝v(tt)v(t)
v v ( t t ) v ( t ) 平均加速度： a t t
当t0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度：
v(t)
v
v(t
+ t)
v (t t ) v (t ) dv d 2 r a lim 2 t 0 t dt d t
A B AB cos
A · B = A B cos(A, B) 表示：两个矢量的标积是一 个标量，其大小是第一个矢量的大小乘以第二个 矢量在第一个矢量上的投影。 (A, B) 是指这两个 矢量的夹角（）。
第 10 页
1） A · B = B · A B 2）如果: A⊥B 则 A · B = 0 亦成立。 反之
A， A,
A
矢量相等：
B
第3页
负矢量：方向相反，大小相等
A
B
B A
第4页
矢量由大小（模）和其方向（单位矢量）构成：
A A A A A= A
模 单位矢量
第5页
二、矢量的加法与减法
矢量加法（Vector Addition）： 矢量加法遵循平行四边形法则（或三角形法则）
A B C
B B B
C
A
A
第6页
矢量加法的三角形法则，多矢量加法： C B A
Ai
A5 A4
A3 A2
A1
显然，矢量加法服从： 交换律 A+B = B+A
结合律 (A+B)+C = A +(B+C)
第7页
矢量减法（Vector Subtraction）： 解决了矢量加法，也就解决了矢量的减法。
或：
t2
t1
t2 t2 t2 A(t )dt Ax (t )dt i Ay (t )dt j Az (t )dt k t1 t1 t1
第 20 页
第二节 质点运动的描述
一、参考系 坐标系
ˆ ˆ y(t) ˆ r (t) x(t)i j z(t)k
dx(t ) ˆ dy (t ) ˆ dz (t ) ˆ v i j k dt dt dt
dx (t ) v x dt dy ( t ) v y dt dz (t ) v z dt
第 18 页
显然可以区分为三种情况： 矢量的大小变化，矢量的方向不变 矢量的方向变化，大小不变 矢量的大小和方向都发生变化 能否找到一个坐标系，不论上面的那种情况发生， 都可以归咎为矢量的分量的大小发生变化吗？ 唯一的坐标系就是直角坐标系！因为直角坐标系 的基矢量一旦确定，就永远不变！改变的始终是 矢量投影值的大小！
第 23 页
o
r
P(x,y,z)
y
x
运动方程（Motion Equation）： 矢量形式：
r (t ) x(t )i y (t ) j z (t )k
参数形式：
x x(t ) y y (t ) z z (t )
F (x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
z
r
参考系
o
y
x
第 21 页
二、质点 质点系
质点（Particle）:将宏观物理抽象为只有质量而不计大小、形状的 点（粒子），是力学中的一个重要的理想模型。 质点系（Particle System）：很多质点按一定规律组成的一个质点 系统。通过描述质点系中所有质点的 运动情况，从而了解整个质点系的运 动（求和，积分）。
第 15 页
矢量点乘的解析表示： 因为有如下关系： i i
j j kk 1
i j jk ki 0
A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i By j Bz k ) Ax Bx Ay By Az Bz
第 16 页
y
在t时间内，位矢的变化量（即A到B的有向线段）称为位移；而A 到B路径的长度s称为路程。
r r (t t ) r (t )
显然：
第 25 页
r s
二、速度（Velocity）
平均速度：刻画速度t 时间内平均变化率
r 则平均速度： v t
第 12 页
C
1） A×B = －（B×A） 2）如果: A∥B 则A×B = 0 反之亦成立。 B A 3）两个矢量垂直时，矢积的 模最大。方向按右手螺旋 法则确定。
第 13 页
四、矢量在直角坐标系中的表示
ˆ k
z
iˆ
ˆ j
A A
Ax 2 Ay 2 Az 2
Az
P(x,y,z) A
地球的运动：
公转：质点模型 自转：质点系模型
第 22 页
三、位置矢量（Position Vector）
从坐标原点o出发，指向质点所在位置 P 的一有向线段。
z
位矢用坐标值表示为：
r xi yj zk
r x2 y2 z2
x y z cos , cos , cos r r r
加速度在直角坐标系中的解析表示：
dv dv x (t ) ˆ dv y (t ) ˆ dv z (t ) ˆ d 2 x (t ) ˆ d 2 y (t ) ˆ d 2 z (t ) ˆ a i j k i j k 2 2 2 dt dt dt dt dt dt dt
dv x (t ) d 2 x (t ) a x dt dt 2 dv y (t ) d 2 y (t ) a y 2 d t d t dvz (t ) d 2 z (t ) a z dt dt 2
第一章 质点运动学 Chap.1 Kinematics
本章要点
矢量及其运算 位矢、位移、速度、加速度的定义 曲线运动的自然坐标系描述 运动学的两类问题
第2页
第一节 矢量( Vector )
一、矢量的定义和表示方法
矢量：既有大小又有方向的量，如速度、力、位移等 标量：仅有大小而与空间方向无关的量，由单一的数和单 位描写，如质量、密度等 矢量的表示：
消去时间 参数（t）
轨道方程（ Track Equation ）：
第 24 页
第三节 质点的位移、速度、加速度
一、位移（Displacement）
设质点作曲线运动
z
A r r(t)
s
B
t 时刻位于A点，位矢 r (t )
tt时刻位于B点，位矢 r (t t )
r(t＋t)
o x
cos Ax A
o
Ax
cos Ay A
y
Ay
cos Az A cos2 cos2 cos2 1
x
第 14 页
因此，一个矢量可以表示为三个分矢量之和；也可以由其 大小和三个方向角决定（四个变量？）。可以写为：
A Ax i Ay j Az k ( Ax , Ay , Az )
B cos(A, B)
A
3）两个矢量平行、反平行时，标积 最大、最小。
第 11 页
矢量的叉乘（Vector Product）： A×B=C 为一矢量，叫做矢量的矢积或叉乘
A B C AB sin( A, B)
两个矢量的矢积是一个矢量，其大小是第一个矢量 的大小与第二个矢量的大小以及两矢量夹角的正弦 值，这三者的乘积，方向按右手螺旋法则确定。C 矢量与A、B矢量构成的平面永远垂直！它的几何 意义是A、B矢量构成的平行四边形的有向面积。
矢量加法（减法）的解析表示：
A Ax i Ay j Az k
B Bx i B y j Bz k
A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i By j Bz k ) ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
矢量叉乘的解析表示： 同样因为有如下关系：
ii j j kk 0 i j k , j k i, k i j
A B ( Axi Ay j Azk) (Bxi By j Bz k) ( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k
在t 时间内发生位移 r
dr dt
A r
B'' B' B r(t) r(t＋t)
瞬时速度：刻画t 时刻速度的即时变化率
r dr v lim dt t 0 t
o
显然，v 和 r(t) 曲线的斜率有一一对应关系！
第 26 页
平均速率： 在t 时间内，质点所经过路程s对时间的变化率
dx ( t ) d y ( t ) d z ( t ) v v v v t t t d d d
2 x 2 y 2 z
第 28 页
2
2
2
三、加速度（Acceleration）
t1时刻，质点位于A处，速度为v(t) t2时刻，质点位于A处，速度为v(t+t)
s v t
瞬时速率：
s A o
r
B
s ds v lim dt t 0 t
r s， v v 一般情况：
r dr , s ds, dr ds, v v 当t0时：
第 27 页
速度在直角坐标系中的解析表示：
A B A ( B) D
B D B A D -B A
第8页
三、矢量的乘法
矢量和标量乘： 结果是一个矢量。（大小、方向？）
矢量和矢量乘：
点乘：结果是一个标量。（大小？） 叉乘：结果是一个矢量。（大小、方向？）
第9页
矢量的点乘（Scalar Product）： A · B=A B cos (A, B) 叫做矢量的标积或点乘。
参考系（Reference Frame） ： 确定一个物体的位置总是相对于某一物体或某一物体系来确定，那 么这—物体或物体系就作为描述物体位置的基准，称为参考系。 坐标系（Coordinates） ： 确定了参考系后，为了能够定量地描 述一个物体的运动，必需在选定的参 考系上建立一个合适的坐标系 。常见 的坐标系有直角坐标系、自然坐标系、 球坐标系、柱坐标系、极坐标系等。
“自然坐标系”就是直接选取沿着轨道 曲线的坐标系。选定该曲线上一个定 点为坐标原点o，以曲线上某点到原 点o之间的曲线长度也即弧长s为坐标 参量，并规定自原点向质点运动方向 的一侧s为正，另一侧s为负。
P s o s
ˆ n
ˆ
Q
ˆ n
2 d v ( t ) dv x (t ) y dv z (t ) 2 2 a ax a2 a y z dt dt dt 2 2
第 30 页
第四节 质点的曲线运动
一、平面自然坐标系（Natural System of Coordinates）
i
利用行列式，可表达为：
j
k
A B Ax Ay Az Bx By Bz
第 17 页
五、矢量的导数
dA A(t t ) A(t ) lim dt t 0 t
一个矢量源自文库有大小又有方向
ˆ A AA
ˆ dA dA ˆ dA 因此： A A dt dt dt
dAy dAz dA dAx j k i dt dt dt dt
第 19 页
A Ax i Ay j Az k
使用类似的方法可以处理矢量函数的积分。如矢量函数 A(t) 对 t 的积分：
Ax (t )dt i Ay (t )dt j Az (t )dt k A ( t )d t
A
v(t)
B r(t) r(t＋t) o
v(t
+ t)
t时间内，速度增量为：
v＝v(tt)v(t)
v v ( t t ) v ( t ) 平均加速度： a t t
当t0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度：
v(t)
v
v(t
+ t)
v (t t ) v (t ) dv d 2 r a lim 2 t 0 t dt d t
A B AB cos
A · B = A B cos(A, B) 表示：两个矢量的标积是一 个标量，其大小是第一个矢量的大小乘以第二个 矢量在第一个矢量上的投影。 (A, B) 是指这两个 矢量的夹角（）。
第 10 页
1） A · B = B · A B 2）如果: A⊥B 则 A · B = 0 亦成立。 反之
A， A,
A
矢量相等：
B
第3页
负矢量：方向相反，大小相等
A
B
B A
第4页
矢量由大小（模）和其方向（单位矢量）构成：
A A A A A= A
模 单位矢量
第5页
二、矢量的加法与减法
矢量加法（Vector Addition）： 矢量加法遵循平行四边形法则（或三角形法则）
A B C
B B B
C
A
A
第6页
矢量加法的三角形法则，多矢量加法： C B A
Ai
A5 A4
A3 A2
A1
显然，矢量加法服从： 交换律 A+B = B+A
结合律 (A+B)+C = A +(B+C)
第7页
矢量减法（Vector Subtraction）： 解决了矢量加法，也就解决了矢量的减法。
或：
t2
t1
t2 t2 t2 A(t )dt Ax (t )dt i Ay (t )dt j Az (t )dt k t1 t1 t1
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第二节 质点运动的描述
一、参考系 坐标系
ˆ ˆ y(t) ˆ r (t) x(t)i j z(t)k
dx(t ) ˆ dy (t ) ˆ dz (t ) ˆ v i j k dt dt dt
dx (t ) v x dt dy ( t ) v y dt dz (t ) v z dt
第 18 页
显然可以区分为三种情况： 矢量的大小变化，矢量的方向不变 矢量的方向变化，大小不变 矢量的大小和方向都发生变化 能否找到一个坐标系，不论上面的那种情况发生， 都可以归咎为矢量的分量的大小发生变化吗？ 唯一的坐标系就是直角坐标系！因为直角坐标系 的基矢量一旦确定，就永远不变！改变的始终是 矢量投影值的大小！
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o
r
P(x,y,z)
y
x
运动方程（Motion Equation）： 矢量形式：
r (t ) x(t )i y (t ) j z (t )k
参数形式：
x x(t ) y y (t ) z z (t )
F (x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
z
r
参考系
o
y
x
第 21 页
二、质点 质点系
质点（Particle）:将宏观物理抽象为只有质量而不计大小、形状的 点（粒子），是力学中的一个重要的理想模型。 质点系（Particle System）：很多质点按一定规律组成的一个质点 系统。通过描述质点系中所有质点的 运动情况，从而了解整个质点系的运 动（求和，积分）。
第 15 页
矢量点乘的解析表示： 因为有如下关系： i i
j j kk 1
i j jk ki 0
A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i By j Bz k ) Ax Bx Ay By Az Bz
第 16 页
y
在t时间内，位矢的变化量（即A到B的有向线段）称为位移；而A 到B路径的长度s称为路程。
r r (t t ) r (t )
显然：
第 25 页
r s
二、速度（Velocity）
平均速度：刻画速度t 时间内平均变化率
r 则平均速度： v t
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C
1） A×B = －（B×A） 2）如果: A∥B 则A×B = 0 反之亦成立。 B A 3）两个矢量垂直时，矢积的 模最大。方向按右手螺旋 法则确定。
第 13 页
四、矢量在直角坐标系中的表示
ˆ k
z
iˆ
ˆ j
A A
Ax 2 Ay 2 Az 2
Az
P(x,y,z) A
地球的运动：
公转：质点模型 自转：质点系模型
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三、位置矢量（Position Vector）
从坐标原点o出发，指向质点所在位置 P 的一有向线段。
z
位矢用坐标值表示为：
r xi yj zk
r x2 y2 z2
x y z cos , cos , cos r r r