测度论基础知识总结

测度论基础知识总结

1•集合论

1.1集合与基本运算

•概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。中间含有的对象叫元素。

全集：要研究的问题涉及到的最大集合。

空集：没有任何元素的集合。

表达方法：｛X （集合元素x）|x应该有的性质｝

•元素与集合的关系：x€A, x?A

•集合之间的关系

只有包含或者不包含

若对于任意元素x€A, x€B则A包含于B （证明就用这个方法），A是B的子集（A^B则为B的真子集）

包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A

真子集：A包含于B但A M B

•集合的运算

①单个元素的幕集2X

对于一个集合X,它的幕集2X表示所有其子集为元素构成的集合。这种以集合为元素的集合，也叫集合族。

②两个集合的运算

交：AnB=｛x| x 6A 且x€B｝

并：A UB=｛x| x CA 或x €B｝

差：A\B （或写成A-B）=｛x| x €A 且x?B｝

补：A C=U\A （U是问题要研究的全集）

于是有等式A\B=A n B C

积：（直积）A X B=｛（x,y）| x C A且y€B ｝（把A、B中元素构成有序对）

③多个元素的运算

多个交？入giA入表示所有以入为角标的集合的并，要求入€ I,称为指标集。

类似有多个并

注：可以是无穷个

1

【例】A n x| x>—, A=｛x| x>0｝，则A=?n=1 A n

n

•集合的分析相关性质

①上限集：一列集合｛A n｝，定义上限集为？n=1 ?k=n A k。类似于数列的上极限。

②下限集：一列集合｛A n｝，定义下限集为？n=1 ?k=n A k。类似于数列的下极限。

③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。

④单调集合列：若始终有A n包含于A n+1，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，

若始终有A n+1包含于A n，则为递减列。

若A n为递增列，则有极限lim A n=? n=1 A n ；若为递减列，则有lim A n=?n=1 A n。

n—x n—g

1.2映射

•定义：X、Y是两个集合，对任意x欣，存在唯一的y=f(x) €Y与之对应，则对应法则f为X 到Y 的一个映射，记为f:X T Y。

像集：对于X的一个子集A，像集｛f(x)| x €A｝记为f(A)，显然包含于Y

原像集：对于Y的一个子集B,原像集｛x| x €A且f(x) €B｝记为f-1 (B)

•满射：f(X)=Y,即Y中所有元素都是像

单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像

双射：既是单射又是满射。双射是一一对应的映射。

•逆映射：对于双射，建立一种Y到X的双射，将像映射到原像上。记为f-1：Y T X

•复合映射：f：X T Y, g:Y T乙它们的复合g o f:X T乙写成g(f(X))

•函数，一个？？(n维实数向量)到R (实数)上的映射

•性质(映射与交并运算顺序可交换性)

对于f:X T Y, X若干个子集A a, Y若干个子集B a

f(UA a)=Uf(A a)

用集合相等定义可证明。

1.3集合的势

•对等：如果集合A和B之间可以建立双射，则A对等于B。记为A~B

性质：①A到B有单射T A与B子集对等

A到B有满射T B与A子集对等

②A~B, B~C,贝U A~C (传递性)

③A~C, B~D，贝U A X B~C X D

判定：(康托一伯恩斯坦定理)若集合X与Y的一个真子集对等而且Y与X的一个真子集对等，则X~Y

•基数：有限个元素的集合为元素个数。

•势：若两个集合对等，则定义它们的势相等。在有限个元素的情况下，势就是基数。

无限个元素的情况下，定义自然数集的势是？。(阿列夫0)。A的势用|A|表示。

•若A与B的一个子集对等，则|A| W|B|，若与B的真子集对等，则

1.4可数集

•可数集：与自然数集对等的称为可列集，元素有限的集合和可列集统称可数集。

•性质：①任何无穷集合都包含可列子集

②可数集的子集还是可数集

③两个可数集的交、并还是可数集

④可数集和可数集的直积还是可数集

•定理：有理数集是可列集，实数不是可列集。(有理数可列证明就把每一个有理数p/q映射到(p,q)点，则有理数和Z X N对等。实数不可列证明方法有多种，可用闭区间套定理、有限

覆盖定理、十进制小数展开等方法)

定义实数的势是c=?1

-定理：单调函数的间断点集是可数集

证明思路：不妨设单调递增。间断点x0左右必有界，否则不单调。f（xO-O）和f（xO+O）之间

必有有理数rx0，而且x0不同的话每个区间（f（xO-O）,f（xO+O））不会相交，否则不单

调。所以间断点和有理数子集｛rxO｝建立双射，是可数的。

•不可数集性质：①一个集合子集不可数，则它不可数

②A不可数，B可数，则A~AUB

2. n维欧式空间极其简单的性质

2.1定义

•向量与运算：（略）这部分详见线性代数或者解析几何书定义的向量及运算（加、减、模、内积）、距离等。

•一些常用的集合：

开球：B（x,r）（以x为球心，r为半径的球内部）就是｛y € ??l|d（x,y）＜r｝（d（x,y）是x、y的距离）闭球：上面改为d（x,y）w r

有界集：包含于一个开球的集合。

2.2分析相关的概念

•点列的极限点：风｝在k趋于g时与定点x的距离趋向于0,则x为｛X k｝极限点。

•聚点和导集：若对于｛x k｝，点x o为圆心的任何开球内都有无数个｛x k｝中的点，则x o为｛x k｝聚点。一个集合A的所有聚点构成的集合叫A的导集，记为A'若x o 3且不是A的聚点则为

A的孤立点，孤立点集记为A\A'

注：聚点未必属于集合，比如［0,1］所有有理数构成的集合聚点是［0,1］中所有数，包括无理数。但是定义孤立点属于集合。

定理：若x0是点集A的聚点，则A中存在一个点列趋向x0。

•内点和边界点

内点（记为A°）:存在一个以它为球心有一个开球包含在A中

边界点（记为？A）:以它为圆心有一个所有开球不包含在A中，但都有A中的点

（用几何图像很好理解）

定理：AAA=?A\A （用集合相等的定义证出）

A=A°U （?A A A）（用几何图像很好理解）

•闭包

A的闭包定义为A与A'的并。称A在A的闭包中稠密。（闭包在几何图像上可以理解为一个图形加上它的边界组成的封闭图形）

有若干性质，略

2.3 n维欧式空间中的集合

•闭集：闭包等于自己的集合。

开集：闭集的补集。

•闭集性质：有限个闭集并还是闭集，任意个闭集交还是闭集。