详细版圆柱坐标系和球坐标系.ppt

cos sin
0
y erˆ
12
erˆy
erˆ
erˆx
单位圆
o
x
直角坐标系与柱坐标系之间
坐标单位矢量的关系
z
erˆz
erˆr
eFra Baidu bibliotekˆ
单位圆
erˆ
o
柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
13
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在
r dSz
erˆzdxdy
dz
r dSy
erˆydxdz
dx
o
dy
r dSx
erˆxdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
电磁场与电磁波
2. 圆柱坐标系
第1章 矢量分析
10
z z0（平面）
坐标变量
,, z
坐标单位矢量 erˆ , erˆ , erˆz
位置矢量
rr erˆ erˆz z
该区域上定义了一个场。 如果物理量是标量，称该场为标量场。
A(B C) B (C A) C (A B) —— 标量三重积 A (B C) (AC)B (A B)C —— 矢量三重积
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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1.2 三种常用的正交曲线坐标系
正交曲线坐标系 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系 三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。
x
r A
A(erˆx
cos
erˆy
cos
erˆz
cos
)
erˆA erˆx cos erˆy cos erˆz cos
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
4
2. 矢量的代数运算 （1）矢量的加减法
在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
r A
r B
erˆx
( Ax
Bx
)
erˆy
( Ay
By
)
erˆz
erˆA r A
A A erˆA
A
erˆA
r A
常矢量： 大小和方向均不变的矢量。
A
矢量的几何表示
注意： 单位矢量不一定是常矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3
矢量用坐标分量表示
z
r A
erˆx
Ax
erˆy
Ay
erˆz
Az
Ax A cos
Az
A
Ay
Ax O
y
Ay A cos
Az A cos
线元矢量
r dl
erˆ d
erˆ
d
erˆzdz
面元矢量
r dS
erˆ dl dlz
erˆ ddz
r dS
erˆ dl dlz
erˆ d dz
r dSz
erˆz dl dl
erˆz dd
体积元
dV dddz
P(0,0, z0 )
0
（圆柱面）
0（半平面）
圆柱坐标系
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
A// B
A B AB
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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（4）矢量的矢积（叉积）
r A
r B
erˆn
AB
sin
坐标分量表示
r A
r B
erˆx
( Ay Bz
Az By
)
erˆy
(Az Bx
Ax Bz
)
erˆz
( Ax By
Ay Bx
)
行列式形式为
r r erˆx erˆy erˆz A B Ax Ay Az
r dS
erˆ dlrdl
erˆzrsindrd
r dS
erˆdlrdl
erˆrdrd
P(r0 ,0 ,0 )
体积元
dV r2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
4. 坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eererˆˆrˆz
erˆx
cos sin
Bx By Bz
A B B A
若
A
B，则
A B AB
若 A // B ，则
AB 0
A B
B
AB sin
A
矢量A 与B 的叉积
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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（5）矢量的混合运算
(A B)C AC B C
—— 分配律
(A B)C AC B C —— 分配律
rr
A B AB cos AxBx Ay By Az Bz
erˆx erˆx erˆy erˆy erˆz erˆz 1
B
A
矢量
A与
B
的夹角
erˆx erˆy erˆy erˆz erˆz erˆx 0
A B B A ——矢量的标积符合交换律
AB
AB 0
( Az
Bz
)
A B
B
A
矢量的加法
矢量的加减符合交换律和结合律
交换律
rr rr AB B A
结合律
r rr rr r A (B C) (A B) C
B
A
AB
B
矢量的减法
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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（2）标量乘矢量
r kA
erˆxkAx
erˆy kAy
erˆz kAz
（3）矢量的标积（点积）
三种常用的正交曲线坐标系 直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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1. 直角坐标系
坐标变量 x, y, z
坐标单位矢量 erˆx , erˆy , erˆz
位置矢量
rr erˆx x erˆy y erˆz z
线元矢量
r dl
erˆxdx
erˆydy
erˆzdz
面元矢量
r dSx
erˆxdlydlz
erˆxdydz
r dS y
r dSz
erˆydlxdlz
erˆzdlxdly
erˆydxdz
erˆzdxdy
体积元
dV dxdydz
z
z z0 （erˆz平面）
P
erˆx
o
erˆy
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面）
x x x0 （平面）
直角坐标系
z
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
标量： 一个只用大小描述的物理量。
矢量： 一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示： 一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的大小或模：A A r
矢量的单位矢量： 矢量的代数表示：
电磁场与电磁波
3. 球坐标系
第1章 矢量分析
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0（圆锥面）
坐标变量
r, ,
坐标单位矢量 erˆr , erˆ , erˆ
r r0
（球面）
位置矢量 线元矢量
rr erˆrr
r dl
erˆrdr
erˆ rd
erˆ rsin d
0（半平面）
球坐标系
面元矢量
r dSr
erˆrdl dl
erˆr r 2sin d d
0
圆柱坐标与 球坐标系
eereˆrrˆˆr
erˆ
sin cos
0
erˆy
sin cos
0
erˆ
0 0 1
erˆz
0 0 1
erˆz
cos sin
0
直角坐标与 球坐标系
eereˆrˆrˆr
erˆx
sin cos
cos sin
sin
erˆy
sin sin cos sin
cos
erˆz